Срок тестирования - Term test

В математика, то птест на дивергенцию^[1] это простой тест на расхождение из бесконечная серия:

Если ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} eq 0}$ или если лимит не существует, то ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ расходится.

Многие авторы не называют этот тест или дают ему более короткое название.^[2]

При проверке того, сходится ли ряд или расходится, этот тест часто проверяется в первую очередь из-за простоты его использования.

использование

В отличие от более сильных тесты сходимости, сам по себе термин тест не может доказать, что ряд сходится. В частности, обратное к проверке неверно; вместо этого все, что можно сказать:

Если ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n} = 0,}$ тогда ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ могут или не могут сходиться. Другими словами, если ${displaystyle lim _ {нет информации} a_ {n} = 0,}$ тест безрезультатный.

В гармонический ряд является классическим примером расходящегося ряда, члены которого ограничиваются нулем.^[3] Более общий класс п-серии,

{displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {n ^ {p}}},}

иллюстрирует возможные результаты теста:

Если п ≤ 0, то термин тест определяет серию как расходящуюся.
Если 0 < п ≤ 1, то термин test неубедителен, но ряд расходится на интегральный критерий сходимости.
Если 1 < п, то термин «проверка» неубедителен, но ряд сходится, опять же по интегральному критерию сходимости.

Доказательства

Тест обычно подтверждается контрапозитивный форма:

Если ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} a_ {n}}$ сходится, то ${displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = 0.}$

Ограничьте манипуляции

Если s_п являются частичными суммами ряда, то предположение, что ряд сходится, означает, что

{displaystyle lim _ {нет информации} s_ {n} = L}

для некоторого числа s. потом^[4]

{displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = lim _ {n o infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = lim _ {n o infty} s_ {n} -lim _ { n o infty} s_ {n-1} = LL = 0.}

Критерий Коши

Предположение, что ряд сходится, означает, что он проходит Тест сходимости Коши: для каждого ${displaystyle varepsilon> 0}$ есть номер N такой, что

{displaystyle | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + ldots + a_ {n + p} |

относится ко всем п > N и п ≥ 1. Настройка п = 1 восстанавливает определение оператора^[5]

{displaystyle lim _ {n o infty} a_ {n} = 0.}

Объем

Самый простой вариант термина «тест» применяется к бесконечным сериям действительные числа. Приведенные выше два доказательства с использованием критерия Коши или линейности предела также работают в любых других случаях. нормированное векторное пространство^[6] (или любой (аддитивно записанной) абелевой группы).

Примечания

^ Качор стр.336
^ Например, Рудин (с.60) указывает только контрапозитивную форму и не называет ее. Брабенек (стр. 156) называет это просто nth тест на срок. Стюарт (стр. 709) называет это Тест на дивергенцию.
^ Рудин стр.60
^ Brabenec p.156; Стюарт стр.709
^ Рудин (стр.59-60) использует эту идею доказательства, начиная с другой формулировки критерия Коши.
^ Хансен стр.55; Uhubi стр.375