Общее правило Лейбница - General Leibniz rule

Для использования в других целях см. Правило Лейбница (значения).

В исчисление, то общее правило Лейбница,^[1] названный в честь Готфрид Вильгельм Лейбниц, обобщает правило продукта (которое также известно как «правило Лейбница»). В нем говорится, что если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ находятся ${\displaystyle n}$-раз дифференцируемые функции, то продукт ${\displaystyle fg}$ это также ${\displaystyle n}$-раз дифференцируемым и его ${\displaystyle n}$-я производная определяется выражением

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$

куда ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ это биномиальный коэффициент и ${\displaystyle f^{(j)}}$ обозначает j-я производная от ж (и в частности ${\displaystyle f^{(0)}=f}$).

Правило может быть доказано с помощью правила продукта и математическая индукция.

Вторая производная

Если, например, п = 2, правило дает выражение для второй производной произведения двух функций:

${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}$

Более двух факторов

Формулу можно обобщить на произведение м дифференцируемые функции ж₁,...,ж_м.

${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,,}$

где сумма распространяется на все м-кортежи (k₁,...,k_м) неотрицательных целых чисел с ${\displaystyle \sum _{t=1}^{m}k_{t}=n,}$ и

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

являются полиномиальные коэффициенты. Это похоже на полиномиальная формула из алгебры.

Доказательство

Доказательство общего правила Лейбница проводится по индукции. Позволять ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ быть ${\displaystyle n}$-разно дифференцируемые функции. Базовый случай, когда ${\displaystyle n=1}$ заявляет, что:

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg',}$

Это обычное правило продукта, которое, как известно, верно. Далее предположим, что утверждение верно для фиксированного ${\displaystyle n\geq 1,}$ то есть, что

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\left(\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+fg^{(n+1)}\\&=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}$

Итак, утверждение верно для ${\displaystyle n+1,}$ и доказательство завершено.

Многопараметрическое исчисление

С мультииндекс обозначение для частные производные функций нескольких переменных правило Лейбница утверждает в более общем виде:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}$

Эту формулу можно использовать для получения формулы, которая вычисляет символ композиции дифференциальных операторов. На самом деле пусть п и Q - дифференциальные операторы (с достаточно много дифференцируемыми коэффициентами) и ${\displaystyle R=P\circ Q.}$ С р также является дифференциальным оператором, символом р дан кем-то:

${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$

Теперь прямое вычисление дает:

${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}$

Эта формула обычно известна как формула Лейбница. Он используется для определения композиции в пространстве символов, тем самым вызывая кольцевую структуру.

Смотрите также

• Биномиальная теорема
• Вывод (дифференциальная алгебра)
• Производная
• Дифференциальная алгебра
• Треугольник Паскаля

Рекомендации

1. Олвер, Питер Дж. (2000). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Springer. С. 318–319.