Среднее арифметическое - Arithmetic mean

В математика и статистика, то среднее арифметическое (/ˌæрɪθˈмɛтɪkˈмяп/, ударение на первом и третьем слогах слова «арифметика») или просто иметь в виду или средний (когда контекст ясен), это сумма набора чисел, деленная на количество чисел в коллекции.^[1] Коллекция часто представляет собой набор результатов эксперимент или наблюдательное исследование, или часто набор результатов из опрос. Термин «среднее арифметическое» предпочтительнее в некоторых контекстах математики и статистики, поскольку он помогает отличить его от других. средства, такой как среднее геометрическое и гармоническое среднее.

Помимо математики и статистики, среднее арифметическое часто используется во многих различных областях, таких как экономика, антропология и история, и в той или иной степени он используется почти во всех академических областях. Например, доход на душу населения это средний арифметический доход населения страны.

Хотя среднее арифметическое часто используется для отчета центральные тенденции, это не надежная статистика, что означает, что на него сильно влияют выбросы (значения, которые намного больше или меньше большинства значений). В частности, для перекошенные распределения, такой как распределение доходов для которых доходы некоторых людей значительно превышают доходы большинства людей, среднее арифметическое может не совпадать с понятием «среднего» и надежной статистикой, такой как медиана, может дать лучшее описание центральной тенденции.

Определение

Учитывая набор данных ${displaystyle X = {x_ {1}, ldots, x_ {n}}}$ , то среднее арифметическое (или же иметь в виду или же средний), обозначенный ${displaystyle {ar {x}}}$ ^[2] (читать ${displaystyle x}$ бар), - среднее значение ${displaystyle n}$ значения ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ .^[3]

Среднее арифметическое - это наиболее часто используемый и понятный показатель центральной тенденции в наборе данных. В статистике термин средний относится к любому из показателей центральной тенденции. Среднее арифметическое набора наблюдаемых данных определяется как сумма числовых значений каждого и каждого наблюдения, деленная на общее количество наблюдений. Символически, если у нас есть набор данных, состоящий из значений ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}}$ , то среднее арифметическое ${displaystyle A}$ определяется формулой:

{displaystyle A = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = {frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} { n}}}

^[4]

(для объяснения оператор суммирования, видеть суммирование.)

Например, рассмотрим ежемесячную зарплату 10 сотрудников фирмы: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. Среднее арифметическое:

{displaystyle {frac {2500 + 2700 + 2400 + 2300 + 2550 + 2650 + 2750 + 2450 + 2600 + 2400} {10}} = 2530.}

Если набор данных статистическая совокупность (т.е. состоит из всех возможных наблюдений, а не только из их подмножества), то среднее значение этой совокупности называется Средняя численность населения, и обозначается Греческая буква ${displaystyle mu}$ .^[2] Если набор данных статистическая выборка (подмножество населения), то мы называем статистику, полученную в результате этого вычисления, выборочное среднее (что для набора данных ${displaystyle X}$ обозначается как ${displaystyle {overline {X}}}$ ^[2]).

Аналогично можно определить среднее арифметическое для векторов в нескольких измерениях, не только скаляр значения; это часто называют центроид. В более общем смысле, поскольку среднее арифметическое - это выпуклое сочетание (сумма коэффициентов равна 1), его можно определить на выпуклое пространство, а не только векторное пространство.

Мотивирующие свойства

Среднее арифметическое имеет несколько свойств, которые делают его полезным, особенно в качестве меры центральной тенденции. К ним относятся:

Если числа ${displaystyle x_ {1}, dotsc, x_ {n}}$ иметь в виду ${displaystyle {ar {x}}}$ , тогда ${displaystyle (x_ {1} - {ar {x}}) + dotsb + (x_ {n} - {ar {x}}) = 0}$ . С ${displaystyle x_ {i} - {ar {x}}}$ - это расстояние от данного числа до среднего, один из способов интерпретации этого свойства - сказать, что числа слева от среднего уравновешиваются числами справа от среднего. Среднее - это единственное число, для которого остатки (отклонения от оценки) суммируются до нуля.
Если требуется использовать одно число в качестве «типичного» значения для набора известных чисел ${displaystyle x_ {1}, dotsc, x_ {n}}$ , то среднее арифметическое чисел делает это лучше всего в смысле минимизации суммы квадратов отклонений от типичного значения: суммы ${displaystyle (x_ {i} - {ar {x}}) ^ {2}}$ . (Отсюда следует, что выборочное среднее также является лучшим предиктором в том смысле, что имеет наименьшее среднеквадратичная ошибка.)^[3] Если требуется среднее арифметическое совокупности чисел, то его оценка беспристрастный - среднее арифметическое для выборки, взятой из совокупности.

Контраст с медианой

Среднее арифметическое можно противопоставить медиана. Медиана определяется таким образом, что не более половины значений больше и не более половины меньше медианы. Если элементы в данных увеличивать арифметически, если они расположены в некотором порядке, то медиана и среднее арифметическое равны. Например, рассмотрим образец данных ${displaystyle {1,2,3,4}}$ . В среднем ${displaystyle 2.5}$ , как и медиана. Однако, когда мы рассматриваем выборку, которую нельзя расположить так, чтобы увеличиваться арифметически, например ${displaystyle {1,2,4,8,16}}$ , медиана и среднее арифметическое могут значительно отличаться. В этом случае среднее арифметическое составляет 6,2, а медиана - 4. В общем, среднее значение может значительно отличаться от большинства значений в выборке и может быть больше или меньше большинства из них.

У этого явления есть приложения во многих областях. Например, с 1980-х годов средний доход в США увеличивался медленнее, чем среднее арифметическое дохода.^[5]

Обобщения

Средневзвешенное

Средневзвешенное или средневзвешенное значение - это среднее значение, в котором одни точки данных имеют больший вес, чем другие, поскольку им придается больший вес в расчетах.^[6] Например, среднее арифметическое ${displaystyle 3}$ и ${displaystyle 5}$ является ${displaystyle {frac {(3 + 5)} {2}} = 4}$ , или эквивалентно ${displaystyle left ({frac {1} {2}} cdot 3ight) + left ({frac {1} {2}} cdot 5ight) = 4}$ . Напротив, взвешенный Среднее значение, при котором первое число получает, например, вдвое больший вес, чем второе (возможно, потому, что предполагается, что оно встречается в два раза чаще в генеральной совокупности, из которой были взяты эти числа), будет рассчитываться как ${displaystyle left ({frac {2} {3}} cdot 3ight) + left ({frac {1} {3}} cdot 5ight) = {frac {11} {3}}}$ . Здесь веса, сумма которых обязательно равна единице, равны ${displaystyle (2/3)}$ и ${displaystyle (1/3)}$ , причем первое вдвое больше последнего. Среднее арифметическое (иногда называемое «невзвешенным средним» или «равновзвешенным средним») можно интерпретировать как частный случай средневзвешенного значения, в котором все веса равны друг другу (равны ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ в приведенном выше примере и равно ${displaystyle {frac {1} {n}}}$ в ситуации с ${displaystyle n}$ числа усредняются).

Непрерывные распределения вероятностей

Сравнение двух логнормальные распределения с равным медиана, но разные перекос, в результате чего разные средства и режимы

Если числовое свойство и любая выборка данных из него могут принимать любое значение из непрерывного диапазона, а не, например, только целые числа, тогда вероятность числа, попадающего в некоторый диапазон возможных значений, можно описать интегрированием непрерывное распределение вероятностей в этом диапазоне, даже когда наивная вероятность для номера выборки, выбирающего одно определенное значение из бесконечного множества, равна нулю. Аналог средневзвешенного значения в этом контексте, в котором существует бесконечное количество возможностей для точного значения переменной в каждом диапазоне, называется среднее значение распределения вероятностей. Наиболее распространенное распределение вероятностей называется нормальное распределение; он обладает тем свойством, что все меры его центральной тенденции, включая не только среднее значение, но также вышеупомянутую медиану и Режим (три М^[7]), равны между собой. Это равенство не выполняется для других распределений вероятностей, как показано для логнормальное распределение здесь.

Углы

Особую осторожность следует проявлять при использовании циклических данных, таких как фазы или углы. Наивное взятие среднего арифметического 1 ° и 359 ° дает результат 180 °. Это неверно по двум причинам:

Во-первых, угловые измерения определяются только до аддитивной постоянной 360° (или 2π, если измерения в радианы ). Таким образом, можно было бы легко назвать эти 1 ° и -1 ° или 361 ° и 719 °, поскольку каждый из них дает различное среднее значение.
Во-вторых, в этой ситуации 0 ° (то есть 360 °) геометрически лучше. средний значение: ниже разброс о нем (точки находятся на расстоянии 1 ° от него и 179 ° от 180 °, предполагаемое среднее значение).

В общем случае такая оплошность приведет к искусственному смещению среднего значения к середине числового диапазона. Решение этой проблемы - использовать формулировку оптимизации (а именно, определите среднее значение как центральную точку: точку, относительно которой одна из них имеет наименьшую дисперсию) и переопределите разницу как модульное расстояние (т. е. расстояние по окружности: так, модульное расстояние между 1 ° и 359 ° равно 2 ° , а не 358 °).

Доказательство без слов из неравенство средних арифметических и геометрических:
PR - диаметр круга с центром в точке O; его радиус AO равен среднее арифметическое из а и б. С использованием теорема о среднем геометрическом, треугольник PGR высота GQ - это среднее геометрическое. Для любого соотношения а:б, АО ≥ GQ.

Символы и кодировка

Среднее арифметическое часто обозначается чертой, например, как в ${displaystyle {ar {x}}}$ (читать ${displaystyle x}$ бар).^[2]^[3]

Некоторое программное обеспечение (текстовые процессоры, веб-браузеры ) может неправильно отображать символ x. Например, символ x в HTML на самом деле представляет собой комбинацию двух кодов - базовой буквы x и кода строки выше (& # 772; или ¯).^[8]

В некоторых текстах, например PDF-файлы, символ x можно заменить на цент (¢) символ (Unicode & # 162), при копировании в текстовый процессор, например Microsoft Word.

Смотрите также

Геометрический доказательство без слов который Максимум (а,б) > среднее квадратичное или же среднеквадратичное значение (QM) > среднее арифметическое (ЯВЛЯЮСЬ) > среднее геометрическое (GM) > гармоническое среднее (HM) > мин (а,б) двух положительных чисел а и б ^[9]

дальнейшее чтение

Хафф, Даррелл (1993). Как лгать со статистикой. W. W. Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.

внешняя ссылка

[1] Джейкобс, Гарольд Р. (1994). Математика: человеческое начало (Третье изд.). В. Х. Фриман. п. 547. ISBN 0-7167-2426-X.

[:0-2] а ^б ^c ^d «Список вероятностных и статистических символов». Математическое хранилище. 26 апреля 2020 г.. Получено 21 августа 2020.

[JM-3] а ^б ^c Медхи, Джйотипрасад (1992). Статистические методы: вводный текст. New Age International. С. 53–58. ISBN 9788122404197.

[4] Вайсштейн, Эрик В. "Среднее арифметическое". mathworld.wolfram.com. Получено 21 августа 2020.

[5] Кругман, Пол (4 июня 2014 г.) [осень 1992 г.]. «Богатые, правые и факты: анализ спора о распределении доходов». Американский проспект.

[6] "Среднее | математика". Энциклопедия Британника. Получено 21 августа 2020.

[ThreeMs-7] Визуальный тезаурус Thinkmap (30 июня 2010 г.). «Три M статистики: мода, медиана, среднее значение, 30 июня 2010 г.». www.visualthesaurus.com. Получено 3 декабря 2018.

[8] «Примечания по Unicode для символов статистики». www.personal.psu.edu. Получено 14 октября 2018.

[9] Если AC = а и BC = б. OC = ЯВЛЯЮСЬ из а и б, и радиус р = QO = OG.
С помощью Теорема Пифагора, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² - OG² = GM.
С помощью похожие треугольники, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]