Параметр местоположения - Location parameter

В статистика, а параметр местоположения из распределение вероятностей является скалярным или векторным параметр ${displaystyle x_{0}}$, который определяет «местоположение» или сдвиг распределения. В литературе, посвященной оценке параметров местоположения, обнаружено, что распределения вероятностей с таким параметром формально определяются одним из следующих эквивалентных способов:

• либо как имеющий функция плотности вероятности или же функция массы вероятности ${displaystyle f(x-x_{0})}$^[1]; или же
• иметь кумулятивная функция распределения ${displaystyle F(x-x_{0})}$^[2]; или же
• определяется как результат преобразования случайной величины ${displaystyle x_{0}+X}$, куда ${displaystyle X}$ случайная величина с некоторым, возможно, неизвестным распределением^[3] (Смотрите также #Additive_noise ).

Прямым примером параметра местоположения является параметр ${displaystyle mu }$ из нормальное распределение. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что п.п.ф. (функция плотности вероятности) ${displaystyle f(x|mu ,sigma )}$ нормального распределения ${displaystyle {mathcal {N}}(mu ,sigma ^{2})}$ может иметь параметр ${displaystyle mu }$ исключить и записать как:

${displaystyle g(y-mu |sigma )={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}e^{-{frac {1}{2}}left({frac {y}{sigma }}ight)^{2}}}$

таким образом выполняя первое из приведенных выше определений.

Приведенное выше определение указывает в одномерном случае, что если ${displaystyle x_{0}}$ увеличивается, плотность вероятности или функция масс жестко смещается вправо, сохраняя свою точную форму.

Параметр местоположения также можно найти в семьях, имеющих более одного параметра, например семьи в масштабе местоположения. В этом случае функция плотности вероятности или функция массы вероятности будет частным случаем более общего вида

${displaystyle f_{x_{0}, heta }(x)=f_{ heta }(x-x_{0})}$

куда ${displaystyle x_{0}}$ параметр местоположения, θ представляет собой дополнительные параметры, а ${displaystyle f_{ heta }}$ - функция, параметризованная дополнительными параметрами.

Аддитивный шум

Альтернативный способ мышления о семьях местонахождения - это концепция аддитивный шум. Если ${displaystyle x_{0}}$ является константой и W случайно шум с плотностью вероятности ${displaystyle f_{W}(w),}$ тогда ${displaystyle X=x_{0}+W}$ имеет плотность вероятности ${displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$ поэтому его распространение является частью семейства местоположений.

Доказательства

Для непрерывного одномерного случая рассмотрим функцию плотности вероятности ${displaystyle f(x| heta ),xin [a,b]subset mathbb {R} }$, куда ${displaystyle heta }$ - вектор параметров. Параметр местоположения ${displaystyle x_{0}}$ можно добавить, определив:

${displaystyle g(x| heta ,x_{0})=f(x-x_{0}| heta ),;xin [a-x_{0},b-x_{0}]}$

можно доказать, что ${displaystyle g}$ это п.о.ф. проверив, соблюдает ли он два условия^[4] ${displaystyle g(x| heta ,x_{0})geq 0}$ и ${displaystyle int _{-infty }^{infty }g(x| heta ,x_{0})dx=1}$. ${displaystyle g}$ интегрируется в 1, потому что:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }g(x| heta ,x_{0})dx=int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x| heta ,x_{0})dx=int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}| heta )dx}$

теперь меняем переменную ${displaystyle u=x-x_{0}}$ и обновление интервала интегрирования соответственно дает:

${displaystyle int _{a}^{b}f(u| heta )du=1}$

потому что ${displaystyle f(x| heta )}$ это п.о.ф. по гипотезе. ${displaystyle g(x| heta ,x_{0})geq 0}$ следует из ${displaystyle g}$ разделяя одно и то же изображение ${displaystyle f}$, который является п.о.ф. так что его изображение содержится в ${displaystyle [0,1]}$.

Смотрите также

• Основная тенденция
• Тест местоположения
• Инвариантная оценка
• Масштабный параметр
• Двухоментные модели принятия решений

Рекомендации

1. Такеучи, Кей (1971). «Равномерно асимптотически эффективная оценка параметра местоположения». Журнал Американской статистической ассоциации. 66 (334): 292–301.
2. Хубер, Питер Дж. (1992). «Робастная оценка параметра местоположения». Прорывы в статистике. Спрингер: 492–518.
3. Стоун, Чарльз Дж. (1975). "Адаптивные оценки максимального правдоподобия параметра местоположения". Анналы статистики. 3 (2): 267–284.
4. Росс, Шелдон (2010). Введение в вероятностные модели. Амстердам Бостон: Academic Press. ISBN  978-0-12-375686-2. OCLC  444116127.