Правило продукта - Product rule

Геометрическая иллюстрация доказательства правила продукта

О цепном правиле Эйлера, связывающем частные производные трех независимых переменных, см. Правило тройного продукта. О принципе счета в комбинаторике см. Правило продукта. Для общего правила продукта в вероятности см. Цепное правило (вероятность).

В исчисление, то правило продукта формула, используемая для нахождения производные продуктов двух и более функции. Это может быть указано как

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}$

или в Обозначения Лейбница

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}.}$

Правило может быть расширено или обобщено для многих других ситуаций, в том числе для продуктов с множеством функций, до правила для производных продукта более высокого порядка и для других контекстов.

Открытие

Открытие этого правила приписывается Готфрид Лейбниц, который продемонстрировал это с помощью дифференциалы.^[1] (Однако Дж. М. Чайлд, переводчик статей Лейбница,^[2] утверждает, что это связано с Исаак Барроу.) Вот аргумент Лейбница: пусть ты(Икс) и v(Икс) быть двумя дифференцируемые функции из Икс. Тогда дифференциал УФ является

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

Поскольку срок ду·dv "незначительно" (по сравнению с ду и dv), Лейбниц пришел к выводу, что

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}$

и это действительно дифференциальная форма правила произведения. Если разделить на дифференциал dx, мы получаем

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

который также можно записать в Обозначения Лагранжа в качестве

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$

Примеры

• Предположим, мы хотим различать ж(Икс) = Икс² грех (Икс). Используя правило произведения, можно получить производную ж′(Икс) = 2Икс грех (Икс) + Икс² cos (Икс) (поскольку производная от Икс² 2Икс и производная от синус функция - это функция косинуса).
• Особый случай правила продукта - это постоянное множественное правило, в котором говорится: если c это число и ж(Икс) - дифференцируемая функция, то ср(Икс) также дифференцируема, а ее производная равна (ср)′(Икс) = c ж′(Икс). Это следует из правила произведения, поскольку производная любой константы равна нулю. Это в сочетании с правилом сумм для производных показывает, что дифференцирование линейный.
• Правило для интеграция по частям выводится из правила продукта, как и (слабая версия) правило частного. (Это «слабая» версия в том смысле, что она не доказывает, что фактор дифференцируема, а только говорит, какова его производная если она дифференцируема.)

Доказательства

Доказательство факторинга (из первых принципов)

Позволять час(Икс) = ж(Икс)грамм(Икс) и предположим, что ж и грамм каждый дифференцируем в Икс. Мы хотим доказать, что час дифференцируема в Икс и что его производная, час′(Икс), дан кем-то ж′(Икс)грамм(Икс) + ж(Икс)грамм′(Икс). Сделать это, ${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$ (который равен нулю и, следовательно, не меняет значения) добавляется к числителю, чтобы разрешить его факторизацию, а затем используются свойства пределов.

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \underbrace {\lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)} _{\text{See the note below.}}+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$

Дело в том, что

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

выводится из теоремы о непрерывности дифференцируемых функций.

Краткое доказательство

По определению, если ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ дифференцируемы в ${\displaystyle x}$ тогда мы можем написать

${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h)\qquad \qquad g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h)}$

такой, что ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{2}(h)}{h}}=0,}$ также написано ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\sim o(h)}$. Потом:

${\displaystyle {\begin{aligned}fg(x+h)-fg(x)&=(f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h))-fg(x)\\&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-fg(x)+{\text{other terms}}\\&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h)\\[12pt]\end{aligned}}}$

«Прочие условия» состоят из таких элементов, как ${\displaystyle f(x)\psi _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$ и ${\displaystyle hf'(x)\psi _{1}(h).}$ Нетрудно показать, что все они ${\displaystyle o(h).}$ Деление на ${\displaystyle h}$ и принимая предел для маленьких ${\displaystyle h}$ дает результат.

Четверть квадратов

Есть доказательство с использованием умножение на четверть квадрата который опирается на Правило цепи и на свойствах функции квадрата четверти (показанной здесь как q, т.е. с ${\displaystyle q(x)={\tfrac {x^{2}}{4}}}$):

${\displaystyle f=q(u+v)-q(u-v),}$

Различие обеих сторон:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({1 \over 2}(u+v)(u'+v')\right)-\left({1 \over 2}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={1 \over 2}(uu'+vu'+uv'+vv')-{1 \over 2}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'\\[4pt]&=uv'+u'v\end{aligned}}}$

Правило цепи

Правило продукта можно рассматривать как частный случай Правило цепи для нескольких переменных.

${\displaystyle {d(ab) \over dx}={\frac {\partial (ab)}{\partial a}}{\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial (ab)}{\partial b}}{\frac {db}{dx}}=b{\frac {da}{dx}}+a{\frac {db}{dx}}.}$

Нестандартный анализ

Позволять ты и v быть непрерывными функциями в Икс, и разреши dx, ду и dv быть бесконечно малые в рамках нестандартный анализ в частности гиперреальные числа. Использование st для обозначения стандартная функция детали что ассоциируется с конечный гиперреалистическое число бесконечно близкое к нему действительное, это дает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+dv\cdot du-uv}{dx}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+(v+dv)\cdot du}{dx}}\right)\\[4pt]&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$

Это было по сути Лейбниц доказательство использования трансцендентный закон однородности (вместо стандартной части выше).

Гладкий анализ бесконечно малых

В контексте подхода Ловера к бесконечно малым, пусть dx быть нильквадратным бесконечно малым. потом ду = ты′ dx и dv = v ′ dx, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\,\!\end{aligned}}}$

поскольку

${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$

Обобщения

Продукт более чем двух факторов

Правило продукта может быть обобщено на продукты более чем двух факторов. Например, для трех факторов мы имеем

${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$

Для набора функций ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$

Высшие производные

Основная статья: Общее правило Лейбница

Его также можно обобщить на общее правило Лейбница для п-я производная произведения двух факторов, символически расширяясь в соответствии с биномиальная теорема:

${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$

Применяется в определенной точке Икс, приведенная выше формула дает:

${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$

Кроме того, для п-я производная от произвольного числа факторов:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$

Высшие частные производные

За частные производные, у нас есть^[3]

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$

где индекс S проходит через все 2^п подмножества из {1, ..., п}, и |S| это мощность из S. Например, когда п = 3,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[6pt]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[6pt]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\end{aligned}}}$

Банахово пространство

Предполагать Икс, Y, и Z находятся Банаховы пространства (который включает Евклидово пространство ) и B : Икс × Y → Z это непрерывный билинейный оператор. потом B дифференцируема, а ее производная в точке (Икс,у) в Икс × Y это линейная карта D_(Икс,у)B : Икс × Y → Z данный

${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$

Выводы в абстрактной алгебре

В абстрактная алгебра, правило продукта используется для определять то, что называется происхождение, а не наоборот.

В векторном исчислении

Правило продукта распространяется на скалярное умножение, точечные продукты, и перекрестные продукты векторных функций следующим образом.^[4]

Для скалярного умножения:${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$

Для точечных продуктов:${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$

Для перекрестных произведений:${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$

Также есть аналоги для других аналогов производной: если ж и грамм являются скалярными полями, то существует правило произведения с градиент:

$${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Приложения

Среди приложений правила произведения есть доказательство того, что

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$

когда п положительное целое число (это правило верно, даже если п не является положительным или не является целым числом, но для доказательства этого необходимо использовать другие методы). Доказательство математическая индукция по показателю п. Если п = 0, тогда Икс^п постоянно и nx^п − 1 = 0. Правило выполняется в этом случае, поскольку производная постоянной функции равна 0. Если правило выполняется для любого конкретного показателя степени п, затем для следующего значения п +1, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{}=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(the product rule is used here)}}\\[12pt]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(the induction hypothesis is used here)}}\\[12pt]&{}=(n+1)x^{n}.\end{aligned}}}$

Следовательно, если предложение верно для п, это верно и дляп +1, и поэтому для всех естественных п.

Рекомендации

1. Мишель Чирилло (август 2007 г.). «Очеловечивающий исчисление». Учитель математики. 101 (1): 23–27.
2. Лейбниц, Г. В. (2005) [1920], Ранние математические рукописи Лейбница (PDF), перевод Дж.М.Чайлда, Dover, p. 28, сноска 58, ISBN  978-0-486-44596-0
3. Майкл Харди (январь 2006 г.). «Комбинаторика частных производных» (PDF). Электронный журнал комбинаторики. 13.
4. Стюарт, Джеймс (2016), Исчисление (8-е изд.), Cengage, Раздел 13.2.