Вывод (дифференциальная алгебра) - Derivation (differential algebra)

В математика, а происхождение является функцией на алгебра который обобщает некоторые особенности производная оператор. В частности, учитывая алгебру А через звенеть или поле K, а K-деривация - это K-линейная карта D : А → А это удовлетворяет Закон Лейбница:

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

В более общем смысле, если M является А-бимодуль, а K-линейная карта D : А → M которое удовлетворяет закону Лейбница, также называется выводом. Сборник всех K-дифференциальные А самому себе обозначается Der_K(А). Коллекция K-дифференциальные А в А-модуль M обозначается Der_K(А, M).

Выводы происходят в разных контекстах в разных областях математики. В частная производная относительно переменной является р-дифференцирование по алгебре ценный дифференцируемые функции на р^п. В Производная Ли по отношению к векторное поле является р-дифференцирование по алгебре дифференцируемых функций на дифференцируемое многообразие; в более общем плане это вывод на тензорная алгебра многообразия. Отсюда следует, что присоединенное представление алгебры Ли является производным на этой алгебре. В Производная Пинчерле является примером вывода в абстрактная алгебра. Если алгебра А некоммутативно, то коммутатор относительно элемента алгебры А определяет линейный эндоморфизм из А самому себе, что является производным от K. Алгебра А оснащенный выдающимся происхождением d образует дифференциальная алгебра, и сам по себе является важным объектом изучения в таких областях, как дифференциальная теория Галуа.

Характеристики

Если А это K-алгебра, для K кольцо, и ${\displaystyle D\colon A\to A}$ это K-деривация, тогда

• Если А имеет единицу 1, то D(1) = D(1²) = 2D(1), так что D(1) = 0. Таким образом, по K-линейность, D(k) = 0 для всех ${\displaystyle k\in K.}$
• Если А коммутативен, D(Икс²) = xD(Икс) + D(Икс)Икс = 2xD(Икс), и D(Икс^п) = nx^п−1D(Икс) по правилу Лейбница.
• В общем, для любого Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п ∈ А, следует индукция который

${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

который ${\displaystyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ если для всех ${\displaystyle i,\ D(x_{i})}$ ездит с ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{i-1}}$.

• D^п не является производным, а удовлетворяет правилу Лейбница высшего порядка:

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).}$

Более того, если M является А-бимодуль, написать

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

для набора K- производные от А к M.

• Der_K(А, M) это модуль над K.
• Der_K(А) это Алгебра Ли со скобкой Ли, определяемой коммутатор:

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

поскольку легко проверить, что коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием.

• Существует А-модуль ${\displaystyle \Omega _{A/K}}$ (называется Дифференциалы Kähler ) с K-деривация ${\displaystyle d:A\to \Omega _{A/K}}$ через которое любое происхождение ${\displaystyle D:A\to M}$ факторы. То есть для любого вывода D Существует А-модульная карта ${\displaystyle \varphi }$ с

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

Переписка ${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$ является изоморфизмом А-модули:

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• Если k ⊂ K это подкольцо, тогда А наследует k-алгебра структура, поэтому есть включение

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

так как любой K-деривация a fortiori а k-деривация.

Градуированные производные

Учитывая градуированная алгебра А и однородное линейное отображение D класса |D| на А, D это однородное происхождение если

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

для каждого однородного элемента а и каждый элемент б из А для фактора коммутатора ε = ±1. А дифференцированный вывод представляет собой сумму однородных производных с одинаковыми ε.

Если ε = 1, это определение сводится к обычному случаю. Если ε = −1Но тогда

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}$

для нечетных |D|, и D называется противодействие.

Примеры анти-производных включают внешняя производная и интерьерный продукт действующий на дифференциальные формы.

Градуированные отведения супералгебры (т.е. Z₂-градуированные алгебры) часто называют сверхдеривации.

Связанные понятия

Выводы Хассе – Шмидта находятся K-алгебр гомоморфизмы

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

Продолжая компоновку с картой, которая отправляет формальный степенной ряд ${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$ к коэффициенту ${\displaystyle a_{1}}$ дает вывод.

Смотрите также

• В дифференциальная геометрия производные касательные векторы
• Кэлер дифференциал
• Производная Хассе
• p-вывод
• Производные Виртингера
• Производная экспоненциального отображения

Рекомендации

• Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I, Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94269-8.
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра, Серия лекций по математике, В. А. Бенджамин, ISBN  978-0-8053-7025-6.
• Коларж, Иван; Slovák, Jan; Мичор, Питер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Springer-Verlag.