Частная производная - Partial derivative - Wikipedia

В математика, а частная производная из функция нескольких переменных это его производная по отношению к одной из этих переменных, при этом остальные остаются постоянными (в отличие от полная производная, в котором все переменные могут изменяться). Частные производные используются в векторное исчисление и дифференциальная геометрия.

Частная производная функции ${\displaystyle f(x,y,\dots )}$ по переменной ${\displaystyle x}$ обозначается по-разному

${\displaystyle f'_{x},f_{x},\partial _{x}f,\ D_{x}f,D_{1}f,{\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.}$

Иногда для ${\displaystyle z=f(x,y,\ldots ),}$ частная производная от ${\displaystyle z}$ относительно ${\displaystyle x}$ обозначается как ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$ Поскольку частная производная обычно имеет те же аргументы, что и исходная функция, ее функциональная зависимость иногда явно обозначается обозначениями, например:

${\displaystyle f_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$

Для обозначения частных производных используется следующий символ: ∂. Одним из первых известных применений этого символа в математике является Маркиз де Кондорсе с 1770 г., который использовал его для частичных отличий. Современное обозначение частных производных было создано Адриан-Мари Лежандр (1786) (хотя позже он отказался от него, Карл Густав Джейкоб Якоби повторно ввел символ в 1841 г.).^[1]

Вступление

Предположим, что ж является функцией более чем одной переменной. Например,

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

График z = Икс² + ху + у². Для частной производной при (1, 1) что оставляет у константа, соответствующая касательная линия параллельна xz-самолет.

Часть графика выше, показывающая функцию в xz-самолет в у = 1. Обратите внимание, что две оси показаны здесь в разных масштабах. Наклон касательной равен 3.

В график этой функции определяет поверхность в Евклидово пространство. К каждой точке на этой поверхности приходится бесконечное количество касательные линии. Частичная дифференциация - это акт выбора одной из этих линий и нахождения ее склон. Обычно наибольший интерес представляют линии, параллельные ${\displaystyle xz}$-плоскость, и те, что параллельны ${\displaystyle yz}$-самолет (который является результатом удержания либо ${\displaystyle y}$ или же ${\displaystyle x}$ постоянная соответственно).

Чтобы найти наклон касательной к функции при ${\displaystyle P(1,1)}$ и параллельно ${\displaystyle xz}$-самолет, лечим ${\displaystyle y}$ как константа. График и эта плоскость показаны справа. Ниже мы видим, как функция выглядит на плоскости ${\displaystyle y=1}$ . Найдя производная уравнения, предполагая, что ${\displaystyle y}$ постоянная, получаем, что наклон ${\displaystyle f}$ в момент ${\displaystyle (x,y)}$ является:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

Так что на ${\displaystyle (1,1)}$, при подстановке наклон равен 3. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

в момент ${\displaystyle (1,1)}$. То есть частная производная от ${\displaystyle z}$ относительно ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle (1,1)}$ равно 3, как показано на графике.

Определение

Основное определение

Функция ж может быть интерпретирован как семейство функций одной переменной, индексированной другими переменными:

${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

Другими словами, каждое значение у определяет функцию, обозначенную ж_у , которая является функцией одной переменной Икс.^[а] То есть,

${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

В этом разделе обозначение нижнего индекса ж_у обозначает функцию, зависящую от фиксированного значения у, а не частная производная.

Когда-то значение у выбран, скажем а, тогда ж(Икс,у) определяет функцию ж_а который рисует кривую Икс² + топор + а² на ${\displaystyle xz}$-самолет:

${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$

В этом выражении а это постоянный, а не Переменная, так ж_а является функцией только одной реальной переменной, которая является Икс. Следовательно, применяется определение производной для функции одной переменной:

${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$

Вышеуказанная процедура может выполняться для любого выбора а. Объединение производных вместе в функцию дает функцию, которая описывает изменение ж в Икс направление:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$

Это частная производная от ж относительно Икс. Здесь ∂ - округленное d называется символом частной производной. Чтобы отличить это от буквы d, ∂ иногда произносится как «частичный».

В общем, частная производная от н-арный функция ж(Икс₁, ..., Икс_п) в направлении Икс_я в точке (а₁, ..., а_п) определяется как:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.}$

В приведенном выше коэффициенте разницы все переменные, кроме Икс_я фиксируются. Этот выбор фиксированных значений определяет функцию одной переменной

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

и по определению

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

Другими словами, разные варианты а индексировать семейство функций с одной переменной, как в приведенном выше примере. Это выражение также показывает, что вычисление частных производных сводится к вычислению производных с одной переменной.

Важным примером функции нескольких переменных является случай скалярная функция ж(Икс₁, ..., Икс_п) на области евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (например, на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ или же ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). В этом случае ж имеет частную производную ∂ж/∂Икс_j по каждой переменной Икс_j. В точке аэти частные производные определяют вектор

${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$

Этот вектор называется градиент из ж в а. Если ж дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент является векторной функцией ∇ж который берет точку а к вектору ∇ж(а). Следовательно, градиент дает векторное поле.

Обычный злоупотребление обозначениями заключается в определении оператор дель (∇) следующим образом в трехмерном Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с единичные векторы ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$:

${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$

Или, в более общем смысле, для п-мерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с координатами ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ и единичные векторы ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$:

${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\ldots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$

Формальное определение

Как и обычные производные, частная производная определяется как предел. Позволять U быть открытое подмножество из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ функция. Частная производная от ж в момент ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$ с уважением к я-я переменная Икс_я определяется как

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}}$

Даже если все частные производные ∂ж/∂Икс_я(а) существуют в данной точке а, функция не должна быть непрерывный там. Однако если все частные производные существуют в район из а и там непрерывны, то ж является полностью дифференцируемый в этой окрестности и полная производная непрерывна. В этом случае говорят, что ж это C¹ функция. Это может быть использовано для обобщения векторных функций, ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m},}$ осторожно используя компонентный аргумент.

Частная производная ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ можно рассматривать как другую функцию, определенную на U и снова может быть частично дифференцирован. Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или на множестве), ж называется C² функционировать в этой точке (или на этом множестве); в этом случае частные производные можно обменять на Теорема Клеро:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$

Примеры

Геометрия

Объем конуса зависит от высоты и радиуса

В объем V из конус зависит от конуса высота час и это радиус р в соответствии с формулой

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$

Частная производная от V относительно р является

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}$

который представляет собой скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус изменяется, а его высота остается постоянной. Частная производная по ${\displaystyle h}$ равно ${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{3}},}$ который представляет скорость, с которой изменяется объем, если его высота изменяется, а его радиус остается постоянным.

Напротив, общий производная из V относительно р и час соответственно

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {dh}{dr}}}$

и

${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {dr}{dh}}}$

Разница между полной и частной производной заключается в устранении косвенных зависимостей между переменными в частных производных.

Если (по какой-то произвольной причине) пропорции конуса должны оставаться прежними, а высота и радиус находятся в фиксированном соотношении k,

${\displaystyle k={\frac {h}{r}}={\frac {dh}{dr}}.}$

Это дает полную производную по р:

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}={\frac {2\pi rh}{3}}+{\frac {\pi r^{2}}{3}}k}$

что упрощает:

${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}=k\pi r^{2}}$

Аналогично полная производная по час является:

${\displaystyle {\frac {dV}{dh}}=\pi r^{2}}$

Полная производная по обе r и h объема, задуманного как скалярная функция этих двух переменных, задаются градиент вектор

${\displaystyle \nabla V=\left({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2}\right)}$.

Оптимизация

Частные производные появляются в любом исчислении. оптимизация проблема с более чем одной переменной выбора. Например, в экономика фирма может пожелать максимизировать выгода π (Икс, у) относительно выбора величин Икс и у двух разных типов вывода. В условия первого порядка для этой оптимизации π_Икс = 0 = π_у. Поскольку обе частные производные π_Икс и π_у обычно сами будут функциями обоих аргументов Икс и уэти два условия первого порядка образуют система двух уравнений с двумя неизвестными.

Термодинамика, квантовая механика и математическая физика

Частные производные появляются в термодинамических уравнениях как Уравнение Гиббса-Дюгема, в квантовой механике как волновое уравнение Шредингера, а также в других уравнениях из математическая физика. Здесь переменные, которые остаются постоянными в частных производных, могут быть отношением простых переменных, таких как мольные доли Икс_я в следующем примере, включающем энергии Гиббса в системе тройной смеси:

${\displaystyle {\bar {G_{2}}}=G+(1-x_{2})\left({\frac {\partial G}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}$

выражать мольные доли компонента в зависимости от мольной доли других компонентов и бинарных мольных соотношений:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{3}}{x_{1}}}}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {1-x_{2}}{1+{\frac {x_{1}}{x_{3}}}}}}$

Дифференциальные коэффициенты могут быть сформированы при постоянных отношениях, подобных указанным выше:

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{1}}{1-x_{2}}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial x_{3}}{\partial x_{2}}}\right)_{\frac {x_{1}}{x_{3}}}=-{\frac {x_{3}}{1-x_{2}}}}$

Соотношения X, Y, Z мольных долей можно записать для тройных и многокомпонентных систем:

${\displaystyle X={\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{3}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}}$

${\displaystyle Z={\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}$

который можно использовать для решения уравнения в частных производных подобно:

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{2}}{\partial n_{1}}}\right)_{n_{2},n_{3}}=\left({\frac {\partial \mu _{1}}{\partial n_{2}}}\right)_{n_{1},n_{3}}}$

Это равенство можно изменить так, чтобы с одной стороны было дифференциальное отношение мольных долей.

Изменение размера изображения

Частные производные являются ключом к целевым алгоритмам изменения размера изображения. Широко известен как резьба по шву, эти алгоритмы требуют, чтобы каждый пиксель в изображении должна быть присвоена числовая «энергия» для описания их несходства с ортогональными соседними пикселями. В алгоритм затем постепенно удаляет строки или столбцы с наименьшей энергией. Формула, установленная для определения энергии пикселя (величина градиент на пиксель) сильно зависит от конструкций частных производных.

Экономика

Частные производные инструменты играют важную роль в экономика, в котором большинство функций, описывающих экономическое поведение, постулируют, что поведение зависит от нескольких переменных. Например, социальная функция потребления может описать сумму, потраченную на потребительские товары, как зависящую как от дохода, так и от благосостояния; то предельная склонность к потреблению тогда является частной производной функции потребления по доходу.

Обозначение

Дальнейшая информация: ∂

Для следующих примеров пусть ${\displaystyle f}$ быть функцией в ${\displaystyle x,y}$ и ${\displaystyle z}$.

Частные производные первого порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}$

Частные производные второго порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$

Второго порядка смешанные производные:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$

Частные и смешанные производные высшего порядка:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$

При работе с функциями нескольких переменных некоторые из этих переменных могут быть связаны друг с другом, поэтому может потребоваться явно указать, какие переменные остаются постоянными, чтобы избежать двусмысленности. В таких областях, как статистическая механика, частная производная от ${\displaystyle f}$ относительно ${\displaystyle x}$, держа ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ постоянная, часто выражается как

${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$

Условно для наглядности и простоты обозначений частная производная функция и ценить функции в определенной точке смешанный путем включения аргументов функции при использовании символа частной производной (нотация Лейбница). Таким образом, выражение вроде

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$

используется для функции, а

${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$

может использоваться для значения функции в точке ${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$. Однако это соглашение нарушается, когда мы хотим оценить частную производную в такой точке, как ${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$. В таком случае оценка функции должна быть выражена громоздко как

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$

или же

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$

чтобы использовать обозначение Лейбница. Таким образом, в этих случаях может быть предпочтительнее использовать обозначение дифференциального оператора Эйлера с ${\displaystyle D_{i}}$ как символ частной производной по отношению к я-я переменная. Например, можно было бы написать ${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$ для примера, описанного выше, а выражение ${\displaystyle D_{1}f}$ представляет собой частную производную функция по 1-й переменной.^[2]

Для частных производных более высокого порядка частная производная (функция) от ${\displaystyle D_{i}f}$ с уважением к j-я переменная обозначается ${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$. То есть, ${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$, так что переменные перечислены в порядке, в котором берутся производные, и, таким образом, в порядке, обратном тому, как обычно записывается композиция операторов. Конечно, Теорема Клеро подразумевает, что ${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$ пока сравнительно мягкие условия регулярности на ж довольны.

Первоначальный аналог

Существует концепция частных производных, аналогичная понятию первообразные для регулярных производных. Учитывая частную производную, он позволяет частичное восстановление исходной функции.

Рассмотрим на примере

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$

«Частный» интеграл можно взять по Икс (лечение у как константа, аналогично частичной дифференциации):

${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)}$

Здесь «постоянная» интеграции больше не является константой, а является функцией всех переменных исходной функции, кроме Икс. Причина этого в том, что все другие переменные рассматриваются как постоянные при взятии частной производной, поэтому любая функция, которая не включает ${\displaystyle x}$ исчезнет при взятии частной производной, и мы должны учитывать это, когда берем первообразную. Самый общий способ представить это - представить «константу» неизвестной функцией всех других переменных.

Таким образом, набор функций ${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$, куда грамм - любая функция с одним аргументом, представляет весь набор функций в переменных Икс,у что могло бы произвести Икс-частная производная ${\displaystyle 2x+y}$.

Если известны все частные производные функции (например, с градиент ), то первообразные могут быть сопоставлены с помощью описанного выше процесса для восстановления исходной функции с точностью до константы. Однако, в отличие от случая с одной переменной, не каждый набор функций может быть набором всех (первых) частных производных одной функции. Другими словами, не каждое векторное поле консервативный.

Частные производные высшего порядка

Частные производные второго и более высокого порядка определяются аналогично производным более высокого порядка функций одной переменной. Для функции ${\displaystyle f(x,y,...)}$ "собственная" вторая частная производная по Икс является просто частной производной частной производной (как по отношению к Икс):^{[3]:316–318}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$

Кросс-частная производная по Икс и у получается путем взятия частной производной от ж относительно Икс, а затем взяв частную производную от результата по у, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$

Теорема Шварца утверждает, что если вторые производные являются непрерывными, то выражение для перекрестной частной производной не зависит от того, какая переменная берется частной производной относительно первой, а какая - второй. То есть,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$

или эквивалентно ${\displaystyle f_{xy}=f_{yx}.}$

Собственные и кросс-частные производные отображаются в Матрица Гессе который используется в условия второго порядка в оптимизация проблемы.

Смотрите также

• оператор Даламбера
• Правило цепи
• Curl (математика)
• Производная по направлению
• Расхождение
• Внешняя производная
• Итерированный интеграл
• Матрица Якоби и определитель
• Лапласиан
• Многопараметрическое исчисление
• Симметрия вторых производных
• Правило тройного продукта, также известное как правило циклической цепи.

Примечания

1. Это также можно выразить как сопричастность между пространство продукта и функциональное пространство конструкции.

Рекомендации

1. Миллер, Джефф (14.06.2009). «Раннее использование символов исчисления». Самые ранние случаи использования различных математических символов. Получено 2009-02-20.
2. Спивак, М. (1965). Исчисление на многообразиях. Нью-Йорк: W. A. ​​Benjamin, Inc., стр. 44. ISBN  9780805390216.
3. Чан, Альфа К. Фундаментальные методы математической экономики, МакГроу-Хилл, третье издание, 1984 г.

внешняя ссылка

• "Частная производная", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Частные производные в MathWorld