Дифференцируемая функция - Differentiable function

Дифференцируемая функция

В исчисление (филиал математика ), а дифференцируемая функция одного настоящий переменная - это функция, производная существует в каждой точке своего домен. Другими словами, график дифференцируемой функции имеет не-вертикальный касательная линия в каждой внутренней точке своего домена. Дифференцируемая функция гладкая (функция локально хорошо аппроксимируется как линейная функция в каждой внутренней точке) и не содержит разрыва, угла или куспид.

В более общем плане для Икс₀ как внутреннюю точку области определения функции ж, тогда ж как говорят дифференцируемый в точке x₀ тогда и только тогда, когда производная ж ′(Икс₀) существуют. Другими словами, график ж имеет невертикальную касательную в точке (Икс₀, ж(Икс₀)). Функция ж также называется локально линейный в Икс₀ поскольку это хорошо аппроксимируется линейная функция рядом с этой точкой.

Дифференцируемость действительных функций одной переменной

Функция ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, определенная на открытом множестве ${\displaystyle U}$, называется дифференцируемой в ${\displaystyle a\in U}$ если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• Производная ${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$ существуют.
• Существует реальное число ${\displaystyle L}$ такой, что ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-Lh}{h}}=0}$. Номер ${\displaystyle L}$, когда он существует, равен ${\displaystyle f'(a)}$.
• Существует функция ${\displaystyle g:U\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ такой, что ${\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+g(h)}$ и ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(h)}{h}}=0}$.

Дифференцируемость и преемственность

Смотрите также: Непрерывная функция

В абсолютная величина функция непрерывна (т. е. не имеет пропусков). Он везде дифференцируемый Кроме в момент Икс = 0, где он делает крутой поворот при пересечении у-ось.

А куспид на графике непрерывной функции. В нуле функция непрерывна, но не дифференцируема.

Если ж дифференцируема в точке Икс₀, тогда ж также должен быть непрерывный в Икс₀. В частности, любая дифференцируемая функция должна быть непрерывной в каждой точке своей области определения. Обратное неверно: непрерывная функция не обязательно дифференцируема. Например, функция с изгибом, куспид, или же вертикальная касательная может быть непрерывным, но не может быть дифференцированным в месте аномалии.

Большинство функций, которые встречаются на практике, имеют производные во всех точках или в почти каждый точка. Однако в результате Стефан Банах утверждает, что набор функций, имеющих производную в некоторой точке, является скудный набор в пространстве всех непрерывных функций.^[1] Неформально это означает, что дифференцируемые функции очень нетипичны среди непрерывных функций. Первым известным примером функции, непрерывной всюду, но нигде не дифференцируемой, является функция Функция Вейерштрасса.

Классы дифференцируемости

Основная статья: Гладкость

Дифференцируемые функции можно локально аппроксимировать линейными функциями.

Функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ с ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ за ${\displaystyle x\neq 0}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$ дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой.

Функция ж как говорят непрерывно дифференцируемый если производная ж′(Икс) существует и сама является непрерывной функцией. Хотя производная дифференцируемой функции никогда не имеет скачкообразный разрыв, производная может иметь существенный разрыв. Например, функция

${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

дифференцируема в 0, так как

${\displaystyle f'(0)=\lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\epsilon ^{2}\sin(1/\epsilon )-0}{\epsilon }}\right)=0,}$

существуют. Однако для Икс ≠ 0, правила дифференциации подразумевать

${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}$

который не имеет предела как Икс → 0. Тем не менее, Теорема Дарбу означает, что производная любой функции удовлетворяет заключению теорема о промежуточном значении.

Иногда говорят, что непрерывно дифференцируемые функции имеют учебный класс C¹. Функция состоит из учебный класс C² если первый и вторая производная функции существуют и непрерывны. В более общем смысле говорят, что функция учебный класс C^k если первый k производные ж′(Икс), ж′′(Икс), ..., ж ^(k)(Икс) все существуют и непрерывны. Если производные ж ^(п) существуют для всех положительных целых чисел п, функция гладкий или, что эквивалентно, из учебный класс C^∞.

Дифференцируемость в высших измерениях

Смотрите также: Многопараметрическое исчисление

А функция нескольких действительных переменных ж: р^м → р^п называется дифференцируемой в точке Икс₀ если Существует а линейная карта J: р^м → р^п такой, что

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

Если функция дифференцируема в Икс₀, то все частные производные существовать в Икс₀, а линейная карта J дается Матрица якобиана. Аналогичная формулировка многомерной производной дается основная лемма об инкрементах найдено в исчислении одной переменной.

Если все частные производные функции существуют в район точки Икс₀ и непрерывны в точке Икс₀, то функция дифференцируема в этой точке Икс₀.

Однако существование частных производных (или даже всех производные по направлению ), вообще говоря, не гарантирует дифференцируемости функции в точке. Например, функция ж: р² → р определяется

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$

не дифференцируема в (0, 0), но все частные производные и производные по направлениям существуют в этой точке. Для непрерывного примера функция

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

не дифференцируема в (0, 0), но опять же существуют все частные производные и производные по направлению.

Дифференцируемость в комплексном анализе

Основная статья: Голоморфная функция

В комплексный анализ комплексная дифференцируемость определяется с использованием того же определения, что и вещественные функции с одной переменной. Это допускается возможностью деления комплексных чисел. Итак, функция ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ называется дифференцируемой в ${\displaystyle x=a}$ когда

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Хотя это определение похоже на дифференцируемость вещественных функций с одной переменной, это, тем не менее, более ограничительное условие. Функция ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, комплексно-дифференцируемая в точке ${\displaystyle x=a}$ автоматически дифференцируется в этой точке, если рассматривать ее как функцию ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$. Это потому, что комплексная дифференцируемость означает, что

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

Однако функция ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ может быть дифференцируемой как функция с несколькими переменными, но не комплексно-дифференцируемой. Например, ${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ дифференцируема в каждой точке, рассматриваемая как вещественная функция с двумя переменными ${\displaystyle f(x,y)=x}$, но он не является комплексно-дифференцируемым в любой точке.

Любая функция, комплексно-дифференцируемая в окрестности точки, называется голоморфный в таком случае. Такая функция обязательно бесконечно дифференцируема, и на самом деле аналитический.

Дифференцируемые функции на многообразиях

Смотрите также: Дифференцируемое многообразие § Дифференцируемые функции

Если M это дифференцируемое многообразие, действительная или комплексная функция ж на M называется дифференцируемой в точке п если она дифференцируема относительно некоторой (или любой) координатной карты, определенной вокруг п. В более общем смысле, если M и N дифференцируемые многообразия, функция ж: M → N называется дифференцируемой в точке п если она дифференцируема относительно некоторых (или любых) координатных карт, определенных вокруг п и ж(п).

Смотрите также

• Обобщения производной
• Полудифференцируемость

Рекомендации

1. Банах, С. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179.. Процитировано Hewitt, E; Стромберг, К. (1963). Реальный и абстрактный анализ. Springer-Verlag. Теорема 17.8.