Линейное приближение - Linear approximation

Касательная линия в точке (а, ж(а))

В математика, а линейное приближение это приближение общего функция используя линейная функция (точнее, аффинная функция ). Они широко используются в методе конечные разности для создания методов первого порядка для решения или аппроксимации решений уравнений.

Определение

Для дважды непрерывно дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$ одного настоящий Переменная, Теорема Тейлора для случая ${\displaystyle n=1}$ утверждает, что

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}\ }$

куда ${\displaystyle R_{2}}$ остаточный член. Линейное приближение получается отбрасыванием остатка:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}$.

Это хорошее приближение, когда ${\displaystyle x}$ достаточно близко к ${\displaystyle a}$; так как кривая при внимательном наблюдении начинает напоминать прямую линию. Следовательно, выражение в правой части - это просто уравнение для касательная линия к графику ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle (a,f(a))}$. По этой причине этот процесс также называют аппроксимация касательной.

Если ${\displaystyle f}$ является вогнуться в промежутке между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a}$, приближение будет завышенным (поскольку производная убывает в этом интервале). Если ${\displaystyle f}$ является вогнуться, приближение будет заниженным.^[1]

Линейные приближения для вектор функции векторной переменной получаются таким же образом с заменой производной в точке на Якобиан матрица. Например, для дифференцируемой функции ${\displaystyle f(x,y)}$ с реальными значениями можно приблизить ${\displaystyle f(x,y)}$ за ${\displaystyle (x,y)}$ рядом с ${\displaystyle (a,b)}$ по формуле

${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$

Правая часть - это уравнение плоскости, касательной к графику ${\displaystyle z=f(x,y)}$ в ${\displaystyle (a,b).}$

В более общем случае Банаховы пространства, надо

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$

куда ${\displaystyle Df(a)}$ это Производная Фреше из ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$.

Приложения

Оптика

Основная статья: Гауссова оптика

Гауссова оптика это техника в геометрическая оптика который описывает поведение световых лучей в оптических системах с помощью параксиальное приближение, в котором только лучи, образующие малые углы с оптическая ось системы.^[2] В этом приближении тригонометрические функции могут быть выражены как линейные функции углов. Гауссова оптика применяется к системам, в которых все оптические поверхности либо плоские, либо являются частями сфера. В этом случае можно дать простые явные формулы для параметров системы формирования изображения, таких как фокусное расстояние, увеличение и яркость, с точки зрения геометрических форм и свойств материалов составляющих элементов.

Период колебаний

Основная статья: Маятник

Период качания простой гравитационный маятник зависит от его длина, местный сила тяжести, и в небольшой степени на максимуме угол что маятник отклоняется от вертикали, θ₀, называется амплитуда.^[3] Это не зависит от масса боба. Истинный период Т простого маятника время, необходимое для полного цикла идеального простого гравитационного маятника, может быть записано в нескольких различных формах (см. Маятник (математика) ), одним из примеров является бесконечная серия:^[4][5]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$

куда L - длина маятника и грамм местный ускорение свободного падения.

Однако, если взять линейное приближение (т.е. если амплитуда ограничена небольшими колебаниями,^{[Примечание 1]} ) период является:^[6]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1\qquad (1)\,}$

В линейном приближении период качания примерно одинаков для качелей разного размера: то есть период не зависит от амплитуды. Это свойство, называемое изохронизм, вот почему маятники так удобны для хронометража.^[7] Последовательные колебания маятника, даже если они меняются по амплитуде, занимают одинаковое время.

Удельное электрическое сопротивление

Основная статья: Удельное электрическое сопротивление

Удельное электрическое сопротивление большинства материалов изменяется с температурой. Если температура Т не меняется слишком сильно, обычно используется линейное приближение:

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]}$

куда ${\displaystyle \alpha }$ называется температурный коэффициент удельного сопротивления, ${\displaystyle T_{0}}$ фиксированная эталонная температура (обычно комнатная), и ${\displaystyle \rho _{0}}$ это удельное сопротивление при температуре ${\displaystyle T_{0}}$. Параметр ${\displaystyle \alpha }$ - эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение - это только приближение, ${\displaystyle \alpha }$ отличается для разных эталонных температур. По этой причине обычно указывается температура, при которой ${\displaystyle \alpha }$ измеряется с суффиксом, например ${\displaystyle \alpha _{15}}$, и эта связь сохраняется только в диапазоне температур вокруг эталона.^[8] Когда температура изменяется в большом диапазоне температур, линейное приближение неадекватно, и следует использовать более подробный анализ и понимание.

Смотрите также

• Биномиальное приближение
• Метод Эйлера
• Конечные различия
• Конечно-разностные методы
• Метод Ньютона
• Силовая серия
• Серия Тейлор

Примечания

1. «Малое» колебание - это такое колебание, при котором угол θ достаточно мал, чтобы sin (θ) можно было аппроксимировать θ, когда θ измеряется в радианах.

Рекомендации

1. «12.1 Оценка значения функции с помощью линейного приближения». Получено 3 июн 2012.
2. Lipson, A .; Lipson, S.G .; Липсон, Х. (2010). Оптическая физика (4-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 51. ISBN  978-0-521-49345-1.
3. Милхэм, Уиллис I. (1945). Время и хронометристы. Макмиллан. С. 188–194. OCLC  1744137.
4. Нельсон, Роберт; М. Г. Олссон (февраль 1987 г.). «Маятник - богатая физика из простой системы» (PDF). Американский журнал физики. 54 (2): 112–121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. Дои:10.1119/1.14703. Получено 2008-10-29.
5. "Часы". Британская энциклопедия, 11-е изд.. 6. The Encyclopdia Britannica Publishing Co., 1910. стр. 538. Получено 2009-03-04. включает в себя вывод
6. Холлидей, Дэвид; Роберт Резник; Джерл Уокер (1997). Основы физики, 5-е изд.. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п.381. ISBN  0-471-14854-7.
7. Купер, Герберт Дж. (2007). Научные инструменты. Нью-Йорк: Хатчинсона. п. 162. ISBN  1-4067-6879-0.
8. Уорд, М. Р. (1971). Электротехника. Макгроу-Хилл. С. 36–40. ISBN  0-07-094255-2.

дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Алан; Марсден, Джерролд Э. (1984). Исчисление III. Берлин: Springer-Verlag. п. 775. ISBN  0-387-90985-0.
• Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление. Колледж Уэллсли. п. 94. ISBN  0-9614088-2-0.
• Бок, Дэвид; Хокетт, Ширли О. (2005). Как подготовиться к вычислению AP. Хауппог, Нью-Йорк: Образовательная серия Бэрронса. п.118. ISBN  0-7641-2382-3.