Корневой тест - Root test

В математика, то корневой тест является критерием конвергенция (а проверка сходимости ) из бесконечная серия. Это зависит от количества

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

куда ${\displaystyle a_{n}}$ являются членами ряда, и утверждает, что ряд абсолютно сходится, если эта величина меньше единицы, и расходится, если она больше единицы. Это особенно полезно в связи с степенной ряд.

Объяснение корневого теста

Схема принятия решений для корневого теста

Корневой тест был разработан первым Огюстен-Луи Коши кто опубликовал это в своем учебнике Cours d'analyse (1821).^[1] Таким образом, его иногда называют Корень Коши тест или же Радикальный тест Коши. Для серии

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

в корневом тесте используется число

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

где "lim sup" обозначает предел высшего, возможно ∞ +. ^[2] Обратите внимание, что если

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

сходится, тогда он равен C и может использоваться вместо этого в корневом тесте.

Корневой тест утверждает, что:

• если C <1, то ряд сходится абсолютно,
• если C > 1, то серия расходится,
• если C = 1 и предел приближается строго сверху, то ряд расходится,
• в противном случае тест будет безрезультатным (ряды могут расходиться, сходиться абсолютно или сходятся условно ).

Есть несколько серий, для которых C = 1 и ряд сходится, например ${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$, и есть другие, для которых C = 1 и ряд расходится, например ${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$.

Применение к силовому ряду

Этот тест можно использовать с степенной ряд

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

где коэффициенты c_п, а центр п находятся сложные числа и аргумент z - комплексная переменная.

Термины этой серии были бы тогда даны а_п = c_п(z − п)^п. Затем применяют корневой тест к а_п как указано выше. Обратите внимание, что иногда подобный ряд называется степенным рядом п", поскольку радиус схождения это радиус р наибольшего интервала или диска с центром в п такой, что ряд сходится для всех точек z строго внутри (сходимость на границе отрезка или диска обычно проверяется отдельно). А следствие корневого теста, применяемого к такому степенному ряду, является Теорема Коши – Адамара: радиус сходимости ровно ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$ следя за тем, чтобы мы действительно имели в виду ∞, если знаменатель равен 0.

Доказательство

Доказательство сходимости ряда Σа_п это приложение сравнительный тест. Если для всех п ≥ N (N некоторые фиксированные натуральное число ) у нас есть ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1,}$ тогда ${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$. Поскольку геометрическая серия ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ сходится так делает ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$ сравнительным тестом. Следовательно, Σа_п сходится абсолютно.

Если ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ бесконечно много п, тогда а_п не сходится к 0, следовательно, ряд расходится.

Доказательство следствия: Для степенного ряда Σа_п = Σc_п(z − п)^п, из сказанного выше видно, что ряд сходится, если существует N такой, что для всех п ≥ N у нас есть

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

эквивалентно

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

для всех п ≥ N, откуда следует, что для сходимости ряда необходимо, чтобы ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ для всех достаточно больших п. Это эквивалентно высказыванию

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

так ${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$ Единственное другое место, где возможна конвергенция, - это когда

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(поскольку точки> 1 будут расходиться), и это не изменит радиус сходимости, поскольку это просто точки, лежащие на границе интервала или круга, поэтому

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

Смотрите также

• Соотношение тест
• Сходящийся ряд

Рекомендации

1. Боттаццини, Умберто (1986), Высшее исчисление: история реального и комплексного анализа от Эйлера до Вейерштрасса, Springer-Verlag, стр.116–117, ISBN  978-0-387-96302-0. Перевод с итальянского Уоррена Ван Эгмонда.
2. Терренс Тихаона Добби (2017)

• Кнопп, Конрад (1956). «§ 3.2». Бесконечные последовательности и серии. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN  0-486-60153-6.
• Уиттакер, Э. Т. и Уотсон, Г. Н. (1963). «§ 2.35». Курс современного анализа (четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-58807-3.

В этой статье используется материал из теста доказательства корня Коши на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.