Производная Гато - Gateaux derivative

В математика, то Дифференциал Gateaux или же Производная Гато является обобщением концепции производная по направлению в дифференциальное исчисление. Названный в честь Рене Гато, французский математик, умер молодым в Первая Мировая Война, он определен для функций между локально выпуклый топологические векторные пространства Такие как Банаховы пространства. Словно Производная Фреше на банаховом пространстве дифференциал Гато часто используется для формализации функциональная производная обычно используется в вариационное исчисление и физика.

В отличие от других форм производных, дифференциал Гато функции может быть нелинейный. Однако часто определение дифференциала Гато также требует, чтобы он был непрерывное линейное преобразование. Некоторые авторы, такие как Тихомиров (2001), проведите дополнительное различие между дифференциалом Гато (который может быть нелинейным) и производной Гато (который они считают линейным). В большинстве приложений непрерывная линейность следует из некоторого более примитивного условия, которое является естественным для конкретной настройки, например, наложения комплексная дифференцируемость в контексте бесконечномерная голоморфность или же непрерывная дифференцируемость в нелинейном анализе.

Определение

Предполагать ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся локально выпуклый топологические векторные пространства (Например, Банаховы пространства ), ${\displaystyle U\subset X}$ открыто, и ${\displaystyle F:X\to Y}$. Дифференциал Гато ${\displaystyle dF(u;\psi )}$ из ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle u\in U}$ в направлении ${\displaystyle \psi \in X}$ определяется как

${\displaystyle dF(u;\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}}$

(1)

Если предел существует для всех ${\displaystyle \psi \in X}$, тогда говорят, что ${\displaystyle F}$ дифференцируема ли Гато в ${\displaystyle u}$.

Предел, указанный в (1) берется относительно топологии ${\displaystyle Y}$. Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся настоящий топологических векторных пространств, то предел берется для вещественных ${\displaystyle \tau }$. С другой стороны, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся сложный топологических векторных пространств, то указанный выше предел обычно принимается как ${\displaystyle \tau \to 0}$ в комплексная плоскость как в определении комплексная дифференцируемость. В некоторых случаях слабый предел взят вместо сильного предела, что приводит к понятию слабой производной Гато.

Линейность и непрерывность

В каждой точке ${\displaystyle u\in U}$, дифференциал Гато определяет функцию

${\displaystyle dF(u;\cdot ):X\rightarrow Y.}$

Эта функция однородна в том смысле, что для всех скаляров ${\displaystyle \alpha }$,

${\displaystyle dF(u;\alpha \psi )=\alpha dF(u;\psi ).\,}$

Однако эта функция не обязательно должна быть аддитивной, так что дифференциал Гато может не быть линейным, в отличие от Производная Фреше. Даже если он линейный, он может не зависеть непрерывно от ${\displaystyle \psi }$ если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ бесконечномерны. Кроме того, для дифференциалов Гато, которые находятся линейный и непрерывный по ${\displaystyle \psi }$, есть несколько неэквивалентных способов сформулировать их непрерывная дифференцируемость.

Например, рассмотрим функцию с действительным знаком ${\displaystyle F}$ двух действительных переменных, определяемых

${\displaystyle F(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0),\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0).\end{cases}}}$

Это Гато, дифференцируемый на (0, 0)с дифференциалом

${\displaystyle dF(0,0;a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&(a,b)\not =(0,0),\\0&(a,b)=(0,0).\end{cases}}}$

Однако это непрерывно, но не линейно по аргументам ${\displaystyle (a,b)}$. В бесконечных измерениях любой разрывной линейный функционал на ${\displaystyle X}$ дифференцируема по Гато, но ее дифференциал Гато в ${\displaystyle 0}$ линейно, но не непрерывно.

Связь с производной Фреше

Если ${\displaystyle F}$ дифференцируема по Фреше, то она также дифференцируема по Гато, и ее производные по Фреше и Гато согласуются. Обратное явно неверно, поскольку производная Гато может не быть линейной или непрерывной. Фактически, производная Гато даже может быть линейной и непрерывной, но производная Фреше не может существовать.

Тем не менее, для функций ${\displaystyle F}$ из сложный Банахово пространство ${\displaystyle X}$ в другое сложное банахово пространство ${\displaystyle Y}$, производная Гато (предел берется по комплексным ${\displaystyle \tau }$ стремится к нулю, как в определении комплексная дифференцируемость ) автоматически линейно, теорема Цорн (1945). Кроме того, если ${\displaystyle F}$ является (комплексным) дифференцируемым по Гато на каждом ${\displaystyle u\in U}$ с производной

${\displaystyle DF(u):\psi \mapsto dF(u;\psi )}$

тогда ${\displaystyle F}$ дифференцируема по Фреше на ${\displaystyle U}$ с производной Фреше ${\displaystyle DF}$ (Цорн 1946 ). Это аналогично результату базового комплексный анализ что функция аналитический если он комплексно дифференцируем в открытом множестве, и является фундаментальным результатом при изучении бесконечномерная голоморфность.

Непрерывная дифференцируемость

Непрерывную дифференцируемость по Гато можно определить двумя неэквивалентными способами. Предположим, что ${\displaystyle F:U\to Y}$ дифференцируема по Гато в каждой точке открытого множества ${\displaystyle U}$. Одно понятие непрерывной дифференцируемости в ${\displaystyle U}$ требует, чтобы отображение на пространство продукта

${\displaystyle dF:U\times X\rightarrow Y\,}$

быть непрерывный. Нет необходимости предполагать линейность: если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ являются пространствами Фреше, то ${\displaystyle dF(u;\cdot )}$ автоматически ограничен и линейен для всех ${\displaystyle u}$ (Гамильтон 1982 ).

Более сильное понятие непрерывной дифференцируемости требует, чтобы

${\displaystyle u\mapsto DF(u)\,}$

быть непрерывным отображением

${\displaystyle U\to L(X,Y)\,}$

из ${\displaystyle U}$ в пространство непрерывных линейных функций из ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle Y}$. Отметим, что это уже предполагает линейность ${\displaystyle DF(u)}$.

С технической точки зрения, это последнее понятие непрерывной дифференцируемости типично (но не универсально), когда пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ банаховы, так как ${\displaystyle L(X,Y)}$ также является Банахом, и тогда можно использовать стандартные результаты функционального анализа. Первое является более общим определением в областях нелинейного анализа, где задействованные функциональные пространства не обязательно являются банаховыми пространствами. Например, дифференцирование в пространствах Фреше есть такие приложения, как Теорема Нэша – Мозера об обратной функции в котором интересующие функциональные пространства часто состоят из гладкие функции на многообразие.

Высшие производные

Тогда как производные Фреше высшего порядка естественно определяются как полилинейные функции по итерации, используя изоморфизмы ${\displaystyle L^{n}(X,Y)=L(X,L^{n-1}(X,Y))}$производная Гато более высокого порядка не может быть определена таким образом. Вместо этого ${\displaystyle n}$производная Гато-го порядка функции ${\displaystyle F:U\subset X\to Y}$ в направлении ${\displaystyle h}$ определяется

${\displaystyle d^{n}F(u;h)=\left.{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}F(u+\tau h)\right|_{\tau =0}.}$

(2)

Это не полилинейная функция, а однородная функция степени ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle h}$.

Есть еще один кандидат на определение производной высшего порядка - функция

${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}=\lim _{\tau \to 0}{\frac {DF(u+\tau k)h-DF(u)h}{\tau }}=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau \,\partial \sigma }}F(u+\sigma h+\tau k)\right|_{\tau =\sigma =0}}$

(3)

что естественно возникает в вариационном исчислении как второй вариант из ${\displaystyle F}$, по крайней мере, в частном случае, когда ${\displaystyle F}$ скалярно. Однако он может вообще не иметь каких-либо разумных свойств, кроме того, что он по отдельности однороден в ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$. Желательно иметь достаточные условия для обеспечения того, чтобы ${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$ является симметричной билинейной функцией от ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$, и это согласуется с поляризация из ${\displaystyle d^{n}F}$.

Например, выполняется следующее достаточное условие (Гамильтон 1982 ). Предположим, что ${\displaystyle F}$ является ${\displaystyle C^{1}}$ в том смысле, что отображение

${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$

непрерывна в топологии произведения, и, кроме того, вторая производная, определяемая формулой (3) также непрерывна в том смысле, что

${\displaystyle D^{2}F:U\times X\times X\to Y}$

непрерывно. потом ${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}}$ билинейна и симметрична по ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle k}$. В силу билинейности выполняется поляризационное тождество

${\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}$

связывая производную второго порядка ${\displaystyle D^{2}F(u)}$ с дифференциалом ${\displaystyle d^{2}F(u;-)}$. Аналогичные выводы справедливы и для производных более высокого порядка.

Характеристики

Версия основная теорема исчисления выполняется для производной Гато от ${\displaystyle F}$, при условии ${\displaystyle F}$ предполагается достаточно непрерывно дифференцируемым. Конкретно:

• Предположим, что ${\displaystyle F:X\to Y}$ является ${\displaystyle C^{1}}$ в том смысле, что производная Гато является непрерывной функцией ${\displaystyle dF:U\times X\to Y}$. Тогда для любого ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle h\in X}$,

${\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt}$

где интеграл - это Интеграл Гельфанда – Петтиса (слабый интеграл).

Из этого вытекают многие другие известные свойства производной, такие как полилинейность и коммутативность производных более высокого порядка. Другие свойства, а также следствия основной теоремы, включают:

• (В Правило цепи)

${\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))}$

для всех ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle x\in X}$. (Обратите внимание, что, как и в случае с простым частные производные, производная Гато делает нет удовлетворяют цепному правилу, если производной разрешено быть разрывной.)

• (Теорема Тейлора с остатком)

Предположим, что отрезок между ${\displaystyle u\in U}$ и ${\displaystyle u+h}$ полностью лежит внутри ${\displaystyle U}$. Если ${\displaystyle F}$ является ${\displaystyle C^{k}}$ тогда

${\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}}$

где остаточный член равен

${\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt}$

Пример

Позволять ${\displaystyle X}$ быть Гильбертово пространство из квадратично интегрируемые функции на Измеримое множество по Лебегу ${\displaystyle \Omega }$ в Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Функционал

${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))\,dx}$

куда ${\displaystyle F}$ это настоящий -значная функция действительной переменной и ${\displaystyle u}$ определяется на ${\displaystyle \Omega }$ с реальными значениями, имеет производную Гато

${\displaystyle dE(u,\psi )=\langle F'(u),\psi \rangle :=\int _{\Omega }F'(u(x))\,\psi (x)\,dx.}$

Действительно, это предел ${\displaystyle \tau \to 0}$ из

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \,\psi )\,dx-\int _{\Omega }F(u)\,dx\right)\\[6pt]&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\,\tau \,\psi )\,ds\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}F'(u+s\tau \psi )\,\psi \,ds\,dx.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Производная Адамара
• Производная (обобщения)
• Дифференцирование в пространствах Фреше.
• Фрактальная производная
• Квазипроизводная
• Кватернионный анализ

Рекомендации

• Gateaux, R (1913), "Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Париж, 157: 325–327, получено 2 сентября 2012.
• Gateaux, R (1919), "Fonctions d'une infinité de variables indépendantes", Bulletin de la Société Mathématique de France, 47: 70–96.
• Гамильтон, Р.С. (1982), "Теорема Нэша и Мозера об обратной функции", Бык. Амер. Математика. Soc., 7 (1): 65–222, Дои:10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2, МИСТЕР  0656198
• Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, МИСТЕР  0423094.
• Тихомиров, В. (2001) [1994], "Гато вариация", Энциклопедия математики, EMS Press.
• Зорн, Макс (1945), "Характеризация аналитических функций в банаховых пространствах", Анналы математики, Вторая серия, 46 (4): 585–593, Дои:10.2307/1969198, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969198, МИСТЕР  0014190.
• Зорн, Макс (1946), «Производные и дифференциалы Фреше», Бюллетень Американского математического общества, 52 (2): 133–137, Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08524-9, МИСТЕР  0014595.