Отрицательное полиномиальное распределение - Negative multinomial distribution

Обозначение	${\displaystyle {\textrm {NM}}(x_{0},\,p)}$
Параметры	Икс0 ∈ N0 - количество отказов до остановки эксперимента, п ∈ рм — м-вектор вероятностей «успеха», п0 = 1 − (п1+…+пм) - вероятность «отказа».
Поддерживать	${\displaystyle x_{i}\in \{0,1,2,\ldots \},1\leq i\leq m}$
PDF	${\displaystyle \Gamma \!\left(\sum _{i=0}^{m}{x_{i}}\right){\frac {p_{0}^{x_{0}}}{\Gamma (x_{0})}}\prod _{i=1}^{m}{\frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}},}$ где Γ (Икс) это Гамма-функция.
Иметь в виду	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,p}$
Дисперсия	${\displaystyle {\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,pp'+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (p)}$
CF	${\displaystyle {\bigg (}{\frac {p_{0}}{1-p'e^{it}}}{\bigg )}^{\!x_{0}}}$

В теория вероятности и статистика, то отрицательное полиномиальное распределение является обобщением отрицательное биномиальное распределение (NB (р, п)) к более чем двум исходам.^[1]

Предположим, у нас есть эксперимент, который генерирует м+ 1≥2 возможных исхода, {Икс₀,...,Икс_м}, каждое встречается с неотрицательной вероятностью {п₀,...,п_м} соответственно. Если отбор проб продолжался до п были сделаны наблюдения, затем {Икс₀,...,Икс_м} был бы полиномиально распределенный. Однако если эксперимент остановить один раз Икс₀ достигает заданного значения Икс₀, то распределение м-tuple {Икс₁,...,Икс_м} является отрицательный полиномиальный. Эти переменные не распределены полиномиально, поскольку их сумма Икс₁+...+Икс_м не фиксируется, будучи ничьей из отрицательное биномиальное распределение.

Характеристики

Маржинальные распределения

Если м-размерный Икс разделен следующим образом

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{(1)}\\\mathbf {X} ^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}}$

и соответственно ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {p}}^{(1)}\\{\boldsymbol {p}}^{(2)}\end{bmatrix}}{\text{ with sizes }}{\begin{bmatrix}n\times 1\\(m-n)\times 1\end{bmatrix}}}$

и разреши

${\displaystyle q=1-\sum _{i}p_{i}^{(2)}=p_{0}+\sum _{i}p_{i}^{(1)}}$

Маргинальное распределение ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}^{(1)}}$ является ${\displaystyle \mathrm {NM} (x_{0},p_{0}/q,{\boldsymbol {p}}^{(1)}/q)}$. То есть предельное распределение также является отрицательным полиномиальным с ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}^{(2)}}$ удалены, а остальные п's правильно масштабированы, чтобы добавить к единице.

Одномерный маргинальный ${\displaystyle m=1}$ - отрицательное биномиальное распределение.

Самостоятельные суммы

Если ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}\sim \mathrm {NM} (r_{1},\mathbf {p} )}$ и если ${\displaystyle \mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{2},\mathbf {p} )}$ находятся независимый, тогда${\displaystyle \mathbf {X} _{1}+\mathbf {X} _{2}\sim \mathrm {NM} (r_{1}+r_{2},\mathbf {p} )}$. Аналогично и наоборот, из характеристической функции легко видеть, что отрицательный многочлен равен бесконечно делимый.

Агрегация

Если

${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{m}))}$

то, если случайные величины с индексами я и j удаляются из вектора и заменяются их суммой,

${\displaystyle \mathbf {X} '=(X_{1},\ldots ,X_{i}+X_{j},\ldots ,X_{m})\sim \operatorname {NM} (x_{0},(p_{1},\ldots ,p_{i}+p_{j},\ldots ,p_{m})).}$

Это свойство агрегирования может использоваться для получения предельного распределения ${\displaystyle X_{i}}$ упомянутый выше.

Корреляционная матрица

Записи корреляционная матрица находятся

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{i})=1.}$

${\displaystyle \rho (X_{i},X_{j})={\frac {\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}{\sqrt {\operatorname {var} (X_{i})\operatorname {var} (X_{j})}}}={\sqrt {\frac {p_{i}p_{j}}{(p_{0}+p_{i})(p_{0}+p_{j})}}}.}$

Оценка параметров

Метод моментов

Если мы позволим среднему вектору отрицательного полинома быть

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {x_{0}}{p_{0}}}\mathbf {p} }$

и ковариационная матрица

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\tfrac {x_{0}}{p_{0}^{2}}}\,\mathbf {p} \mathbf {p} '+{\tfrac {x_{0}}{p_{0}}}\,\operatorname {diag} (\mathbf {p} )}$,

то легко показать через свойства детерминанты который${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|={\frac {1}{p_{0}}}\prod _{i=1}^{m}{\mu _{i}}}$. Из этого можно показать, что

${\displaystyle x_{0}={\frac {\sum {\mu _{i}}\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {|{\boldsymbol {\Sigma }}|-\prod {\mu _{i}}}{|{\boldsymbol {\Sigma }}|\sum {\mu _{i}}}}{\boldsymbol {\mu }}.}$

Подстановка моментов выборки дает метод моментов оценки

${\displaystyle {\hat {x}}_{0}={\frac {(\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x_{i}}})}\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}{|\mathbf {S} |-\prod _{i=1}^{m}{\bar {x_{i}}}}}}$

и

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\left({\frac {|{\boldsymbol {S}}|-\prod _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}{|{\boldsymbol {S}}|\sum _{i=1}^{m}{{\bar {x}}_{i}}}}\right){\boldsymbol {\bar {x}}}}$

Связанные дистрибутивы

• Отрицательное биномиальное распределение
• Мультиномиальное распределение
• Обратное распределение Дирихле, а сопряженный предшествующий для отрицательного полинома
• Отрицательное полиномиальное распределение Дирихле

Рекомендации

1. Ле Галл, Ф. Режимы отрицательного полиномиального распределения, Statistics & Probability Letters, том 76, выпуск 6, 15 марта 2006 г., страницы 619-624, ISSN 0167-7152, 10.1016 / j.spl.2005.09.009.

Уоллер Л.А. и Зельтерман Д. (1997). Логлинейное моделирование с отрицательным многочленным распределением. Биометрия 53: 971-82.

дальнейшее чтение

Джонсон, Норман Л .; Коц, Самуэль; Балакришнан, Н. (1997). «Глава 36: Отрицательные полиномиальные и другие полиномиальные распределения». Дискретные многомерные распределения. Вайли. ISBN  978-0-471-12844-1.