Тест конденсации Коши - Cauchy condensation test

Не путать с Тест сходимости Коши.

В математика, то Тест конденсации Коши, названный в честь Огюстен-Луи Коши, является стандартным проверка сходимости за бесконечная серия. Для невозрастающий последовательность ${displaystyle f(n)}$ неотрицательных действительных чисел, ряд ${displaystyle displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }f(n)}$ сходится тогда и только тогда, когда «сжатый» ряд ${displaystyle displaystyle sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})}$ сходится. Более того, если они сходятся, сумма сжатого ряда не более чем в два раза больше суммы исходного.

Оценивать

Тест конденсации Коши следует из более сильной оценки

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }f(n)leq sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})leq 2sum _{n=1}^{infty }f(n),}$

что следует понимать как неравенство расширенные действительные числа. Суть доказательства следует, по образцу Орема доказательство расхождения гармонический ряд.

Чтобы увидеть первое неравенство, члены исходного ряда заменяются скобками на серии, длина которых равна степеням двойки, а затем каждая серия ограничивается сверху путем замены каждого члена на самый большой член в этой серии. Этот член всегда является первым, поскольку предполагается, что члены не увеличиваются.

${displaystyle {egin{array}{rcccccccl}displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&cdots &=&f(1)&+&{Big (}f(2)+f(3){Big )}&+&{Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){Big )}&+&cdots &leq &f(1)&+&{Big (}f(2)+f(2){Big )}&+&{Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){Big )}&+&cdots &=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&cdots =sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})end{array}}}$

Чтобы увидеть второе неравенство, эти две серии снова заменены скобками на серии степени двойки длины, но «смещены», как показано ниже, так что серия ${displaystyle extstyle 2sum _{n=1}^{infty }f(n)}$ который начинается с ${displaystyle extstyle f(2^{n})}$ выравнивается с концом пробега ${displaystyle extstyle sum _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})}$ который заканчивается с ${displaystyle extstyle f(2^{n})}$, так что первый всегда остается «впереди» второго.

${displaystyle {egin{array}{rcl}sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})&=&f(1)+{Big (}f(2)+f(2){Big )}+{Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){Big )}+cdots &=&{Big (}f(1)+f(2){Big )}+{Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){Big )}+cdots &leq &{Big (}f(1)+f(1){Big )}+{Big (}f(2)+f(2)+f(3)+f(3){Big )}+cdots =2sum limits _{n=1}^{infty }f(n)end{array}}}$

Визуализация приведенного выше аргумента. Частичные суммы серии ${displaystyle extstyle sum f(n)}$, ${displaystyle sum 2^{n}f(2^{n})}$, и ${displaystyle 2sum f(n)}$ отображаются с наложением слева направо.

Интегральное сравнение

Преобразование «конденсация» ${displaystyle extstyle f(n)ightarrow 2^{n}f(2^{n})}$ напоминает подстановку интегральной переменной ${displaystyle extstyle xightarrow e^{x}}$ уступающий ${displaystyle extstyle f(x),mathrm {d} xightarrow e^{x}f(e^{x}),mathrm {d} x}$.

Следуя этой идее, интегральный критерий сходимости дает нам, в случае монотонного f, что ${displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }f(n)}$ сходится тогда и только тогда, когда ${displaystyle displaystyle int _{1}^{infty }f(x),mathrm {d} x}$ сходится. Замена ${displaystyle extstyle xightarrow 2^{x}}$ дает интеграл ${displaystyle displaystyle log 2,int _{0}^{infty }!2^{x}f(2^{x}),mathrm {d} x}$ и еще один интегральный тест^{[требуется разъяснение ]} подводит нас к сокращенному ряду ${displaystyle displaystyle sum limits _{n=0}^{infty }2^{n}f(2^{n})}$.

Примеры

Тест может быть полезен для серий, где п появляется в знаменателе в ж. В качестве наиболее простого примера такого рода гармонический ряд ${displaystyle extstyle sum _{n=1}^{infty }1/n}$ превращается в серию ${displaystyle extstyle sum 1}$, что явно расходится.

В качестве более сложного примера возьмем

${displaystyle f(n):=n^{-a}(log n)^{-b}(log log n)^{-c}}$.

Здесь ряд определенно сходится при а > 1 и расходится при а <1. Когда а = 1 преобразование конденсации дает ряд

${displaystyle sum n^{-b}(log n)^{-c}}$.

Логарифмы «сдвигаются влево». Так когда а = 1, имеем сходимость при б > 1, расхождение при б <1. Когда б = 1 значение c входит.

Этот результат легко обобщить: многократно применяемый тест на конденсацию может быть использован, чтобы показать, что для ${displaystyle k=1,2,3,ldots }$, обобщенный ряд Бертрана

${displaystyle sum _{ngeq N}{frac {1}{ncdot log ncdot log log ncdots log ^{circ (k-1)}ncdot (log ^{circ k}n)^{alpha }}}quad quad (N=lfloor exp ^{circ k}(0)floor +1)}$

сходится для ${displaystyle alpha >1}$ и расходится на ${displaystyle 0<alpha leq 1}$.^[1] Здесь ${displaystyle f^{circ m}}$ обозначает м-й композиционный повторять функции ${displaystyle f}$, так что

${displaystyle f^{circ m}(x):={egin{cases}f(f^{circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,ldots ;x,&m=0.end{cases}}}$

Нижний предел суммы, ${displaystyle N}$, было выбрано так, чтобы все члены ряда были положительными. Примечательно, что эти ряды предоставляют примеры бесконечных сумм, которые сходятся или расходятся сколь угодно медленно. Например, в случае ${displaystyle k=2}$ и ${displaystyle alpha =1}$, частичная сумма превышает 10 только после ${displaystyle 10^{10^{100}}}$(а гуголплекс ) термины; тем не менее, серии расходятся.

Шлёмильха Обобщение

Позволять^[2] ты(п) - строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что отношение следующих друг за другом различия ограничено: существует положительное действительное число N, для которого:

${displaystyle {Delta u(n) over Delta u(n{-}1)} = {u(n{+}1)-u(n) over u(n)-u(n{-}1)} < N { ext{for all }}n.}$

Тогда при условии, что ${displaystyle f(n)}$ удовлетворяет тем же предварительным условиям, что и в тесте Коши, сходимость ряда ${displaystyle extstyle sum _{n=1}^{infty }f(n)}$ эквивалентно сходимости:

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{Delta u(n)},f(u(n)) = sum _{n=0}^{infty }{Big (}u(n{+}1)-u(n){Big )}f(u(n)).}$

Принимая ${displaystyle extstyle u(n)=2^{n}}$ так что ${displaystyle extstyle Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$, тест конденсации Коши является частным случаем.

Рекомендации

1. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 62–63. ISBN  0-07-054235-X.
2. http://people.brandeis.edu/~joyner/everytopic/LiflyandCauchyTalk.pdf, п. 28 июля

• Бонар, Хури (2006). Настоящая бесконечная серия. Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-745-6.

внешняя ссылка

• Доказательство теста конденсации Коши