Подстановка Эйлера - Euler substitution

Подстановка Эйлера - метод вычисления интегралов вида

${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}$

куда ${\displaystyle R}$ является рациональной функцией ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. В таких случаях подынтегральное выражение может быть изменено на рациональную функцию с помощью подстановок Эйлера.^[1]

Первая подстановка Эйлера

Первая подстановка Эйлера используется, когда ${\displaystyle a>0}$. Подменяем

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}$

и решим полученное выражение для ${\displaystyle x}$. У нас есть это ${\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}$ и что ${\displaystyle dx}$ термин выражается рационально в ${\displaystyle t}$.

В этой замене можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Вторая подстановка Эйлера

Если ${\displaystyle c>0}$, мы принимаем

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}$

Мы решаем для ${\displaystyle x}$ аналогично тому, как указано выше, и найдите${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}$

Опять же, можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Третья подстановка Эйлера

Если многочлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ имеет настоящие корни ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$мы можем выбрать${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$. Это дает ${\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}$и, как и в предыдущих случаях, мы можем рационально выразить всю подынтегральную функцию в виде ${\displaystyle t}$.

Примеры работ

Примеры первой подстановки Эйлера

Один

В интегральном ${\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}$ мы можем использовать первую замену и установить ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$, таким образом

${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}$

Соответственно получаем:

${\displaystyle \int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int \!{\frac {\ dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}$

Случаи ${\displaystyle c=\pm 1}$ дать формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&={\mbox{arsinh}}(x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&={\mbox{arcosh}}(x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}$

Два

Для определения значения

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}$

мы нашли ${\displaystyle t}$ используя первую замену Эйлера, ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$. Возведение обеих частей уравнения в квадрат дает нам ${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}$, откуда ${\displaystyle x^{2}}$ условия будут отменены. Решение для ${\displaystyle x}$ дает

${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}$

Отсюда мы находим, что дифференциалы ${\displaystyle dx}$ и ${\displaystyle dt}$ связаны

${\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}dt\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$

Примеры второй подстановки Эйлера

В интегральном

${\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}$

мы можем использовать вторую замену и установить ${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}$. Таким образом

${\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}$

и

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}$

Соответственно получаем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}t-1{\Biggl |}+C={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln {\Biggl |}2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1{\Biggl |}+C\end{aligned}}}$

Примеры третьей подстановки Эйлера

Оценить

${\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}$

мы можем использовать третью замену и установить ${\displaystyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}$. Таким образом

${\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}$

и

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}$

Следующий,

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}})^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{((-t^{2}-1)^{2})^{3}}}\ dt.}$

Как мы видим, это рациональная функция, которую можно решить с помощью дробных дробей.

Обобщения

Подстановки Эйлера можно обобщить, допустив использование мнимых чисел. Например, в интеграле ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$, замена ${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ может быть использован. Расширение комплексных чисел позволяет нам использовать любой тип подстановки Эйлера, независимо от коэффициентов на квадратике.

Подстановки Эйлера можно обобщить на более широкий класс функций. Рассмотрим интегралы вида

${\displaystyle \int R_{1}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}\,\log {\Big (}R_{2}{\Big (}x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}{\Big )}{\Big )}\,dx,}$

куда ${\displaystyle R_{1}}$ и ${\displaystyle R_{2}}$ являются рациональными функциями ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. Этот интеграл можно преобразовать заменой ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}$ в другой интеграл

${\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}$

куда ${\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}$ и ${\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}$ теперь просто рациональные функции ${\displaystyle t}$. В принципе, факторизация и частичное разложение на фракции можно использовать для разбивки интеграла на простые термины, которые можно интегрировать аналитически с помощью дилогарифм функция.^[2]

Смотрите также

• Математический портал

• Интеграция заменой
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса

Рекомендации

1. Н. Пискунов, Diferentsiaal- ja integrationalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Кирьястус Валгус, Таллинн (1965). Примечание. Подстановки Эйлера можно найти в большинстве русских учебников по математическому анализу.
2. Цвиллинджер, Даниэль. Справочник по интеграции. 1992: Джонс и Бартлетт. С. 145–146. ISBN  978-0867202939.

Эта статья включает в себя материал из книги Эйлера "Подстановки для интеграции" на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.