Основное количество - Pivotal quantity

В статистика, а основное количество или же вращаться является функцией наблюдений и ненаблюдаемых параметров, так что функция распределение вероятностей не зависит от неизвестного параметры (включая мешающие параметры ).^[1] Опорная величина не обязательно должна быть статистика - функция и ее ценить может зависеть от параметров модели, но ее распределение не должен. Если это статистика, то она называется вспомогательная статистика.

Более формально^[2] позволять ${displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n})}$ быть случайной выборкой из распределения, которое зависит от параметра (или вектора параметров) ${displaystyle heta}$ . Позволять ${displaystyle g (X, heta)}$ случайная величина, распределение которой одинаково для всех ${displaystyle heta}$ . потом ${displaystyle g}$ называется основное количество (или просто вращаться).

Основные количества обычно используются для нормализация чтобы можно было сравнивать данные из разных наборов данных. Относительно легко построить точки поворота для параметров местоположения и масштабирования: для первых мы формируем различия, чтобы местоположение отменялось, для последних отношений, чтобы масштаб отменялся.

Основные величины имеют фундаментальное значение для построения статистика тестов, так как позволяют статистике не зависеть от параметров - например, T-статистика Стьюдента для нормального распределения с неизвестной дисперсией (и средним). Они также предоставляют один метод построения доверительные интервалы, а использование основных величин улучшает производительность бутстрап. В форме вспомогательной статистики их можно использовать для построения частотных интервалы прогноза (прогнозные доверительные интервалы).

Примеры

Нормальное распределение

Одна из самых простых основных величин - это z-оценка; учитывая нормальное распределение со средним ${displaystyle mu}$ и дисперсия ${displaystyle sigma ^ {2}}$ , и наблюдение Икс, z-оценка:

{displaystyle z = {frac {x-mu} {sigma}},}

имеет распространение ${displaystyle N (0,1)}$ - нормальное распределение со средним 0 и дисперсией 1. Аналогично, поскольку п-sample выборочное среднее имеет выборочное распределение ${displaystyle N (mu, sigma ^ {2} / n),}$ z-оценка среднего

{displaystyle z = {frac {{overline {X}} - mu} {sigma / {sqrt {n}}}}}

также имеет распространение ${displaystyle N (0,1).}$ Обратите внимание, что хотя эти функции зависят от параметров - и, следовательно, их можно вычислить, только если параметры известны (они не являются статистикой), - распределение не зависит от параметров.

Данный ${displaystyle n}$ независимые, одинаково распределенные (i.i.d.) наблюдения ${displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {n})}$ от нормальное распределение с неизвестным средним ${displaystyle mu}$ и дисперсия ${displaystyle sigma ^ {2}}$ , ключевую величину можно получить из функции:

{displaystyle g (x, X) = {sqrt {n}} {frac {x- {overline {X}}} {s}}}

куда

{displaystyle {overline {X}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} {X_ {i}}}

и

{displaystyle s ^ {2} = {frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} {(X_ {i} - {overline {X}}) ^ {2}}}

объективные оценки ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle sigma ^ {2}}$ , соответственно. Функция ${displaystyle g (x, X)}$ это T-статистика Стьюдента для нового значения ${displaystyle x}$ , чтобы быть взятой из той же совокупности, что и уже наблюдаемый набор значений ${displaystyle X}$ .

С помощью ${displaystyle x = mu}$ функция ${displaystyle g (mu, X)}$ становится ключевой величиной, которая также распределяется Распределение Стьюдента с ${displaystyle u = n-1}$ степени свободы. По мере необходимости, хотя ${displaystyle mu}$ появляется как аргумент функции ${displaystyle g}$ , распределение ${displaystyle g (mu, X)}$ не зависит от параметров ${displaystyle mu}$ или же ${displaystyle sigma}$ нормального распределения вероятностей, которое управляет наблюдениями ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ .

Это можно использовать для вычисления интервал прогноза для следующего наблюдения ${displaystyle X_ {n + 1};}$ видеть Интервал прогноза: нормальное распределение.

Двумерное нормальное распределение

В более сложных случаях построить точные опоры невозможно. Однако наличие приблизительных точек поворота улучшает сходимость к асимптотическая нормальность.

Допустим, образец размером ${displaystyle n}$ векторов ${displaystyle (X_ {i}, Y_ {i}) '}$ берется из двумерной нормальное распределение с неизвестным корреляция ${displaystyle ho}$ .

Оценка ${displaystyle ho}$ - выборочная (Пирсоновская, моментная) корреляция

{displaystyle r = {frac {{frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {overline {X}}) (Y_ {i} - {overline) {Y}})} {s_ {X} s_ {Y}}}}

куда ${displaystyle s_ {X} ^ {2}, s_ {Y} ^ {2}}$ находятся выборочные отклонения из ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ . Статистика выборки ${displaystyle r}$ имеет асимптотически нормальное распределение:

{displaystyle {sqrt {n}} {frac {r-ho} {1-ho ^ {2}}} Стрелка вправо N (0,1)}

.

Однако преобразование, стабилизирующее дисперсию

{displaystyle z = {m {{tanh} ^ {- 1} r = {frac {1} {2}} ln {frac {1 + r} {1-r}}}}}

известный как Фишера z трансформация коэффициента корреляции позволяет построить распределение ${displaystyle z}$ асимптотически не зависит от неизвестных параметров:

{displaystyle {sqrt {n}} (z-zeta) Rightarrow N (0,1)}

куда ${displaystyle zeta = {m {tanh}} ^ {- 1} ho}$ - соответствующий параметр распределения. Для конечных размеров выборки ${displaystyle n}$ , случайная величина ${displaystyle z}$ будет иметь распределение ближе к нормальному, чем у ${displaystyle r}$ . Еще более близкое приближение к стандартному нормальному распределению получается при использовании лучшего приближения для точной дисперсии: обычная форма

{displaystyle operatorname {Var} (z) приблизительно {frac {1} {n-3}}.}

Надежность

С точки зрения надежная статистика, ключевые величины устойчивы к изменениям параметров - действительно, независимо от параметров - но в целом не устойчивы к изменениям в модели, таким как нарушения предположения о нормальности. Это фундаментально для надежной критики ненадежных статистических данных. , часто получаемые из основных величин: такая статистика может быть надежной внутри семейства, но не надежной вне ее.

Смотрите также

Нормализация (статистика)