Полудифференцируемость - Semi-differentiability

В исчисление, филиал математика, понятия односторонняя дифференцируемость и полудифференцируемость из настоящий -значен функция ж действительной переменной слабее, чем дифференцируемость. В частности, функция ж как говорят справа дифференцируемый в какой-то момент а если, грубо говоря, производная можно определить как аргумент функции Икс переезжает в а справа и дифференцируемый слева в а если производную можно определить как Икс переезжает в а слева.

Одномерный случай

Эта функция не имеет производной в отмеченной точке, так как функция не непрерывный там. Однако он имеет правую производную во всех точках, причем ${\displaystyle \partial _{+}f(a)}$ постоянно равен 0.

В математика, а левая производная и правая производная находятся производные (скорость изменения функции), определенная для движения только в одном направлении (влево или вправо; то есть к более низким или более высоким значениям) аргументом функции.

Определения

Позволять ж обозначают действительную функцию, определенную на подмножестве я реальных чисел.

Если а ∈ я это предельная точка из я ∩ [а,∞) и односторонний предел

${\displaystyle \partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

существует как действительное число, то ж называется справа дифференцируемый в а и предел ∂₊ж(а) называется правая производная из ж в а.

Если а ∈ я предельная точка я ∩ (–∞,а] и односторонний предел

${\displaystyle \partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}$

существует как действительное число, то ж называется дифференцируемый слева в а и предел ∂_–ж(а) называется левая производная из ж в а.

Если а ∈ я предельная точка я ∩ [а,∞) и я ∩ (–∞,а] и если ж дифференцируема слева и справа в а, тогда ж называется полудифференцируемый в а.

Если левая и правая производные равны, то они имеют то же значение, что и обычная («двунаправленная») производная. Также можно определить симметричная производная, что равно среднее арифметическое левой и правой производных (когда они обе существуют), поэтому симметричная производная может существовать, когда обычная производная не существует.^[1]

Замечания и примеры

• Функция дифференцируемый загар внутренняя точка а своего домен тогда и только тогда, когда он полудифференцируем в а а левая производная равна правой производной.
• Примером полудифференцируемой функции, которая не является дифференцируемой, является абсолютная величина в а = 0.
• Если функция полудифференцируема в точке а, это означает, что он непрерывен при а.
• В индикаторная функция 1_[0,∞) дифференцируема справа на каждом действительном а, но разрывной в нуле (обратите внимание, что эта индикаторная функция не дифференцируема слева в нуле).

Заявление

Если действительная дифференцируемая функция ж, определенный на интервале я действительной прямой имеет всюду нулевую производную, тогда она постоянна, как применение теорема о среднем значении показывает. Предположение о дифференцируемости можно ослабить до непрерывности и односторонней дифференцируемости ж. Версия для дифференцируемых справа функций приведена ниже, версия для дифференцируемых слева функций аналогична.

Теорема —  Позволять ж быть ценным, непрерывная функция, определенный на произвольной интервал я реальной линии. Если ж дифференцируема справа в каждой точке а ∈ я, что не супремум отрезка, и если эта правая производная всегда равна нулю, то ж является постоянный.

Доказательство —

Для доказательство от противного Предположим, что существуют а < б в я такой, что ж(а) ≠ ж(б). потом

${\displaystyle \varepsilon :={\frac {|f(b)-f(a)|}{2(b-a)}}>0.}$

Определять c как инфимум из всех тех Икс в интервале (а,б] для чего коэффициент разницы из ж превышает ε по абсолютной величине, т.е.

${\displaystyle c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (x-a)\,\}.}$

Благодаря преемственности ж, следует, что c < б и|ж(c) – ж(а)| = ε(c – а). В c правая производная от ж равен нулю по предположению, следовательно, существует d в интервале (c,б] с |ж(Икс) – ж(c)| ≤ ε(Икс – c) для всех Икс в (c,d]. Следовательно, по неравенство треугольника,

${\displaystyle |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (x-a)}$

для всех Икс в [c,d), что противоречит определению c.

Дифференциальные операторы, действующие влево или вправо

Другое распространенное использование - описание производных инструментов, рассматриваемых как бинарные операторы в инфиксная запись, в котором производные должны применяться либо влево, либо вправо операнды. Это полезно, например, при определении обобщений Скобка Пуассона. Для пары функций f и g левая и правая производные соответственно определяются как

${\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{x}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g}$

${\displaystyle f{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.}$

В обозначение бюстгальтера, оператор производной может действовать на правый операнд как обычная производная или на левый как отрицательная производная.^[2]

Многомерный случай

Это определение может быть обобщено на вещественные функции ж определены на подмножествах р^п используя более слабую версию производная по направлению. Позволять а внутренняя точка области определения ж. потом ж называется полудифференцируемый в момент а если для каждого направления ты ∈ р^п Лимит

${\displaystyle \partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}}$

существует как действительное число.

Таким образом, полудифференцируемость слабее, чем Дифференцируемость Гато, для которого берется предел выше час → 0 без ограничения час только положительные значения.

Например, функция ${\displaystyle f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ полудифференцируема в ${\displaystyle (0,0)}$, но не дифференцируемые там Гато.

(Обратите внимание, что это обобщение не эквивалентно исходному определению для п = 1 поскольку понятие односторонних предельных точек заменено более сильным понятием внутренних точек.)

Характеристики

• Любой выпуклая функция на выпуклом открытое подмножество из р^п полудифференцируема.
• В то время как каждая полудифференцируемая функция одной переменной непрерывна; это больше не верно для нескольких переменных.

Обобщение

Вместо действительных функций можно рассматривать функции, принимающие значения в р^п или в Банахово пространство.

Смотрите также

• Производная
• Производная по направлению
• Частная производная
• Градиент
• Производная Гато
• Производная Фреше
• Производная (обобщения)
• Формулировка фазового пространства # Звездный продукт
• Производные Дини

Рекомендации

1. Питер Р. Мерсер (2014). Больше вычислений одной переменной. Springer. п. 173. ISBN  978-1-4939-1926-0.
2. Дирак, Поль (1982) [1930]. Принципы квантовой механики. США: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0198520115.

• Преда, В .; Chiescu, I. (1999). «О квалификации ограничений в задачах многокритериальной оптимизации: полудифференцируемый случай». J. Optim. Теория Appl. 100 (2): 417–433. Дои:10.1023 / А: 1021794505701.