Биномиальный ряд - Binomial series

В биномиальный ряд это Серия Тейлор для функции ${\displaystyle f}$ данный ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ произвольный комплексное число. Ясно,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\alpha \choose k}\;x^{k}\qquad \qquad \qquad (1)\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}}$

а биномиальный ряд - это степенной ряд в правой части (1), выраженное через (обобщенные) биномиальные коэффициенты

${\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

Особые случаи

Если α является неотрицательным целым числомп, то (п + 2) -й член и все последующие члены в серии равны 0, поскольку каждый содержит множитель (п − п); таким образом, в этом случае ряд конечен и дает алгебраический биномиальная формула.

Для произвольного комплексногоβ, но особенно полезен для обработки отрицательных целочисленных показателей в (1):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}.}$

Чтобы доказать это, подставьте Икс = −z в (1) и примените тождество биномиальных коэффициентов, а именно,

${\displaystyle {-\beta -1 \choose k}=(-1)^{k}{k+\beta \choose k}.}$

Конвергенция

Условия сходимости

Сходится ли (1) зависит от значений комплексных чисел α иИкс. Точнее:

1. Если |Икс| < 1, ряд сходится абсолютно для любого комплексного числа α.
2. Если |Икс| = 1, ряд абсолютно сходится если и только если либо Re (α)> 0 или α = 0.
3. Если |Икс| = 1 и Икс ≠ −1, ряд сходится тогда и только тогда, когда Re (α)> −1.
4. Если Икс = −1, ряд сходится тогда и только тогда, когда либо Re (α)> 0 или α = 0.
5. Если |Икс| > 1, ряд расходится, если только α - целое неотрицательное число (в этом случае ряд представляет собой конечную сумму).

В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ не является целым неотрицательным числом, ситуация на границе круга сходимости, ${\displaystyle |x|=1}$, резюмируется следующим образом:

• Если Re (α) > 0, ряд абсолютно сходится.
• Если −1 α) ≤ 0, ряд сходится условно если Икс ≠ −1 и расходится, если Икс = −1.
• Если Re (α) ≤ −1, серия расходится.

Личности, которые будут использоваться в доказательстве

Для любого комплексного числа α имеет место следующее:

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.\qquad \qquad (3)}$

Если только ${\displaystyle \alpha }$ является неотрицательным целым числом (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются в нуль при ${\displaystyle k}$ больше чем ${\displaystyle \alpha }$), полезный асимптотический соотношение для биномиальных коэффициентов, в Обозначения Ландау:

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .\qquad \qquad (4)}$

Это по сути эквивалентно определению Эйлера Гамма-функция:

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},\qquad }$

и сразу следует более грубые оценки

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}},\qquad \qquad (5)}$

для некоторых положительных констант м и M .

Приведенная выше формула для обобщенного биномиального коэффициента может быть переписана как

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).\qquad \qquad (6)}$

Доказательство

Чтобы доказать (i) и (v), примените тест соотношения и используйте формулу (2) выше, чтобы показать, что всякий раз, когда ${\displaystyle \alpha }$ не является целым неотрицательным числом, радиус схождения равно 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) по сравнению с p-серия

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},\qquad }$

с участием ${\displaystyle p=1+{\text{Re}}\,\alpha }$. Чтобы доказать (iii), сначала воспользуйтесь формулой (3), чтобы получить

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},\qquad \qquad (7)}$

а затем снова использовать (ii) и формулу (5), чтобы доказать сходимость правой части, когда ${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha >-1}$ предполагается. С другой стороны, ряд не сходится, если ${\displaystyle |x|=1}$ и ${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha \leq -1}$, опять же по формуле (5). В качестве альтернативы мы можем заметить, что для всех ${\displaystyle j,\left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {{\text{Re}}\,\alpha +1}{j}}\geq 1}$. Таким образом, по формуле (6) для всех ${\displaystyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$. Это завершает доказательство (iii). Переходя к (iv), мы используем тождество (7) выше с ${\displaystyle x=-1}$ и ${\displaystyle \alpha -1}$ на месте ${\displaystyle \alpha }$вместе с формулой (4), чтобы получить

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

так как ${\displaystyle n\to \infty }$. Утверждение (iv) теперь следует из асимптотики последовательности ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$. (Точно, ${\displaystyle {\big |}e^{-\alpha \log n}{\big |}=e^{-{\text{Re}}\,\alpha \,\log n}}$безусловно сходится к ${\displaystyle 0}$ если ${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha >0}$ и расходится на ${\displaystyle +\infty }$ если ${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha <0}$. Если ${\displaystyle {\text{Re}}\,\alpha =0}$, тогда ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i{\text{Im}}\,\alpha \log n}}$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность ${\displaystyle {\text{Im}}\,\alpha \log n}$ сходится ${\displaystyle {\text{mod}}\;2\pi }$, что, конечно, верно, если ${\displaystyle \alpha =0}$ но ложь, если ${\displaystyle {\text{Im}}\,\alpha \neq 0}$: в последнем случае последовательность плотная ${\displaystyle {\text{mod}}\;2\pi }$, благодаря тому факту, что ${\displaystyle \log n}$ расходится и ${\displaystyle \log(n+1)-\log n}$ сходится к нулю).

Суммирование биномиального ряда

Обычный аргумент для вычисления суммы биномиального ряда выглядит следующим образом. Почленно дифференцируя биномиальный ряд в пределах круга сходимости |Икс| <1 и используя формулу (1), получаем, что сумма ряда равна аналитическая функция решение обыкновенного дифференциального уравнения (1 +Икс)ты'(Икс) = αu(Икс) с исходными данными ты(0) = 1. Единственным решением этой задачи является функция ты(Икс) = (1 + Икс)^α, который, следовательно, является суммой биномиального ряда, по крайней мере, для |Икс| <1. Равенство распространяется на |Икс| = 1 всякий раз, когда ряд сходится, как следствие Теорема Абеля и по непрерывности (1 +Икс)^α.

История

Первые результаты, касающиеся биномиальных рядов для показателей, отличных от положительных целых, были даны сэром Исаак Ньютон при изучении областей, заключенных под определенные кривые. Джон Уоллис опираясь на эту работу, рассматривая выражения вида y = (1 − Икс²)^м где м это дробь. Он обнаружил, что (записанные современными терминами) последовательные коэффициенты c_k из (-Икс²)^k находятся путем умножения предыдущего коэффициента на ${\displaystyle {\tfrac {m-(k-1)}{k}}}$ (как в случае целочисленных показателей), тем самым неявно давая формулу для этих коэффициентов. Он явно пишет следующие экземпляры^[1]

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

Поэтому биномиальный ряд иногда называют Биномиальная теорема Ньютона. Ньютон не дает никаких доказательств и не уточняет природу ряда; скорее всего, он проверил случаи, когда сериал трактовался как (опять же в современной терминологии) формальный степенной ряд.^{[нужна цитата ]} Позже, Нильс Хенрик Абель обсудил эту тему в мемуарах, особо затронув вопросы конвергенции.

Смотрите также

• Биномиальная теорема
• Таблица ньютоновских рядов
• Биномиальное приближение

использованная литература

1. История биномиальной теоремы Дж. Кулиджа, Американский математический ежемесячник 56: 3 (1949), стр. 147–157. Фактически этот источник дает все непостоянные члены с отрицательным знаком, что неверно для второго уравнения; следует предположить, что это ошибка транскрипции.