Биномиальное приближение - Binomial approximation

Не путать с Биномиальное распределение § Нормальное приближение.

В биномиальное приближение полезен для приблизительного расчета полномочия суммы 1 и небольшого числа Икс. В нем говорится, что

${displaystyle (1+x)^{alpha }approx 1+alpha x.}$

Это действительно когда ${displaystyle |x|<1}$ и ${displaystyle |alpha x|ll 1}$ куда ${displaystyle x}$ и ${displaystyle alpha }$ может быть настоящий или же сложные числа.

Преимущество этого приближения в том, что ${displaystyle alpha }$ преобразуется из экспоненты в мультипликативный коэффициент. Это может значительно упростить математические выражения (как в пример ниже ) и является обычным инструментом в физике.^[1]

Приближение можно проверить несколькими способами, и оно тесно связано с биномиальная теорема. К Неравенство Бернулли, левая часть приближения больше или равна правой части, когда ${displaystyle x>-1}$ и ${displaystyle alpha geq 1}$.

Производные

Использование линейного приближения

Функция

${displaystyle f(x)=(1+x)^{alpha }}$

это гладкая функция за Икс около 0. Таким образом, стандартный линейное приближение инструменты из исчисление применить: есть

${displaystyle f'(x)=alpha (1+x)^{alpha -1}}$

и так

${displaystyle f'(0)=alpha .}$

Таким образом

${displaystyle f(x)approx f(0)+f'(0)(x-0)=1+alpha x.}$

К Теорема Тейлора, погрешность этого приближения равна ${displaystyle {frac {alpha (alpha -1)x^{2}}{2}}cdot (1+zeta )^{alpha -2}}$ за некоторую стоимость ${displaystyle zeta }$ который находится между 0 и Икс. Например, если ${displaystyle x<0}$ и ${displaystyle alpha geq 2}$, ошибка не более ${displaystyle {frac {alpha (alpha -1)x^{2}}{2}}}$. В небольшое обозначение, можно сказать, что ошибка ${displaystyle o(|x|)}$, означающий, что ${displaystyle lim _{x o 0}{frac { extrm {error}}{|x|}}=0}$.

Использование серии Тейлора

Функция

${displaystyle f(x)=(1+x)^{alpha }}$

куда ${displaystyle x}$ и ${displaystyle alpha }$ может быть реальным или сложным, может быть выражено как Серия Тейлор о нулевой точке.

${displaystyle {egin{aligned}f(x)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}f(x)&=f(0)+f'(0)x+{frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+cdots (1+x)^{alpha }&=1+alpha x+{frac {1}{2}}alpha (alpha -1)x^{2}+{frac {1}{6}}alpha (alpha -1)(alpha -2)x^{3}+{frac {1}{24}}alpha (alpha -1)(alpha -2)(alpha -3)x^{4}+cdots end{aligned}}}$

Если ${displaystyle |x|<1}$ и ${displaystyle |alpha x|}$ ≪ ${displaystyle 1}$, то члены в ряду постепенно становятся меньше, и его можно усечь до

${displaystyle (1+x)^{alpha }approx 1+alpha x}$.

Этот результат биномиального приближения всегда можно улучшить, сохранив дополнительные члены из приведенного выше ряда Тейлора. Это особенно важно, когда ${displaystyle |alpha x|}$ начинает приближаться к одному, или при оценке более сложного выражения, в котором первые два члена в ряду Тейлора сокращаются (см. пример ).

Иногда ошибочно утверждают, что ${displaystyle |x|}$ ≪ ${displaystyle 1}$ является достаточным условием биномиального приближения. Простой контрпример - позволить ${displaystyle x=10^{-6}}$ и ${displaystyle alpha =10^{7}}$. В этом случае ${displaystyle (1+x)^{alpha }>22,000}$ но биномиальное приближение дает ${displaystyle 1+alpha x=11}$. Для малых ${displaystyle |x|}$ но большой ${displaystyle |alpha x|}$, лучшее приближение:

${displaystyle (1+x)^{alpha }approx e^{alpha x.}}$

Примеры

Пример упрощения

Рассмотрим следующее выражение, где ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ реальны, но ${displaystyle a}$ ≫ ${displaystyle b}$.

${displaystyle {frac {1}{sqrt {a+b}}}-{frac {1}{sqrt {a-b}}}}$

Математическую форму биномиального приближения можно восстановить, вычленив большой член ${displaystyle a}$ и напомним, что квадратный корень равен степени половины.

${displaystyle {egin{aligned}{frac {1}{sqrt {a+b}}}-{frac {1}{sqrt {a-b}}}&={frac {1}{sqrt {a}}}left(left(1+{frac {b}{a}}ight)^{-1/2}-left(1-{frac {b}{a}}ight)^{-1/2}ight)&approx {frac {1}{sqrt {a}}}left(left(1+left(-{frac {1}{2}}ight){frac {b}{a}}ight)-left(1-left(-{frac {1}{2}}ight){frac {b}{a}}ight)ight)&approx {frac {1}{sqrt {a}}}left(1-{frac {b}{2a}}-1-{frac {b}{2a}}ight)&approx -{frac {b}{a{sqrt {a}}}}end{aligned}}}$

Очевидно, выражение линейно по ${displaystyle b}$ когда ${displaystyle a}$ ≫ ${displaystyle b}$ что в противном случае не очевидно из исходного выражения.

Пример сохранения квадратичного члена

Дальнейшая информация: Биномиальный ряд

Рассмотрим выражение:

${displaystyle (1+epsilon )^{n}-(1-epsilon )^{-n}}$

куда ${displaystyle |epsilon |<1}$ и ${displaystyle |nepsilon |}$ ≪ ${displaystyle 1}$. Если сохранить только линейный член из биномиального приближения ${displaystyle (1+x)^{alpha }approx 1+alpha x}$ тогда выражение бесполезно упрощается до нуля

${displaystyle {egin{aligned}(1+epsilon )^{n}-(1-epsilon )^{-n}&approx (1+nepsilon )-(1-(-n)epsilon )&approx (1+nepsilon )-(1+nepsilon )&approx 0end{aligned}}}$.

Хотя выражение небольшое, оно не совсем равно нулю. Можно извлечь ненулевое приближенное решение, сохранив квадратичный член в ряду Тейлора, т.е. ${displaystyle (1+x)^{alpha }approx 1+alpha x+{frac {1}{2}}alpha (alpha -1)x^{2}}$ а сейчас,

${displaystyle {egin{aligned}(1+epsilon )^{n}-(1-epsilon )^{-n}&approx (1+nepsilon +{frac {1}{2}}n(n-1)epsilon ^{2})-(1+(-n)(-epsilon )+{frac {1}{2}}(-n)(-n-1)(-epsilon )^{2})&approx (1+nepsilon +{frac {1}{2}}n(n-1)epsilon ^{2})-(1+nepsilon +{frac {1}{2}}n(n+1)epsilon ^{2})&approx {frac {1}{2}}n(n-1)epsilon ^{2}-{frac {1}{2}}n(n+1)epsilon ^{2}&approx {frac {1}{2}}nepsilon ^{2}((n-1)-(n+1))&approx -nepsilon ^{2}end{aligned}}}$

Этот результат квадратичен по ${displaystyle epsilon }$ поэтому он не появился, когда только линейные по ${displaystyle epsilon }$ были сохранены.

Рекомендации

1. Например, расчет мультипольное расширение. Гриффитс, Д. (1999). Введение в электродинамику (Третье изд.). Pearson Education, Inc., стр. 146–148.