Односторонний предел - One-sided limit

Функция ж(Икс) = Икс² + знак (Икс) имеет левый предел -1, правый предел +1 и значение функции 0 в точке Икс = 0.

В исчисление, а односторонний предел один из двух пределы из функция ж(Икс) из настоящий переменная Икс так как Икс приближается к указанной точке слева или справа.

Предел как Икс снижение стоимости приближается а (Икс подходы а «справа» или «сверху») могут обозначаться:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\ }$ или ${\displaystyle \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)}$ или ${\displaystyle \lim _{x\searrow a}\,f(x)}$ или ${\displaystyle \lim _{x{\underset {>}{\to }}a}f(x)}$

Предел как Икс приближение увеличения стоимости а (Икс подходы а «слева» или «снизу») могут обозначаться:

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\ }$ или ${\displaystyle \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)}$ или ${\displaystyle \lim _{x\nearrow a}\,f(x)}$ или ${\displaystyle \lim _{x{\underset {<}{\to }}a}f(x)}$

В теория вероятности обычно используются короткие обозначения:

${\displaystyle f(x-)}$ для левого предела и ${\displaystyle f(x+)}$ за правильный предел.

Два односторонних предела существуют и равны, если предел ж(Икс) так как Икс подходы а существуют. В некоторых случаях, когда предел

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}$

не существует, тем не менее, существуют два односторонних ограничения. Следовательно, предел при Икс подходы а иногда называют «двусторонним пределом».

В некоторых случаях один из двух односторонних ограничений существует, а другой нет, а в некоторых случаях ни того, ни другого не существует.

Правосторонний предел можно строго определить как

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

а левосторонний предел можно строго определить как

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),}$

где я представляет некоторые интервал это в пределах домен из ж.

Примеры

График функции ${\displaystyle 1/(1+2^{-1/x})}$

Один из примеров функции с разными односторонними ограничениями следующий (см. Рисунок):

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,}$

в то время как

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.}$

Отношение к топологическому определению предела

Односторонний предел до точки п соответствует общее определение лимита, с областью определения функции, ограниченной одной стороной, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство, включая п. В качестве альтернативы можно рассматривать домен с топология полуоткрытого интервала.

Теорема Абеля

Примечательная теорема об односторонних пределах некоторых степенной ряд на границах их интервалы схождения является Теорема Абеля.

Смотрите также

• Проективно расширенная действительная линия
• Полудифференцируемость
• Ограничьте высшее и ограничьте низшее

внешние ссылки

• «Односторонний предел». PlanetMath.