Производная по направлению - Directional derivative

В математика, то производная по направлению многомерного дифференцируемая функция по заданному вектор v в данный момент Икс интуитивно представляет собой мгновенную скорость изменения функции, проходящей через Икс со скоростью, заданной v. Таким образом, он обобщает понятие частная производная, в котором скорость изменения берется по одному из криволинейный координатные кривые, все остальные координаты постоянны.

Производная по направлению - это частный случай Производная Гато.

Обозначение

Позволять ж - кривая, касательный вектор которой в некоторой выбранной точке равен v. Производная по направлению функции ж относительно v может обозначаться любым из следующего:

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} ),}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} ),}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial {f(\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {v} }}},}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )},}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$

Определение

А контурный сюжет из ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$, показывающий вектор градиента черным цветом, а единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$ масштабируется производной по направлению в направлении ${\displaystyle \mathbf {u} }$ оранжевым. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости увеличения функции.

В производная по направлению из скалярная функция

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

по вектору

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$

это функция ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$ определяется предел^[1]

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичного вектора) не определен.^[2]

Если функция ж является дифференцируемый в Икс, то производная по направлению существует вдоль любого вектора v, и у одного есть

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$

где ${\displaystyle \nabla }$ справа обозначает градиент и ${\displaystyle \cdot }$ это скалярное произведение.^[3] Это следует из определения пути ${\displaystyle h(t)=x+tv}$ и используя определение производной как предел, который можно вычислить на этом пути, чтобы получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}0=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD_{f}(x)(v)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D_{f}(x)(v)=\nabla _{v}f(x)-D_{f}(x)(v)\\\rightarrow \nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D_{f}(x)(v)=\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$

Интуитивно понятно, что производная от ж в какой-то момент Икс представляет скорость изменения из ж, в направлении v относительно времени, когда движется мимо Икс.

Использование только направления вектора

Угол α между касательной А и горизонталь будет максимальной, если секущая плоскость содержит направление градиента А.

В Евклидово пространство, некоторые авторы^[4] определим производную по направлению относительно произвольного ненулевого вектора v после нормализация, поэтому он не зависит от его величины и зависит только от его направления.^[5]

Это определение дает скорость увеличения ж на единицу пройденного расстояния в направлении, заданном v. В этом случае

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},}$

или в случае ж дифференцируема в Икс,

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.}$

Ограничение на единичный вектор

В контексте функции на Евклидово пространство, некоторые тексты ограничивают вектор v быть единичный вектор. С этим ограничением оба приведенных выше определения эквивалентны.^[6]

Характеристики

Многие из знакомых свойств обычного производная справедливы для производной по направлению. К ним относятся, для любых функций ж и грамм определено в район из, и дифференцируемый в, п:

1. правило сумм:

   ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$

2. правило постоянного множителя: Для любой постоянной c,
   ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$
3. правило продукта (или же Правило Лейбница):
   ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}$
4. Правило цепи: Если грамм дифференцируема в п и час дифференцируема в грамм(п), тогда
   ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}$

В дифференциальной геометрии

Смотрите также: Касательное пространство § Касательные векторы как производные по направлению

Позволять M быть дифференцируемое многообразие и п точка M. Предположим, что ж функция, определенная в окрестности п, и дифференцируемый в п. Если v это касательный вектор к M в п, то производная по направлению из ж вдоль v, обозначаемый по-разному как df(v) (видеть Внешняя производная ), ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ (видеть Ковариантная производная ), ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ (видеть Производная Ли ), или же ${\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}$ (видеть Касательное пространство § Определение с помощью выводов ), можно определить следующим образом. Позволять γ : [−1, 1] → M дифференцируемая кривая с γ(0) = п и γ′(0) = v. Тогда производная по направлению определяется как

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}$

Это определение можно доказать независимо от выбора γ, при условии γ выбирается в установленном порядке так, чтобы γ′(0) = v.

Производная Ли

В Производная Ли векторного поля ${\displaystyle \scriptstyle W^{\mu }(x)}$ вдоль векторного поля ${\displaystyle \scriptstyle V^{\mu }(x)}$ дается разностью двух производных по направлению (с нулевым кручением):

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.}$

В частности, для скалярного поля ${\displaystyle \scriptstyle \phi (x)}$, производная Ли сводится к стандартной производной по направлению:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}$

Тензор Римана

Направленные производные часто используются во вводных выводах Тензор кривизны Римана. Рассмотрим изогнутый прямоугольник с бесконечно малым вектором δ по одному краю и δ′ По другой. Переводим ковектор S вдоль δ тогда δ′, А затем вычесть перевод по δ' а потом δ. Вместо построения производной по направлению с использованием частных производных мы используем ковариантная производная. Оператор перевода для δ таким образом

${\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,}$

и для δ′,

${\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.}$

Тогда разница между двумя путями будет

${\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}$

Можно утверждать^[7] что некоммутативность ковариантных производных измеряет кривизну многообразия:

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },}$

куда р - тензор кривизны Римана, знак зависит от подписать соглашение автора.

В теории групп

Переводы

в Алгебра Пуанкаре, мы можем определить оператор бесконечно малого преобразования п так как

${\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .}$

(в я гарантирует, что п это самосопряженный оператор ) Для конечного перемещения λ, то унитарный Гильбертово пространство представление для переводов^[8]

${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(-i\mathbf {\lambda } \cdot \mathbf {P} \right).}$

Используя приведенное выше определение оператора инфинитезимального переноса, мы видим, что оператор конечного переноса является экспоненциальной производной по направлению:

${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).}$

Это оператор перевода в том смысле, что он действует на функции с несколькими переменными. ж(Икс) в качестве

${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } ).}$

Доказательство последнего уравнения

В стандартном исчислении с одной переменной производная гладкой функции f (x) определяется (при малых ε) ${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}.}$ Это можно изменить, чтобы найти f (x + ε): ${\displaystyle f(x+\epsilon )=f(x)+\epsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\epsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).}$ Следует, что ${\displaystyle [1+\epsilon \,(d/dx)]}$ оператор перевода. Это мгновенно обобщается[9] к функциям многих переменных f (Икс) ${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {\epsilon } )=\left(1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).}$ Здесь ${\displaystyle \mathbf {\epsilon } \cdot \nabla }$ - производная по направлению бесконечно малого смещения ε. Мы нашли бесконечно малую версию оператора перевода: ${\displaystyle U(\mathbf {\epsilon } )=1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla .}$ Очевидно, что закон группового умножения[10] U (g) U (f) = U (gf) принимает вид ${\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).}$ Итак, предположим, что мы берем конечное смещение λ и разделим его на N частей (везде подразумевается N → ∞), так что λ/ N =ε. Другими словами, ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =N\mathbf {\epsilon } .}$ Затем, применяя U (ε) N раз можно построить U (λ): ${\displaystyle [U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=U(N\mathbf {\epsilon } )=U(\mathbf {\lambda } ).}$ Теперь мы можем вставить вышеприведенное выражение для U (ε): ${\displaystyle [U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}=\left[1+\mathbf {\epsilon } \cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {\mathbf {\lambda } \cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}$ Используя личность[11] ${\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}$ у нас есть ${\displaystyle U(\mathbf {\lambda } )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right).}$ А поскольку U (ε) f (Икс) = f (Икс+ε) у нас есть ${\displaystyle [U(\mathbf {\epsilon } )]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N\mathbf {\epsilon } )=f(\mathbf {x} +\mathbf {\lambda } )=U(\mathbf {\lambda } )f(\mathbf {x} )=\exp \left(\mathbf {\lambda } \cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}$ Q.E.D. Техническое примечание: эта процедура возможна только потому, что группа перевода формирует Абелев подгруппа (Подалгебра Картана ) в алгебре Пуанкаре. В частности, закон группового умножения U (а) U (б) = U (а+б) не следует воспринимать как должное. Отметим также, что Пуанкаре - связная группа Ли. Это группа преобразований T (ξ), которые описываются непрерывным набором вещественных параметров ${\displaystyle \scriptstyle \xi ^{a}}$. Закон группового умножения принимает вид ${\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).}$ Принимая ${\displaystyle \scriptstyle \xi ^{a}}$= 0 в качестве координат единицы, мы должны иметь ${\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.}$ Фактические операторы в гильбертовом пространстве представлены унитарными операторами U (T (ξ)). В приведенных выше обозначениях мы убрали T; теперь пишем U (λ) как U (п(λ)). Для небольшой окрестности идентичности представление степенного ряда ${\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots }$ неплохо. Предположим, что U (T (ξ)) образуют непроективное представление, т. Е. Что ${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).}$ Разложение f во вторую степень равно ${\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.}$ После расширения уравнения умножения представлений и приравнивания коэффициентов имеем нетривиальное условие ${\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.}$ С ${\displaystyle \scriptstyle t_{ab}}$ по определению симметрична по своим индексам, мы имеем стандартный Алгебра Ли коммутатор: ${\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}$ с C структурная постоянная. Генераторами переводов являются операторы с частными производными, которые коммутируют: ${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}$ Это означает, что структурные константы обращаются в нуль, а значит, равны нулю и квадратичные коэффициенты разложения f. Это означает, что f просто аддитивно: ${\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},}$ а значит, для абелевых групп ${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}$ Q.E.D.

Вращения

В оператор вращения также содержит производную по направлению. Оператор вращения для угла θ, т.е. на величину θ = |θ| вокруг оси, параллельной ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\theta }}}$ = θ/ θ является

${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).}$

Здесь L векторный оператор, который порождает ТАК (3):

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .}$

Геометрически можно показать, что бесконечно малое правое вращение изменяет вектор положения Икс к

${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} .}$

Таким образом, при бесконечно малом вращении мы ожидаем:

${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.}$

Следует, что

${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .}$

Следуя той же процедуре возведения в степень, что и выше, мы приходим к оператору вращения в позиционном базисе, который является экспоненциальной производной по направлению:^[12]

${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}$

Нормальная производная

А нормальная производная является производной по направлению, взятой в направлении нормали (т. е. ортогональный ) на некоторую поверхность в космосе или, в более общем смысле, вдоль нормальный вектор поле, ортогональное некоторым гиперповерхность. См. Например Граничное условие Неймана. Если нормальное направление обозначить ${\displaystyle \mathbf {n} }$, то производная по направлению функции ж иногда обозначается как ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}}$. В других обозначениях

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$

В механике сплошной среды твердого тела

Некоторые важные результаты в механике сплошной среды требуют производных векторов по векторам и тензоры относительно векторов и тензоров.^[13] В директива направления обеспечивает систематический способ поиска этих производных.

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярных функций векторов

Позволять ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ - вещественная функция вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Тогда производная от ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ относительно ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (или в ${\displaystyle \mathbf {v} }$) в направлении ${\displaystyle \mathbf {u} }$ определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$

для всех векторов ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Характеристики:

1. Если ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} .}$
2. Если ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).}$
3. Если ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} .}$

Производные векторных функций векторов

Позволять ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )}$ - вектор-функция вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$. Тогда производная от ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )}$ относительно ${\displaystyle \mathbf {v} }$ (или в ${\displaystyle \mathbf {v} }$) в направлении ${\displaystyle \mathbf {u} }$ это тензор второго порядка определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$

для всех векторов ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Характеристики:

1. Если ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} .}$
2. Если ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).}$
3. Если ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right).}$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка

Позволять ${\displaystyle f(\mathbf {S} )}$ - вещественная функция тензора второго порядка ${\displaystyle \mathbf {S} }$. Тогда производная от ${\displaystyle f(\mathbf {S} )}$ относительно ${\displaystyle \mathbf {S} }$ (или в ${\displaystyle \mathbf {S} }$) в направлении${\displaystyle \mathbf {T} }$ это тензор второго порядка определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =Df(\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}}$

для всех тензоров второго порядка ${\displaystyle \mathbf {T} }$.

Характеристики:

1. Если ${\displaystyle f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {S} )+f_{2}(\mathbf {S} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {S} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}\right):\mathbf {T} .}$
2. Если ${\displaystyle f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {S} )~f_{2}(\mathbf {S} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right)~f_{2}(\mathbf {S} )+f_{1}(\mathbf {S} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).}$
3. Если ${\displaystyle f(\mathbf {S} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {S} ))}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).}$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка

Позволять ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )}$ - тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка ${\displaystyle \mathbf {S} }$. Тогда производная от ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )}$ относительно ${\displaystyle \mathbf {S} }$ (или в ${\displaystyle \mathbf {S} }$) в направлении ${\displaystyle \mathbf {T} }$ это тензор четвертого порядка определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =D\mathbf {F} (\mathbf {S} )[\mathbf {T} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {F} (\mathbf {S} +\alpha \mathbf {T} )\right]_{\alpha =0}}$

для всех тензоров второго порядка ${\displaystyle \mathbf {T} }$.

Характеристики:

1. Если ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {S} }}+{\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}\right):\mathbf {T} .}$
2. Если ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )\cdot \mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} )+\mathbf {F} _{1}(\mathbf {S} )\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).}$
3. Если ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} ))}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial \mathbf {F} _{1}}{\partial \mathbf {F} _{2}}}:\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).}$
4. Если ${\displaystyle f(\mathbf {S} )=f_{1}(\mathbf {F} _{2}(\mathbf {S} ))}$ тогда ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {F} _{2}}}:\left({\frac {\partial \mathbf {F} _{2}}{\partial \mathbf {S} }}:\mathbf {T} \right).}$

Смотрите также

• Производная Фреше
• Производная Гато
• Производная Адамара
• Производная (обобщения)
• Производная Ли
• Дифференциальная форма
• Структурный тензор
• Тензорная производная (механика сплошной среды)
• Del в цилиндрических и сферических координатах

Примечания

1. Р. Вреде; М. Р. Шпигель (2010). Расширенный расчет (3-е изд.). Обзорная серия Шаума. ISBN  978-0-07-162366-7.
2. Применимость распространяется на функции над пространствами без метрика и чтобы дифференцируемые многообразия, например, в общая теория относительности.
3. Если скалярное произведение не определено, градиент также не определено; однако для дифференцируемых ж, производная по направлению все еще определена, и аналогичная связь существует с внешней производной.
4. Томас, Джордж Б. Младший; и Финни, Росс Л. (1979) Исчисление и аналитическая геометрия, Addison-Wesley Publ. Co., пятое издание, стр. 593.
5. Обычно это предполагает Евклидово пространство - например, функция нескольких переменных обычно не имеет определения величины вектора и, следовательно, единичного вектора.
6. Хьюз-Халлет, Дебора; Маккаллум, Уильям Дж .; Глисон, Эндрю М. (01.01.2012). Исчисление: одно- и многомерное. Джон Вили. п. 780. ISBN  9780470888612. OCLC  828768012.
7. Зи, А. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна. Принстон: Издательство Принстонского университета. п. 341. ISBN  9780691145587.
8. Вайнберг, Стивен (1999). Квантовая теория полей (Печатается (с корр.) Под ред.). Кембридж [u.a.]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN  9780521550017.
9. Зи, А. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691145587.
10. Мексика, Кевин Кэхилл, Нью-Йоркский университет (2013). Физическая математика (Ред. Ред.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1107005211.
11. Эдвардс, Рон Ларсон, Роберт, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (9-е изд.). Бельмонт: Брукс / Коул. ISBN  9780547209982.
12. Шанкар Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum. п. 318. ISBN  9780306447907.
13. Дж. Э. Марсден и Т. Дж. Р. Хьюз, 2000 г., Математические основы упругости, Дувр.

Рекомендации

• Хильдебранд, Ф. Б. (1976). Расширенный расчет для приложений. Прентис Холл. ISBN  0-13-011189-9.
• К.Ф. Райли; М.П. Хобсон; С.Дж. Бенс (2010). Математические методы для физики и техники. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86153-3.
• Шапиро, А. (1990). «О понятиях дифференцируемости по направлениям». Журнал теории оптимизации и приложений. 66 (3): 477–487. Дои:10.1007 / BF00940933.

внешняя ссылка

• Направленные производные в MathWorld.
• Производная по направлению в PlanetMath.