Расширенное отрицательное биномиальное распределение - Extended negative binomial distribution - Wikipedia

В вероятность и статистика в расширенное отрицательное биномиальное распределение это дискретное распределение вероятностей расширение отрицательное биномиальное распределение. Это усеченный версия отрицательного биномиального распределения^[1] для которых были изучены методы оценки.^[2]

В контексте актуарная наука, в общем виде распределение появилось в статье К. Хесса, А. Левальда и К.Д. Шмидт^[3] когда они охарактеризовали все распределения, для которых расширенный Рекурсия Панджера работает. По делу м = 1, раздачу уже обсуждал Уиллмот^[4] и поместить в параметризованную семью с логарифмическое распределение и отрицательное биномиальное распределение Х. Гербер.^[5]

Вероятностная функция масс

Для натурального числа м ≥ 1 и реальные параметры п, р с 0 < п ≤ 1 и –м < р < –м + 1, то функция массы вероятности из ExtNegBin (м, р, п) распределение дается

${\displaystyle f(k;m,r,p)=0\qquad {\text{ for }}k\in \{0,1,\ldots ,m-1\}}$

и

${\displaystyle f(k;m,r,p)={\frac {{k+r-1 \choose k}p^{k}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{for }}k\in {\mathbb {N} }{\text{ with }}k\geq m,}$

куда

${\displaystyle {k+r-1 \choose k}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \choose k}\qquad \qquad (1)}$

является (обобщенным) биномиальный коэффициент и Γ обозначает гамма-функция.

Функция, производящая вероятность

Используя это ж ( . ; м, р, пс) за s ∈ (0, 1] также является функцией массы вероятности, отсюда следует, что функция, производящая вероятность дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (s)&=\sum _{k=m}^{\infty }f(k;m,r,p)s^{k}\\&={\frac {(1-ps)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{(1-p)^{-r}-\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}$

Для важного дела м = 1, следовательно р ∈ (–1, 0), это упрощает

${\displaystyle \varphi (s)={\frac {1-(1-ps)^{-r}}{1-(1-p)^{-r}}}\qquad {\text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.}$

Рекомендации

1. Jonhnson, N.L .; Kotz, S .; Кемп, А. (1993) Одномерные дискретные распределения, 2-е издание, Wiley ISBN  0-471-54897-9 (стр. 227)
2. Шах С.М. (1971) «Смещенное отрицательное биномиальное распределение», Бюллетень статистической ассоциации Калькутты, 20, 143–152
3. Hess, Klaus Th .; Анетт Левальд; Клаус Д. Шмидт (2002). "Расширение рекурсии Панджера" (PDF). Бюллетень АСТИН. 32 (2): 283–297. Дои:10.2143 / AST.32.2.1030. МИСТЕР  1942940. Zbl  1098.91540.
4. Уиллмот, Гордон (1988). "Семейство дискретных распределений Сундта и Джуэлла" (PDF). Бюллетень АСТИН. 18 (1): 17–29. Дои:10.2143 / AST.18.1.2014957.
5. Гербер, Ханс У. (1992). «От обобщенной гаммы к обобщенному отрицательному биномиальному распределению». Страхование: математика и экономика. 10 (4): 303–309. Дои:10.1016 / 0167-6687 (92) 90061-Ф. ISSN  0167-6687. МИСТЕР  1172687. Zbl  0743.62014.