Матричное t-распределение - Matrix t-distribution

Матрица т

Обозначение	${\displaystyle {\rm {T}}_{n,p}(\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$
Параметры	${\displaystyle \mathbf {M} }$ место расположения (настоящий ${\displaystyle n\times p}$ матрица ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${\displaystyle p\times p}$ матрица ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${\displaystyle n\times n}$ матрица ) ${\displaystyle \nu }$ степени свободы
Поддерживать	${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}}$
CDF	Нет аналитического выражения
Иметь в виду	${\displaystyle \mathbf {M} }$ если ${\displaystyle \nu +p-n>1}$, иначе undefined
Режим	${\displaystyle \mathbf {M} }$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}}{\nu -2}}}$ если ${\displaystyle \nu >2}$, иначе undefined
CF	Смотри ниже

В статистика, то матрица т-распределение (или же матрица варьируется т-распределение) является обобщением многомерный т-распределение от векторов к матрицы.^[1] Матрица т-распределение имеет те же отношения с многомерным т-распределение, которое матричное нормальное распределение делится с многомерное нормальное распределение.^{[требуется разъяснение ]} Например, матрица т-распределение составное распределение который является результатом выборки из нормального распределения матрицы, в результате которой ковариационная матрица нормальной матрицы была выбрана из обратное распределение Уишарта.^{[нужна цитата ]}

В Байесовский анализ из многомерная линейная регрессия модель на основе нормального распределения матрицы, матрица т-распределение апостериорное прогнозирующее распределение.

Определение

Для матрицы т-распределение, функция плотности вероятности в момент ${\displaystyle \mathbf {X} }$ из ${\displaystyle n\times p}$ пространство

${\displaystyle f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},}$

где постоянная интегрирования K дан кем-то

${\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.}$

Здесь ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ это многомерная гамма-функция.

В характеристическая функция и различные другие свойства могут быть получены из обобщенной матрицы т-распространение (см. ниже).

Обобщенная матрица т-распределение

Обобщенная матрица t

Обозначение	${\displaystyle {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$
Параметры	${\displaystyle \mathbf {M} }$ место расположения (настоящий ${\displaystyle n\times p}$ матрица ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${\displaystyle p\times p}$ матрица ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ шкала (положительно определенный настоящий ${\displaystyle n\times n}$ матрица ) ${\displaystyle \alpha >(p-1)/2}$ параметр формы ${\displaystyle \beta >0}$ параметр масштаба
Поддерживать	${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}(\alpha )}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \times \left|\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-(\alpha +n/2)}}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ это многомерная гамма-функция.
CDF	Нет аналитического выражения
Иметь в виду	${\displaystyle \mathbf {M} }$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {2({\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }})}{\beta (2\alpha -p-1)}}}$
CF	Смотри ниже

В обобщенная матрица т-распределение является обобщением матрицы т-распределение с двумя параметрами α и β на месте ν.^[2]

Это сводится к стандартной матрице т-распространение с ${\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.}$

Обобщенная матрица т-распределение составное распределение что является результатом бесконечного смесь матричного нормального распределения с обратное многомерное гамма-распределение помещается над любой из его ковариационных матриц.

Характеристики

Если ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$ тогда^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

Указанное выше свойство исходит от Теорема сильвестра о детерминанте:

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=}$

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).}$

Если ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$ и ${\displaystyle \mathbf {A} (n\times n)}$ и ${\displaystyle \mathbf {B} (p\times p)}$ находятся невырожденные матрицы тогда^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}$

В характеристическая функция является^[2]

${\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),}$

куда

${\displaystyle B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}$

и где ${\displaystyle B_{\delta }}$ это второй тип Функция Бесселя Герца^{[требуется разъяснение ]} матричного аргумента.

Смотрите также

• Многомерный т-распределение
• Матричное нормальное распределение

Примечания

1. Чжу, Шэнхуо, Кай Ю и Ихонг Гун (2007). "Прогнозирующая матрица-переменная т Модели ». В J. C. Platt, D. Koller, Y. Singer и S. Roweis, редакторах, NIPS '07: Достижения в системах обработки нейронной информации 20, страницы 1721–1728. MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 2008. Обозначения немного изменены в этой статье для согласования с матричное нормальное распределение статья.
2. Иранманеш, Анис, М. Араши и С. М. Табатабаей (2010). "Об условных приложениях нормального распределения матричной переменной". Иранский журнал математических наук и информатики, 5: 2, стр. 33–43.

внешняя ссылка

• Библиотека C ++ для генератора случайных матриц