Биномиальное распределение - Binomial distribution

«Биномиальная модель» перенаправляется сюда. О биномиальной модели ценообразования опционов см. Модель ценообразования биномиальных опционов.

Смотрите также: Отрицательное биномиальное распределение

Биномиальное распределение

Вероятностная функция масс
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${displaystyle B(n,p)}$
Параметры	${displaystyle nin {0,1,2,ldots }}$ - количество испытаний ${displaystyle pin [0,1]}$ - вероятность успеха для каждого испытания ${displaystyle q=1-p}$
Поддерживать	${displaystyle kin {0,1,ldots ,n}}$ - количество успехов
PMF	${displaystyle {inom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}$
CDF	${displaystyle I_{q}(n-k,1+k)}$
Иметь в виду	${displaystyle np}$
Медиана	${displaystyle lfloor npfloor }$ или же ${displaystyle lceil npceil }$
Режим	${displaystyle lfloor (n+1)pfloor }$ или же ${displaystyle lceil (n+1)pceil -1}$
Дисперсия	${displaystyle npq}$
Асимметрия	${displaystyle {frac {q-p}{sqrt {npq}}}}$
Бывший. эксцесс	${displaystyle {frac {1-6pq}{npq}}}$
Энтропия	${displaystyle {frac {1}{2}}log _{2}(2pi enpq)+Oleft({frac {1}{n}}ight)}$ в Shannons. За нац, используйте естественный журнал в журнале.
MGF	${displaystyle (q+pe^{t})^{n}}$
CF	${displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$
PGF	${displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
Информация Fisher	${displaystyle g_{n}(p)={frac {n}{pq}}}$ (для фиксированных ${displaystyle n}$)

Биномиальное распределение для ${displaystyle p=0.5}$
с п и k как в Треугольник Паскаля

Вероятность того, что мяч в Ящик гальтона с 8 слоями (п = 8) попадает в центральную корзину (k = 4) является ${displaystyle 70/256}$.

В теория вероятности и статистика, то биномиальное распределение с параметрами п и п это дискретное распределение вероятностей количества успехов в последовательности п независимый эксперименты, каждый спрашивает да – нет вопроса, и каждый со своим Булево -значен исход: успех (с вероятностью п) или же отказ (с вероятностью q = 1 − п). Единичный эксперимент успеха / неудачи также называется Бернулли суд или эксперимент Бернулли, а последовательность результатов называется Процесс Бернулли; для одного испытания, т.е. п = 1, биномиальное распределение есть Распределение Бернулли. Биномиальное распределение является основой популярного биномиальный тест из Статистическая значимость.

Биномиальное распределение часто используется для моделирования количества успехов в выборке размером п нарисованный с заменой от большой популяции N. Если выборка выполняется без замены, розыгрыши не являются независимыми, и поэтому результирующее распределение является гипергеометрическое распределение, а не биномиальный. Однако для N намного больше, чем п, биномиальное распределение остается хорошим приближением и широко используется.

Определения

Вероятностная функция масс

В общем, если случайная переменная Икс следует биномиальному распределению с параметрами п ∈ ℕ и п ∈ [0,1], запишем Икс ~ B (п, п). Вероятность получить ровно k успехи в п независимые испытания Бернулли даны функция массы вероятности:

${displaystyle f(k,n,p)=Pr(k;n,p)=Pr(X=k)={inom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

за k = 0, 1, 2, ..., п, куда

${displaystyle {inom {n}{k}}={frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

это биномиальный коэффициент, отсюда и название раздачи. Формулу можно понять так: k успех случается с вероятностью п^k и п − k отказы происходят с вероятностью (1 -п)^п − k. Тем не менее k успех может произойти где угодно среди п испытания, и есть ${displaystyle {inom {n}{k}}}$ разные способы распространения k успехов в последовательности п испытания.

При создании справочных таблиц для вероятностей биномиального распределения обычно таблица заполняется до п/ 2 значения. Это потому, что для k > п/ 2, вероятность вычисляется по его дополнению как

${displaystyle f(k,n,p)=f(n-k,n,1-p).}$

Глядя на выражение ж(k, п, п) как функция k, Существует k значение, которое максимизирует его. Этот k значение можно найти, вычислив

${displaystyle {frac {f(k+1,n,p)}{f(k,n,p)}}={frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$

и сравнивая его с 1. Всегда есть целое число M это удовлетворяет^[1]

${displaystyle (n+1)p-1leq M<(n+1)p.}$

ж(k, п, п) монотонно возрастает при k < M и монотонно убывает при k > M, за исключением случая, когда (п + 1)п целое число. В этом случае есть два значения, для которых ж максимальное: (п + 1)п и (п + 1)п − 1. M это наиболее вероятно исход (то есть наиболее вероятный, хотя в целом он все еще может быть маловероятным) испытаний Бернулли и называется Режим.

Пример

Предположим, что предвзятая монета выпадает орел с вероятностью 0,3 при подбрасывании. Вероятность увидеть ровно 4 решки за 6 бросков равна

${displaystyle f(4,6,0.3)={inom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$

Кумулятивная функция распределения

В кумулятивная функция распределения можно выразить как:

${displaystyle F(k;n,p)=Pr(Xleq k)=sum _{i=0}^{lfloor kfloor }{n choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$

куда ${displaystyle lfloor kfloor }$ это "пол" под k, т.е. наибольшее целое число меньше или равно k.

Его также можно представить в виде регуляризованная неполная бета-функция, следующее:^[2]

${displaystyle {egin{aligned}F(k;n,p)&=Pr(Xleq k)&=I_{1-p}(n-k,k+1)&=(n-k){n choose k}int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k},dt.end{aligned}}}$

что эквивалентно кумулятивная функция распределения из F-распределение:^[3]

${displaystyle F(k;n,p)=F_{F{ ext{-distribution}}}left(x={frac {1-p}{p}}{frac {k+1}{n-k}};d_{1}=2(n-k),d_{2}=2(k+1)ight).}$

Даны некоторые оценки в закрытом виде для кумулятивной функции распределения. ниже.

Характеристики

Ожидаемое значение и отклонение

Если Икс ~ B(п, п), то есть, Икс является биномиально распределенной случайной величиной, где n - общее количество экспериментов, а p - вероятность того, что каждый эксперимент даст успешный результат, тогда ожидаемое значение из Икс является:^[4]

${displaystyle operatorname {E} [X]=np.}$

Это следует из линейности математического ожидания и того факта, что Икс это сумма п идентичные случайные величины Бернулли, каждая с ожидаемым значением п. Другими словами, если ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ являются идентичными (и независимыми) случайными величинами Бернулли с параметром п, тогда ${displaystyle X=X_{1}+cdots +X_{n}}$ и

${displaystyle operatorname {E} [X]=operatorname {E} [X_{1}+cdots +X_{n}]=operatorname {E} [X_{1}]+cdots +operatorname {E} [X_{n}]=p+cdots +p=np.}$

В отклонение является:

${displaystyle operatorname {Var} (X)=np(1-p).}$

Это аналогично следует из того факта, что дисперсия суммы независимых случайных величин является суммой дисперсий.

Высшие моменты

Первые 6 центральных моментов даются

${displaystyle {egin{aligned}mu _{1}&=0,mu _{2}&=np(1-p),mu _{3}&=np(1-p)(1-2p),mu _{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),mu _{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),mu _{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).end{aligned}}}$

Режим

Обычно Режим бинома B(п, п) распределение равно ${displaystyle lfloor (n+1)pfloor }$, куда ${displaystyle lfloor cdot floor }$ это функция пола. Однако когда (п + 1)п целое число и п не равно ни 0, ни 1, то распределение имеет два режима: (п + 1)п и (п + 1)п - 1. Когда п равно 0 или 1, режим будет 0 и п соответственно. Эти случаи можно резюмировать следующим образом:

${displaystyle { ext{mode}}={egin{cases}lfloor (n+1),pfloor &{ ext{if }}(n+1)p{ ext{ is 0 or a noninteger}},(n+1),p { ext{ and }} (n+1),p-1&{ ext{if }}(n+1)pin {1,dots ,n}, &{ ext{if }}(n+1)p=n+1.end{cases}}}$

Доказательство: Позволять

${displaystyle f(k)={inom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.}$

За ${displaystyle p=0}$ Только ${displaystyle f(0)}$ имеет ненулевое значение с ${displaystyle f(0)=1}$. За ${displaystyle p=1}$ мы нашли ${displaystyle f(n)=1}$ и ${displaystyle f(k)=0}$ за ${displaystyle keq n}$. Это доказывает, что режим равен 0 для ${displaystyle p=0}$ и ${displaystyle n}$ за ${displaystyle p=1}$.

Позволять ${displaystyle 0<p<1}$

. Мы нашли

${displaystyle {frac {f(k+1)}{f(k)}}={frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}}$.

Из этого следует

${displaystyle {egin{aligned}k>(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)<f(k)k=(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)=f(k)k<(n+1)p-1Rightarrow f(k+1)>f(k)end{aligned}}}$

Так когда ${displaystyle (n+1)p-1}$ целое число, тогда ${displaystyle (n+1)p-1}$ и ${displaystyle (n+1)p}$ это режим. В случае, если ${displaystyle (n+1)p-1otin mathbb {Z} }$то только ${displaystyle lfloor (n+1)p-1floor +1=lfloor (n+1)pfloor }$ это режим.^[5]

Медиана

В общем, не существует единой формулы для определения медиана для биномиального распределения, и оно может быть даже неуникальным. Однако было установлено несколько особых результатов:

• Если нп является целым числом, тогда среднее значение, медиана и мода совпадают и равны нп.^[6][7]
• Любая медиана м должно лежать в интервале ⌊нп⌋ ≤ м ≤ ⌈нп⌉.^[8]
• Медиана м не может лежать слишком далеко от среднего: |м − нп| ≤ min {ln 2, max {п, 1 − п} }.^[9]
• Медиана уникальна и равна м = круглый (нп) когда |м − нп| ≤ min {п, 1 − п} (кроме случая, когда п = 1/2 и п нечетно).^[8]
• Когда п = 1/2 и п нечетное, любое число м в интервале 1/2(п − 1) ≤ м ≤ 1/2(п + 1) - медиана биномиального распределения. Если п = 1/2 и п четно, тогда м = п/ 2 - единственная медиана.

Границы хвоста

За k ≤ нп, верхние границы могут быть получены для нижнего хвоста кумулятивной функции распределения ${displaystyle F(k;n,p)=Pr(Xleq k)}$вероятность того, что существует не более k успехов. С ${displaystyle Pr(Xgeq k)=F(n-k;n,1-p)}$, эти границы также можно рассматривать как границы для верхнего хвоста кумулятивной функции распределения для k ≥ нп.

Неравенство Хёффдинга дает простую оценку

${displaystyle F(k;n,p)leq exp left(-2nleft(p-{frac {k}{n}}ight)^{2}ight),!}$

что, однако, не очень плотно. В частности, для п = 1, имеем F(k;п,п) = 0 (для фиксированного k, п с k < п), но оценка Хёффдинга дает положительную константу.

Более точную оценку можно получить из Граница Чернова:^[10]

${displaystyle F(k;n,p)leq exp left(-nDleft({frac {k}{n}}parallel pight)ight)}$

куда D(а || п) это относительная энтропия между а-коина и п-coin (то есть между Бернулли (а) и Бернулли (п) распределение):

${displaystyle D(aparallel p)=(a)log {frac {a}{p}}+(1-a)log {frac {1-a}{1-p}}.!}$

Асимптотически эта граница достаточно жесткая; видеть ^[10] для подробностей.

Также можно получить ниже границы на хвосте ${displaystyle F(k;n,p)}$, известный как границы антиконцентрации. Аппроксимируя биномиальный коэффициент формулой Стирлинга, можно показать, что^[11]

${displaystyle F(k;n,p)geq {frac {1}{sqrt {8n{ frac {k}{n}}(1-{ frac {k}{n}})}}}exp left(-nDleft({frac {k}{n}}parallel pight)ight),}$

откуда следует более простая, но более слабая оценка

${displaystyle F(k;n,p)geq {frac {1}{sqrt {2n}}}exp left(-nDleft({frac {k}{n}}parallel pight)ight).}$

За п = 1/2 и k ≥ 3п/ 8 для четных п, можно сделать знаменатель постоянным:^[12]

${displaystyle F(k;n,{ frac {1}{2}})geq {frac {1}{15}}exp left(-16nleft({frac {1}{2}}-{frac {k}{n}}ight)^{2}ight).!}$

Статистические выводы

Оценка параметров

Смотрите также: Бета-распределение § Байесовский вывод

Когда п известно, параметр п можно оценить, используя долю успехов: ${displaystyle {widehat {p}}={frac {x}{n}}.}$ Эта оценка находится с использованием оценщик максимального правдоподобия а также метод моментов. Эта оценка беспристрастный и равномерно с минимальная дисперсия, доказано использование Теорема Лемана – Шеффе, поскольку он основан на минимально достаточный и полный статистика (например: Икс). Это также последовательный как по вероятности, так и по MSE.

Закрытая форма Байесовская оценка за п также существует при использовании Бета-распределение как сопрягать предварительное распространение. При использовании общего ${displaystyle operatorname {Beta} (alpha ,eta )}$ как и прежде, заднее среднее оценщик: ${displaystyle {widehat {p_{b}}}={frac {x+alpha }{n+alpha +eta }}}$. Оценка Байеса асимптотически эффективный и по мере приближения размера выборки к бесконечности (п → ∞), она приближается к MLE решение. Оценка Байеса пристрастный (сколько зависит от приоры), допустимый и последовательный по вероятности.

Для особого случая использования стандартное равномерное распределение как неинформативный приор (${displaystyle operatorname {Beta} (alpha =1,eta =1)=U(0,1)}$) апостериорная средняя оценка принимает вид ${displaystyle {widehat {p_{b}}}={frac {x+1}{n+2}}}$ (а задний режим должен просто привести к стандартной оценке). Этот метод называется правило наследования, который был введен в 18 веке Пьер-Симон Лаплас.

При оценке п с очень редкими событиями и маленьким п (например: если x = 0), то использование стандартной оценки приводит к ${displaystyle {widehat {p}}=0,}$ что иногда бывает нереально и нежелательно. В таких случаях существуют различные альтернативные оценки.^[13] Один из способов - использовать байесовскую оценку, что приведет к: ${displaystyle {widehat {p_{b}}}={frac {1}{n+2}}}$). Другой метод - использовать верхнюю границу доверительный интервал полученный с использованием правило трех: ${displaystyle {widehat {p_{ ext{rule of 3}}}}={frac {3}{n}}}$)

Доверительные интервалы

Основная статья: Доверительный интервал биномиальной пропорции

Даже для достаточно больших значений п, фактическое распределение среднего существенно ненормально.^[14] Из-за этой проблемы было предложено несколько методов оценки доверительных интервалов.

В приведенных ниже уравнениях для доверительных интервалов переменные имеют следующее значение:

• п₁ количество успехов из п, общее количество испытаний
• ${displaystyle {widehat {p,}}={frac {n_{1}}{n}}}$ доля успехов
• ${displaystyle z}$ это ${displaystyle 1-{ frac {1}{2}}alpha }$ квантиль из стандартное нормальное распределение (т.е. пробит ), соответствующий целевой частоте ошибок ${displaystyle alpha }$. Например, для уровня достоверности 95% ошибка ${displaystyle alpha }$ = 0,05, поэтому ${displaystyle 1-{ frac {1}{2}}alpha }$ = 0,975 и ${displaystyle z}$ = 1.96.

Метод Вальда

${displaystyle {widehat {p,}}pm z{sqrt {frac {{widehat {p,}}(1-{widehat {p,}})}{n}}}.}$

А исправление непрерывности 0,5 /п могут быть добавлены.^{[требуется разъяснение ]}

Метод Агрести – Коулла

^[15]

${displaystyle { ilde {p}}pm z{sqrt {frac {{ ilde {p}}(1-{ ilde {p}})}{n+z^{2}}}}.}$

Здесь оценка п изменен на

${displaystyle { ilde {p}}={frac {n_{1}+{frac {1}{2}}z^{2}}{n+z^{2}}}}$

Арксинус метод

^[16]

${displaystyle sin ^{2}left(arcsin left({sqrt {widehat {p,}}}ight)pm {frac {z}{2{sqrt {n}}}}ight).}$

Метод Вильсона (оценка)

Основная статья: Доверительный интервал биномиальной пропорции § Интервал оценки Вильсона

Обозначения в приведенной ниже формуле отличаются от предыдущих формул в двух отношениях:^[17]

• Во-первых, z_Икс имеет несколько иное толкование в приведенной ниже формуле: оно имеет обычное значение Иксквантиль стандартного нормального распределения ', а не сокращение' (1 -Икс) -й квантиль '.
• Во-вторых, в этой формуле не используется знак «плюс-минус» для определения двух границ. Вместо этого можно использовать ${displaystyle z=z_{alpha /2}}$ чтобы получить нижнюю границу, или используйте ${displaystyle z=z_{1-alpha /2}}$ чтобы получить верхнюю границу. Например: для уровня достоверности 95% ошибка ${displaystyle alpha }$ = 0,05, поэтому нижнюю границу можно получить, используя ${displaystyle z=z_{alpha /2}=z_{0.025}=-1.96}$, а верхнюю границу можно получить, используя ${displaystyle z=z_{1-alpha /2}=z_{0.975}=1.96}$.

${displaystyle {frac {{widehat {p,}}+{frac {z^{2}}{2n}}+z{sqrt {{frac {{widehat {p,}}(1-{widehat {p,}})}{n}}+{frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{frac {z^{2}}{n}}}}}$^[18]

Сравнение

Точный (Клоппер – Пирсон ) метод является наиболее консервативным.^[14]

Метод Вальда, хотя его часто рекомендуют в учебниках, является наиболее предвзятым.^{[требуется разъяснение ]}

Связанные дистрибутивы

Суммы биномов

Если Икс ~ B (п, п) и Y ~ B (м, п) - независимые биномиальные переменные с одинаковой вероятностью п, тогда Икс + Y снова является биномиальной переменной; его распространение Z = X + Y ~ B (п + м, п):

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {P} (Z=k)&=sum _{i=0}^{k}left[{inom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}ight]left[{inom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}ight]&={inom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}end{aligned}}}$

Однако если Икс и Y не имеют такой же вероятности п, то дисперсия суммы будет меньше, чем дисперсия биномиальной переменной распространяется как ${displaystyle B(n+m,{ar {p}}).,}$

Соотношение двух биномиальных распределений

Этот результат был впервые получен Кацем и соавторами в 1978 году.^[19]

Позволять Икс ~ B (п,п₁) и Y ~ B (м,п₂) быть независимым. Позволять Т = (Икс/п)/(Y/м).

Затем войдите (Т) приблизительно нормально распределяется со средним логарифмом (п₁/п₂) и дисперсии ((1 /п₁) − 1)/п + ((1/п₂) − 1)/м.

Условные биномы

Если Икс ~ B (п, п) и Y | Икс ~ B (Икс, q) (условное распределение Y, данныйИкс), тогда Y простая биномиальная случайная величина с распределением Y ~ B (п, pq).

Например, представьте, что бросаете п мячи в корзину U_Икс и забирая попавшие шары и бросая их в другую корзину U_Y. Если п вероятность попадания U_Икс тогда Икс ~ B (п, п) - количество шаров, попавших в U_Икс. Если q вероятность попадания U_Y затем количество шаров, которые попали U_Y является Y ~ B (Икс, q) и поэтому Y ~ B (п, pq).

[Доказательство]

С ${displaystyle Xsim B(n,p)}$ и ${displaystyle Ysim B(X,q)}$, посредством закон полной вероятности,

${displaystyle {egin{aligned}Pr[Y=m]&=sum _{k=m}^{n}Pr[Y=mmid X=k]Pr[X=k][2pt]&=sum _{k=m}^{n}{inom {n}{k}}{inom {k}{m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}end{aligned}}}$

С ${displaystyle { binom {n}{k}}{ binom {k}{m}}={ binom {n}{m}}{ binom {n-m}{k-m}},}$ приведенное выше уравнение можно выразить как

${displaystyle Pr[Y=m]=sum _{k=m}^{n}{inom {n}{m}}{inom {n-m}{k-m}}p^{k}q^{m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}}$

Факторинг ${displaystyle p^{k}=p^{m}p^{k-m}}$ и вытаскивая все термины, которые не зависят от ${displaystyle k}$ из суммы теперь дает

${displaystyle {egin{aligned}Pr[Y=m]&={inom {n}{m}}p^{m}q^{m}left(sum _{k=m}^{n}{inom {n-m}{k-m}}p^{k-m}(1-p)^{n-k}(1-q)^{k-m}ight)[2pt]&={inom {n}{m}}(pq)^{m}left(sum _{k=m}^{n}{inom {n-m}{k-m}}left(p(1-q)ight)^{k-m}(1-p)^{n-k}ight)end{aligned}}}$

После замены ${displaystyle i=k-m}$ в приведенном выше выражении мы получаем

${displaystyle Pr[Y=m]={inom {n}{m}}(pq)^{m}left(sum _{i=0}^{n-m}{inom {n-m}{i}}(p-pq)^{i}(1-p)^{n-m-i}ight)}$

Обратите внимание, что сумма (в скобках) выше равна ${displaystyle (p-pq+1-p)^{n-m}}$ посредством биномиальная теорема. Подставив это в finally, дает

${displaystyle {egin{aligned}Pr[Y=m]&={inom {n}{m}}(pq)^{m}(p-pq+1-p)^{n-m}[4pt]&={inom {n}{m}}(pq)^{m}(1-pq)^{n-m}end{aligned}}}$

и поэтому ${displaystyle Ysim B(n,pq)}$ по желанию.

Распределение Бернулли

В Распределение Бернулли является частным случаем биномиального распределения, где п = 1. Символически, Икс ~ B (1,п) имеет то же значение, что и Икс ~ Бернулли (п). Наоборот, любое биномиальное распределение B (п, п), является распределением суммы п Бернулли испытания, Бернулли (п), каждый с одинаковой вероятностью п.^[20]

Биномиальное распределение Пуассона

Биномиальное распределение - это частный случай Биномиальное распределение Пуассона, или же общее биномиальное распределение, которое представляет собой распределение суммы п независимый неидентичный Бернулли испытания B (п_я).^[21]

Нормальное приближение

Биномиальный функция массы вероятности и нормально функция плотности вероятности приближение для п = 6 и п = 0.5

Если п достаточно велико, то перекос распределения не слишком велик. В этом случае разумное приближение к B (п, п) дается нормальное распределение

${displaystyle {mathcal {N}}(np,,np(1-p)),}$

и это базовое приближение можно легко улучшить, используя подходящую исправление непрерывности Базовое приближение обычно улучшается как п увеличивается (минимум на 20) и лучше, когда п не близко к 0 или 1.^[22] Разные эмпирические правила может использоваться, чтобы решить, п достаточно большой, и п достаточно далеко от крайних значений нуля или единицы:

• Одно правило^[22] это для п > 5 нормальное приближение является адекватным, если абсолютное значение асимметрии строго меньше 1/3; то есть, если

${displaystyle {frac {|1-2p|}{sqrt {np(1-p)}}}={frac {1}{sqrt {n}}}left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},ight|<{frac {1}{3}}.}$

• Более сильное правило гласит, что нормальное приближение подходит только в том случае, если все в пределах 3 стандартных отклонений от его среднего находится в пределах диапазона возможных значений; то есть, только если

${displaystyle mu pm 3sigma =nppm 3{sqrt {np(1-p)}}in (0,n).}$

Это правило трех стандартных отклонений эквивалентно следующим условиям, которые также подразумевают первое правило выше.

${displaystyle n>9left({frac {1-p}{p}}ight)quad { ext{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}ight).}$

[Доказательство]

Правило ${displaystyle nppm 3{sqrt {np(1-p)}}in (0,n)}$ полностью эквивалентен запросу, что

${displaystyle np-3{sqrt {np(1-p)}}>0quad { ext{and}}quad np+3{sqrt {np(1-p)}}<n.}$

Перемещение терминов по доходности:

${displaystyle np>3{sqrt {np(1-p)}}quad { ext{and}}quad n(1-p)>3{sqrt {np(1-p)}}.}$

С ${displaystyle 0<p<1}$

, мы можем применить квадратную степень и разделить на соответствующие множители ${displaystyle np^{2}}$ и ${displaystyle n(1-p)^{2}}$, чтобы получить желаемые условия:

${displaystyle n>9left({frac {1-p}{p}}ight)quad { ext{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}ight).}$

Обратите внимание, что эти условия автоматически подразумевают, что ${displaystyle n>9}$. С другой стороны, снова примените квадратный корень и разделите на 3,

${displaystyle {frac {sqrt {n}}{3}}>{sqrt {frac {1-p}{p}}}>0quad { ext{and}}quad {frac {sqrt {n}}{3}}>{sqrt {frac {p}{1-p}}}>0.}$

Вычитание второго набора неравенств из первого дает:

${displaystyle {frac {sqrt {n}}{3}}>{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}}>-{frac {sqrt {n}}{3}};}$

Итак, желаемое первое правило выполнено,

${displaystyle left|{sqrt {frac {1-p}{p}}}-{sqrt {frac {p}{1-p}}},ight|<{frac {sqrt {n}}{3}}.}$

• Другое часто используемое правило состоит в том, что оба значения ${displaystyle np}$ и ${displaystyle n(1-p)}$ должно быть больше или равно 5. Однако конкретное число варьируется от источника к источнику и зависит от того, насколько хорошее приближение требуется. В частности, если использовать 9 вместо 5, правило подразумевает результаты, указанные в предыдущих параграфах.

[Доказательство]

Предположим, что оба значения ${displaystyle np}$ и ${displaystyle n(1-p)}$ больше 9. Поскольку ${displaystyle 0<p<1}$

, мы легко получаем, что

${displaystyle npgeq 9>9(1-p)quad { ext{and}}quad n(1-p)geq 9>9p.}$

Нам осталось только разделить на соответствующие факторы ${displaystyle p}$ и ${displaystyle 1-p}$, чтобы вывести альтернативную форму правила трех стандартных отклонений:

${displaystyle n>9left({frac {1-p}{p}}ight)quad { ext{and}}quad n>9left({frac {p}{1-p}}ight).}$

Ниже приводится пример применения исправление непрерывности. Предположим, кто-то хочет вычислить Pr (Икс ≤ 8) для биномиальной случайной величины Икс. Если Y имеет распределение, задаваемое нормальным приближением, то Pr (Икс ≤ 8) аппроксимируется Pr (Y ≤ 8,5). Добавление 0,5 - это поправка на непрерывность; нескорректированное нормальное приближение дает значительно менее точные результаты.

Это приближение, известное как Теорема де Муавра – Лапласа, значительно экономит время при выполнении расчетов вручную (точные расчеты с большими п очень обременительны); исторически это было первое использование нормального распределения, введенное в Абрахам де Муавр книга Доктрина шансов в 1738 году. В настоящее время его можно рассматривать как следствие Центральная предельная теорема поскольку B (п, п) представляет собой сумму п независимые, одинаково распределенные Переменные Бернулли с параметромп. Этот факт лежит в основе проверка гипотез, "z-критерий пропорции" для значения п с помощью х / п, доля выборки и оценка п, в общая тестовая статистика.^[23]

Например, предположим, что один случайный выбор п людей из большой популяции и спросите их, согласны ли они с определенным утверждением. Доля согласных, конечно, будет зависеть от выборки. Если группы п люди отбирались многократно и действительно случайным образом, пропорции следовали бы приблизительному нормальному распределению со средним значением, равным истинной пропорции п согласия среди населения и со стандартным отклонением ${displaystyle sigma ={sqrt {frac {p(1-p)}{n}}}}$

Пуассоновское приближение

Биномиальное распределение сходится к распределение Пуассона поскольку количество попыток стремится к бесконечности, пока продукт нп остается фиксированным или по крайней мере п стремится к нулю. Следовательно, распределение Пуассона с параметром λ = нп можно использовать как приближение к B (п, п) биномиального распределения, если п достаточно большой и п достаточно мала. Согласно двум практическим правилам это приближение хорошо, если п ≥ 20 и п ≤ 0,05, или если п ≥ 100 и нп ≤ 10.^[24]

Относительно точности пуассоновского приближения см. Новак,^[25] гл. 4 и ссылки в нем.

Ограничивающие распределения

• Предельная теорема Пуассона: В качестве п приближается к ∞ и п приближается к 0 с продуктом нп фиксируется, биномиальный (п, п) распределение приближается к распределение Пуассона с ожидаемое значение λ = np.^[24]
• Теорема де Муавра – Лапласа: В качестве п приближается к ∞, а п остается фиксированным, распределение

${displaystyle {frac {X-np}{sqrt {np(1-p)}}}}$

приближается к нормальное распределение с ожидаемым значением 0 и отклонение  1.^{[нужна цитата ]} Иногда этот результат вольно выражается, говоря, что распределение Икс является асимптотически нормальный с ожидаемой стоимостьюнп и отклонение  нп(1 − п). Этот результат является частным случаем Центральная предельная теорема.

Бета-распределение

Биномиальное распределение и бета-распределение - это разные взгляды на одну и ту же модель повторных испытаний Бернулли. Биномиальное распределение - это PMF из k достигнутые успехи п независимые события каждое с вероятностью п успеха. Математически, когда α = k + 1 и β = п − k + 1, бета-распределение и биномиальное распределение связаны коэффициентом п + 1:

${displaystyle operatorname {Beta} (p;alpha ;eta )=(n+1)operatorname {Binom} (k;n;p)}$

Бета-распределения также предоставить семью априорные распределения вероятностей для биномиальных распределений в Байесовский вывод:^[26]

${displaystyle P(p;alpha ,eta )={frac {p^{alpha -1}(1-p)^{eta -1}}{mathrm {B} (alpha ,eta )}}.}$

При однородном априорном распределении апостериорного распределения вероятности успеха п данный п независимые мероприятия с k наблюдаемые успехи - это бета-распределение.^[27]

Вычислительные методы

Генерация биномиальных случайных величин

Методы для генерация случайных чисел где предельное распределение является биномиальным распределением.^[28][29]

Один из способов генерировать случайные выборки из биномиального распределения - использовать алгоритм инверсии. Для этого необходимо вычислить вероятность того, что Pr (Икс = k) для всех значений k из 0 через п. (Эти вероятности должны суммироваться до значения, близкого к единице, чтобы охватить все пространство выборки.) Затем, используя генератор псевдослучайных чисел чтобы сгенерировать выборки равномерно между 0 и 1, можно преобразовать вычисленные выборки в дискретные числа, используя вероятности, вычисленные на первом этапе.

История

Это распределение было получено Джейкоб Бернулли. Он рассмотрел случай, когда п = р/(р + s) куда п вероятность успеха и р и s положительные целые числа. Блез Паскаль ранее рассматривал случай, когда п = 1/2.

Смотрите также

• Математический портал

• Логистическая регрессия
• Мультиномиальное распределение
• Отрицательное биномиальное распределение
• Бета-биномиальное распределение
• Биномиальная мера, пример мультифрактал мера.^[30]
• Статистическая механика

Рекомендации

1. Феллер, В. (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения (Третье изд.). Нью-Йорк: Вили. п.151 (теорема в разделе VI.3).
2. Уодсворт, Г. П. (1960). Введение в вероятность и случайные переменные. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.52.
3. Джоуэтт, Г. Х. (1963). «Связь между биномиальным и F-распределениями». Журнал Королевского статистического общества D. 13 (1): 55–57. Дои:10.2307/2986663. JSTOR  2986663.
4. Видеть Доказательство вики
5. Смотрите также Николя, Андре (7 января 2019 г.). «Режим поиска в биномиальном распределении». Обмен стеком.
6. Нойман, П. (1966). "Uber den Median der Binomial- and Poissonverteilung". Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden (на немецком). 19: 29–33.
7. Господи, Ник. (Июль 2010 г.). "Биномиальные средние, когда среднее целое число", Математический вестник 94, 331-332.
8. Kaas, R .; Бурман, Дж. М. (1980). «Среднее, медиана и мода в биномиальных распределениях». Statistica Neerlandica. 34 (1): 13–18. Дои:10.1111 / j.1467-9574.1980.tb00681.x.
9. Хамза, К. (1995). «Наименьшая равномерная верхняя граница расстояния между средним и медианой биномиального распределения и распределения Пуассона». Письма о статистике и вероятности. 23: 21–25. Дои:10.1016 / 0167-7152 (94) 00090-У.
10. Arratia, R .; Гордон, Л. (1989). «Учебник по большим отклонениям для биномиального распределения». Вестник математической биологии. 51 (1): 125–131. Дои:10.1007 / BF02458840. PMID  2706397. S2CID  189884382.
11. Роберт Б. Эш (1990). Теория информации. Dover Publications. п.115.
12. Matoušek, J .; Вондрак, Дж. «Вероятностный метод» (PDF). конспект лекций.
13. Раззаги, Мехди (2002). «Об оценке биномиальной вероятности успеха при нулевом появлении в выборке». Журнал современных прикладных статистических методов. 1 (2): 326–332. Дои:10.22237 / jmasm / 1036110000.
14. Браун, Лоуренс Д .; Кай, Т. Тони; ДасГупта, Анирбан (2001), «Интервальная оценка биномиальной пропорции», Статистическая наука, 16 (2): 101–133, CiteSeerX  10.1.1.323.7752, Дои:10.1214 / сс / 1009213286, получено 2015-01-05
15. Агрести, Алан; Коулл, Брент А. (май 1998 г.), «Приблизительное лучше, чем« точное »для интервальной оценки биномиальных пропорций» (PDF), Американский статистик, 52 (2): 119–126, Дои:10.2307/2685469, JSTOR  2685469, получено 2015-01-05
16. Пирес, М.А. (2002). «Доверительные интервалы для биномиальной пропорции: сравнение методов и оценка программного обеспечения» (PDF). В Klinke, S .; Ahrend, P .; Рихтер, Л. (ред.). Материалы конференции CompStat 2002. Краткие сообщения и плакаты.
17. Уилсон, Эдвин Б. (июнь 1927 г.), «Вероятный вывод, закон последовательности и статистический вывод» (PDF), Журнал Американской статистической ассоциации, 22 (158): 209–212, Дои:10.2307/2276774, JSTOR  2276774, заархивировано из оригинал (PDF) на 2015-01-13, получено 2015-01-05
18. «Доверительные интервалы». Справочник по инженерной статистике. NIST / Sematech. 2012 г.. Получено 2017-07-23.
19. Кац, Д .; и другие. (1978). «Получение доверительных интервалов для отношения рисков в когортных исследованиях». Биометрия. 34 (3): 469–474. Дои:10.2307/2530610. JSTOR  2530610.
20. Табога, Марко. «Лекции по теории вероятностей и математической статистике». statlect.com. Получено 18 декабря 2017.
21. Ван, Ю. Х. (1993). «О количестве успехов в независимых исследованиях» (PDF). Statistica Sinica. 3 (2): 295–312. Архивировано из оригинал (PDF) на 03.03.2016.
22. Коробка, Охотник и Охотник (1978). Статистика для экспериментаторов. Вайли. п.130.
23. NIST /SEMATECH, «7.2.4. Соответствует ли доля брака требованиям?» Электронный справочник статистических методов.
24. NIST /SEMATECH, «6.3.3.1. Графики контроля подсчета», Электронный справочник статистических методов.
25. Новак С.Ю. (2011) Экстремальные методы ценности с приложениями к финансам. Лондон: CRC / Chapman & Hall / Taylor & Francis. ISBN  9781-43983-5746.
26. Маккей, Дэвид (2003). Теория информации, логические выводы и алгоритмы обучения. Издательство Кембриджского университета; Первое издание. ISBN  978-0521642989.
27. https://www.statlect.com/probability-distributions/beta-distribution
28. Деврой, Люк (1986) Генерация неоднородной случайной величины, Нью-Йорк: Springer-Verlag. (См. Особенно Глава X, Дискретные одномерные распределения )
29. Качитвичянукуль, В .; Шмайзер, Б. В. (1988). «Генерация биномиальных случайных величин». Коммуникации ACM. 31 (2): 216–222. Дои:10.1145/42372.42381. S2CID  18698828.
30. Мандельброт, Б. Б., Фишер, А. Дж., И Кальвет, Л. Е. (1997). Мультифрактальная модель доходности активов. 3.2. Биномиальная мера - простейший пример мультифрактала.

дальнейшее чтение

• Хирш, Вернер З. (1957). «Биномиальное распределение - успех или неудача, насколько они вероятны?». Введение в современную статистику. Нью-Йорк: Макмиллан. С. 140–153.
• Нетер, Джон; Вассерман, Уильям; Уитмор, Г. А. (1988). Прикладная статистика (Третье изд.). Бостон: Аллин и Бэкон. С. 185–192. ISBN  0-205-10328-6.

внешняя ссылка

• Интерактивная графика: Одномерные отношения распределения
• Калькулятор формулы биномиального распределения
• Разница двух биномиальных переменных: X-Y или же | X-Y |
• Запрос биномиального распределения вероятностей в WolframAlpha