Производная Адамара - Hadamard derivative

Производная Адамара это концепция производная по направлению для карт между Банаховы пространства. Он особенно подходит для приложений в стохастическое программирование и асимптотическая статистика.^[1]

Определение

Карта ${\displaystyle \phi :\,\mathbb {D} \to \mathbb {E} }$ между Банаховы пространства ${\displaystyle \mathbb {D} }$ и ${\displaystyle \mathbb {E} }$ является Адамара дифференцируемые по направлениям^[2] в ${\displaystyle \theta \in \mathbb {D} }$ в направлении ${\displaystyle h\in \mathbb {D} }$ если существует карта ${\displaystyle \phi _{\theta }':\,\mathbb {D} \to \mathbb {E} }$ такой, что${\displaystyle {\frac {\phi (\theta +t_{n}h_{n})-\phi (\theta )}{t_{n}}}\to \phi _{\theta }'(h)}$ для всех последовательностей ${\displaystyle h_{n}\to h}$ и ${\displaystyle t_{n}\downarrow 0}$. Обратите внимание, что это определение не требует непрерывности или линейности производной по направлению ${\displaystyle h}$. Хотя непрерывность автоматически следует из определения, линейность - нет.

Отношение к другим производным инструментам

• Если существует производная Адамара по направлению, то Производная Гато также существует и две производные совпадают^[2]
• Производная Адамара легко обобщается для отображения между Хаусдорф топологические векторные пространства

Приложения

Версия функционала дельта-метод выполняется для дифференцируемых по направлению отображений Адамара. А именно пусть ${\displaystyle X_{n}}$ - последовательность случайных элементов в банаховом пространстве ${\displaystyle \mathbb {D} }$ (оснащен Сигма-поле Бореля ) такие, что слабая конвергенция ${\displaystyle \tau _{n}(X_{n}-\mu )\to Z}$ справедливо для некоторых ${\displaystyle \mu \in \mathbb {D} }$, некоторая последовательность действительных чисел ${\displaystyle \tau _{n}\to \infty }$ и какой-то случайный элемент ${\displaystyle Z\in \mathbb {D} }$ со значениями, сосредоточенными на отделимом подмножестве ${\displaystyle \mathbb {D} }$. Тогда для измеримой карты ${\displaystyle \phi :\mathbb {D} \to \mathbb {E} }$ которая дифференцируема по направлению Адамара в ${\displaystyle \mu }$ у нас есть ${\displaystyle \tau _{n}(\phi (X_{n})-\phi (\mu ))\to \phi _{\mu }'(Z)}$ (где слабая сходимость относительно борелевского сигма-поля на банаховом пространстве ${\displaystyle \mathbb {E} }$).

Этот результат находит применение в оптимальных выводах для широкого диапазона эконометрические модели, включая модели с частичная идентификация и слабый инструменты.^[3]

Рекомендации

1. Шапиро, Александр (1990). «О понятиях дифференцируемости по направлениям». Журнал теории оптимизации и приложений. 66 (3): 477–487. CiteSeerX  10.1.1.298.9112. Дои:10.1007 / bf00940933.
2. Шапиро, Александр (1991). «Асимптотический анализ стохастических программ». Анналы исследований операций. 30 (1): 169–186. Дои:10.1007 / bf02204815.
3. Фанг, Чжэн; Сантос, Андрес (2014). «Вывод о дифференцируемых по направлениям функциях». arXiv:1404.3763 [math.ST ].