Теорема Грина - Greens theorem - Wikipedia

Эта статья посвящена теореме на плоскости, связывающей двойные интегралы и линейные интегралы. По поводу теорем Грина, связывающих объемные интегралы, содержащие лапласиан, с поверхностными интегралами, см. Личность Грина.

Не путать с Закон Грина для волн, приближающихся к береговой линии.

В векторном исчислении Теорема Грина связывает линейный интеграл вокруг простая замкнутая кривая ${\displaystyle C}$ к двойной интеграл над самолет область, край ${\displaystyle D}$ ограничен ${\displaystyle C}$. Это двумерный частный случай Теорема Стокса.

Теорема

Позволять ${\displaystyle C}$ быть положительно ориентированный, кусочно гладкий, простая замкнутая кривая в самолет, и разреши ${\displaystyle D}$ быть областью, ограниченной ${\displaystyle C}$. Если L и M являются функциями ${\displaystyle (x,y)}$ определено на открытый регион содержащий ${\displaystyle D}$ и имея непрерывный частные производные там тогда

${\displaystyle {\scriptstyle C}}$ ${\displaystyle (L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

где путь интеграции по C является против часовой стрелки.^[1][2]

В физике теорема Грина находит множество приложений. Один из них решает двумерные интегралы потока, утверждая, что сумма жидкости, истекающей из объема, равна полному истечению, суммированному для окружающей области. В плоская геометрия, и в частности, площадь геодезия Теорема Грина может быть использована для определения площади и центра тяжести плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.

Доказательство, когда D это простой регион

Если D представляет собой простую область типа I, граница которой состоит из кривых C₁, C₂, C₃, C₄, можно продемонстрировать половину теоремы Грина.

Ниже приводится доказательство половины теоремы для упрощенной области. D, регион типа I, где C₁ и C₃ - кривые, соединенные вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует и для другой половины теоремы, когда D регион типа II, где C₂ и C₄ - кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Таким образом, объединяя эти две части, теорема доказывается для областей типа III (определяемых как области, которые относятся к типу I и типу II). Общий случай можно вывести из этого частного случая, разложив D в набор регионов III типа.

Если можно показать, что если

${\displaystyle \oint _{C}L\,dx=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(1)} }$

и

${\displaystyle \oint _{C}\ M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }$

верны, то теорема Грина немедленно следует для области D. Мы легко можем доказать (1) для областей типа I и (2) для областей типа II. Из этого следует теорема Грина для областей типа III.

Предположим регион D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано на рисунке справа,

${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$

куда грамм₁ и грамм₂ находятся непрерывные функции на [а, б]. Вычислите двойной интеграл в (1):

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dA&=\int _{a}^{b}\,\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{2}(x))-L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,dx.\qquad \mathrm {(3)} \end{aligned}}}$

Теперь вычислите линейный интеграл в (1). C можно переписать как объединение четырех кривых: C₁, C₂, C₃, C₄.

С C₁, использовать параметрические уравнения: Икс = Икс, у = грамм₁(Икс), а ≤ Икс ≤ б. потом

${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$

С C₃, используйте параметрические уравнения: Икс = Икс, у = грамм₂(Икс), а ≤ Икс ≤ б. потом

${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$

Интеграл по C₃ отрицается, потому что идет в отрицательном направлении от б к а, так как C ориентирована положительно (против часовой стрелки). На C₂ и C₄, Икс остается постоянным, то есть

${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}L\,dx&=\int _{C_{1}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{3}}L(x,y)\,dx+\int _{C_{4}}L(x,y)\,dx\\&=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.\qquad \mathrm {(4)} \end{aligned}}}$

Комбинируя (3) с (4), мы получаем (1) для областей типа I. Аналогичная обработка дает (2) для областей типа II. Соединяя их вместе, мы получаем результат для регионов III типа.

Доказательство спрямляемой жордановой кривой.

Мы собираемся доказать следующее

Теорема. Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ быть исправляемым, позитивно ориентированным Кривая Иордании в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ и разреши ${\displaystyle R}$ обозначают его внутреннюю область. Предположим, что ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\longrightarrow \mathbf {R} }$ являются непрерывными функциями со свойством ${\displaystyle A}$ имеет вторую частную производную в каждой точке ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle B}$ имеет первую частную производную в каждой точке ${\displaystyle R}$ и что функции ${\displaystyle D_{1}B}$, ${\displaystyle D_{2}A:R\longrightarrow \mathbf {R} }$ интегрируемы по Риману над ${\displaystyle R}$. потом

$${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\int _{R}\,\,\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).}$$

Нам потребуются следующие леммы, доказательства которых можно найти в:^[3]

Лемма 1 (лемма о разложении). Предполагать ${\displaystyle \Gamma }$ является спрямляемой положительно ориентированной жордановой кривой на плоскости, и пусть ${\displaystyle R}$ быть его внутренней областью. Для каждого позитивного реального ${\displaystyle \delta }$, позволять ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$ обозначим совокупность квадратов на плоскости, ограниченную прямыми ${\displaystyle x=m\delta ,y=m\delta }$, куда ${\displaystyle m}$ пробегает набор целых чисел. Тогда для этого ${\displaystyle \delta }$, существует разложение ${\displaystyle {\overline {R}}}$ на конечное число неперекрывающихся подобластей таким образом, что

(i) Каждый из субрегионов, входящих в ${\displaystyle R}$, сказать ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}}$, это квадрат из ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$.

(ii) Каждый из оставшихся субрегионов, скажем, ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$, имеет в качестве границы спрямляемую жорданову кривую, образованную конечным числом дуг ${\displaystyle \Gamma }$ и части сторон некоторого квадрата из ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$.

(iii) Каждый из приграничных регионов ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ может быть заключен в квадрат длиной до кромки ${\displaystyle 2\delta }$.

(iv) Если ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ положительно ориентированная граничная кривая ${\displaystyle R_{i}}$, тогда ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.}$

(v) Число ${\displaystyle s-k}$ приграничных регионов не более ${\displaystyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$, куда ${\displaystyle \Lambda }$ это длина ${\displaystyle \Gamma }$.

Лемма 2. Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ - спрямляемая кривая на плоскости и пусть ${\displaystyle \Delta _{\Gamma }(h)}$ набор точек на плоскости, расстояние от которых (диапазон) ${\displaystyle \Gamma }$ самое большее ${\displaystyle h}$. Внешнее жордановое содержание этого множества удовлетворяет ${\displaystyle {\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}}$.

Лемма 3. Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ быть спрямляемой кривой в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ и разреши ${\displaystyle f:{\text{range of }}\Gamma \longrightarrow \mathbf {R} }$ - непрерывная функция. потом

${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert }$ и

${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert }$ находятся ${\displaystyle \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$куда ${\displaystyle \Omega _{f}}$ колебание ${\displaystyle f}$ в диапазоне ${\displaystyle \Gamma }$.

Теперь мы готовы доказать теорему:

Доказательство теоремы. Позволять ${\displaystyle \varepsilon }$ - произвольное положительное действительное число. По преемственности ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и компактность ${\displaystyle {\overline {R}}}$, данный ${\displaystyle \varepsilon >0}$, Существует ${\displaystyle 0<\delta <1}$ так что всякий раз, когда две точки ${\displaystyle {\overline {R}}}$ меньше чем ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ отдельно, их изображения под ${\displaystyle A,B}$ меньше чем ${\displaystyle \varepsilon }$ Кроме. За это ${\displaystyle \delta }$рассмотрим разложение, данное предыдущей леммой. У нас есть

${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$

Положить ${\displaystyle \varphi :=D_{1}B-D_{2}A}$.

Для каждого ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$, Кривая ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\,\,\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$

Каждая точка приграничной области находится на расстоянии не более ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ из ${\displaystyle \Gamma }$. Таким образом, если ${\displaystyle K}$ является объединением всех приграничных регионов, то ${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$; следовательно ${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$, по лемме 2. Заметим, что

${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$ Это дает

${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$

Мы также можем выбрать ${\displaystyle \delta }$ так что правая часть последнего неравенства равна ${\displaystyle <\varepsilon .}$

Замечание в начале этого доказательства означает, что колебания ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ на каждом приграничном районе не более ${\displaystyle \varepsilon }$. У нас есть

${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$

По лемме 1 (iii)

${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$

Комбинируя их, мы наконец получаем

${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$

для некоторых ${\displaystyle C>0}$. Поскольку это верно для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, мы сделали.

Действительность при разных гипотезах

Гипотеза последней теоремы - не единственная, при которой формула Грина верна. Еще один распространенный набор условий:

Функции ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\longrightarrow \mathbf {R} }$ по-прежнему считаются непрерывными. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемыми по Фреше в каждой точке ${\displaystyle R}$. Отсюда следует существование всех производных по направлениям, в частности ${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$, где, как обычно, ${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$ канонический упорядоченный базис ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$. Кроме того, нам потребуется функция ${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$ быть интегрируемым по Риману над ${\displaystyle R}$.

Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:

Теорема (Коши). Если ${\displaystyle \Gamma }$ является спрямляемой жордановой кривой в ${\displaystyle \mathbf {C} }$ и если ${\displaystyle f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \longrightarrow \mathbf {C} }$ - непрерывное отображение, голоморфное во всей внутренней области ${\displaystyle \Gamma }$, тогда

${\displaystyle \int _{\Gamma }f=0,}$

интеграл является комплексным контурным интегралом.

Доказательство. Мы рассматриваем комплексную плоскость как ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$. Теперь определим ${\displaystyle u,v:{\overline {R}}\longrightarrow \mathbf {R} }$ быть таким, чтобы ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}$ Эти функции явно непрерывны. Хорошо известно, что ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ дифференцируемы по Фреше и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: ${\displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}}$.

Теперь, анализируя суммы, использованные для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что

${\displaystyle \int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,}$

интегралы на правой стороне являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство.

Многосвязные регионы

Теорема. Позволять ${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$ - положительно ориентированные спрямляемые жордановы кривые в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ удовлетворение

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbf {R} ^{2}\smallsetminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle R_{i}}$ это внутренняя область ${\displaystyle \Gamma _{i}}$. Позволять

${\displaystyle D=R_{0}\smallsetminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$

Предполагать ${\displaystyle p:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R} }$ и ${\displaystyle q:{\overline {D}}\longrightarrow \mathbf {R} }$ - непрерывные функции, ограничение которых на ${\displaystyle D}$ дифференцируема по Фреше. Если функция

${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$

интегрируема по Риману над ${\displaystyle D}$, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$

Связь с теоремой Стокса

Теорема Грина - частный случай Теорема Кельвина – Стокса, применительно к области в ${\displaystyle xy}$-самолет.

Мы можем дополнить двумерное поле до трехмерного поля с z компонент, который всегда равен 0. Запись F для вектор -значная функция ${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$. Начнем с левой части теоремы Грина:

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$

Теорема Кельвина – Стокса:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$

Поверхность ${\displaystyle S}$ это просто регион в плоскости ${\displaystyle D}$, с нормальным агрегатом ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ определено (по соглашению), чтобы иметь положительный компонент z, чтобы соответствовать определениям "положительной ориентации" для обеих теорем.

Выражение внутри интеграла принимает вид

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$

Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина

${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$

Теорема Грина также является прямым результатом общей теоремы Стокса с использованием дифференциальные формы и внешние производные:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\omega =\int _{D}\,d\omega \\[5pt]={}&\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

Связь с теоремой о расходимости

Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теории теорема расходимости:

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \partial \scriptstyle V}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,dS.}$

куда ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ - дивергенция на двумерном векторном поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$, и ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ - направленный наружу единичный вектор нормали на границе.

Чтобы в этом убедиться, считайте агрегат нормальным. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ - вектор, касательный вдоль кривой, а кривая C положительно ориентированная (то есть против часовой стрелки) кривая вдоль границы, внешняя нормаль будет вектором, который указывает на 90 ° вправо от нее; один выбор был бы ${\displaystyle (dy,-dx)}$. Длина этого вектора равна ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ Так ${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Начнем с левой части теоремы Грина:

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Применяя теорему о двумерной расходимости с ${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$, получаем правую часть теоремы Грина:

${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$

Расчет площади

Теорема Грина может использоваться для вычисления площади с помощью линейного интеграла.^[4] Площадь плоской области ${\displaystyle D}$ дан кем-то

${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$

выбирать ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$, площадь определяется как

${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$

Возможные формулы для площади ${\displaystyle D}$ включают^[4]

${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$

История

Он назван в честь Джордж Грин, который указал аналогичный результат в статье 1828 г., озаглавленной Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма. В 1846 г. Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой теорема Грина была указана в качестве предпоследнего предложения. Фактически, это первая печатная версия теоремы Грина в том виде, в котором она встречается в современных учебниках. Бернхард Риманн дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексного переменного.^[5][6]

Смотрите также

• Математический портал

• Планиметр
• Способ оплаты имиджа - Метод, используемый в электростатике, который использует преимущество теоремы единственности (полученной из теоремы Грина)
• Формула шнурков - Частный случай теоремы Грина для простых многоугольников.

Рекомендации

1. Райли, К. Ф .; Hobson, M. P .; Бенс, С. Дж. (2010). Математические методы для физики и инженерии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86153-3.
2. Spiegel, M. R .; Lipschutz, S .; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ. Очерки Шаума (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-161545-7.
3. Апостол, Том (1960). Математический анализ (1-е изд.). Ридинг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
4. Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление (6-е изд.). Томсон, Брукс / Коул.
5. Джордж Грин, Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1828). Грин на самом деле не вывел форму «теоремы Грина», которая появляется в этой статье; скорее, он вывел форму «теоремы о расходимости», которая появляется на страницы 10–12 его Сочинение.
   В 1846 году форма «теоремы Грина», которая появляется в этой статье, была впервые опубликована без доказательства в статье автора Огюстен Коши: А. Коши (1846). "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Об интегралах, продолжающихся по всем точкам замкнутой кривой), Comptes rendus, 23: 251–255. (Уравнение появляется внизу страницы 254, где (S) обозначает линейный интеграл функции k по кривой s что охватывает территорию S.)
   Окончательное доказательство теоремы было дано в 1851 г. Бернхард Риманн в его вступительной диссертации: Бернхард Риман (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Основа общей теории функций переменной комплексной величины), (Геттинген, (Германия): Адальберт Ренте, 1867); см. страницы 8–9.
6. Кац, Виктор (2009). «22.3.3: Комплексные функции и линейные интегралы». История математики: введение. Эддисон-Уэсли. С. 801–5. ISBN  0-321-38700-7.

дальнейшее чтение

• Марсден, Джеррольд Э .; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа». Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. С. 518–608. ISBN  0-7167-4992-0.

внешняя ссылка

• Теорема Грина о MathWorld