Средний - Average

В разговорный язык, средний - одно число, используемое в качестве представителя списка чисел. В разных контекстах используются разные концепции среднего. Часто «средний» относится к среднее арифметическое, сумма чисел, деленная на количество усредняемых чисел. В статистика, значить, медиана, и Режим все известны как меры из Главная тенденция, и в разговорной речи любой из них можно было бы назвать Средняя стоимость.

Расчет

Пифагорей означает

Среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое вместе известны как пифагорейские средние.

Среднее арифметическое

Самый распространенный тип среднего - это среднее арифметическое. Если п даны числа, каждое число обозначено а_я (где я = 1,2, ..., п), среднее арифметическое - это сумма из аs делится на п или

{ displaystyle { text {AM}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = { frac {a_ {1} + a_ {2 } + cdots + a_ {n}} {n}}}

Среднее арифметическое, часто называемое просто средним двух чисел, таких как 2 и 8, получается путем нахождения такого значения A, что 2 + 8 = A + A. Можно обнаружить, что А = (2 + 8) / 2 = 5. Переключение порядка 2 и 8 на 8 и 2 не изменяет результирующее значение, полученное для A. Среднее значение 5 не меньше минимального 2 и не больше максимального 8. Если мы увеличим количество терминов в списке до 2, 8 и 11, среднее арифметическое будет найдено путем решения значения А в уравнении 2 + 8 + 11 =А + А + А. Считается, что А = (2 + 8 + 11)/3 = 7.

Среднее геометрическое

В среднее геометрическое из п положительные числа получаются путем их все вместе, а затем взятия пй корень. В алгебраических терминах среднее геометрическое а₁, а₂, ..., а_п определяется как

{ displaystyle { text {GM}} = { sqrt [{n}] { prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}} = { sqrt [{n}] {a_ { 1} a_ {2} cdots a_ {n}}}}

Среднее геометрическое можно рассматривать как антилогарифм среднего арифметического журналы номеров.

Пример: среднее геометрическое 2 и 8 равно ${ displaystyle { text {GM}} = { sqrt {2 cdot 8}} = 4}$

Гармоническое среднее

Гармоническое среднее для непустого набора чисел а₁, а₂, ..., а_п, все отличные от 0, определяется как взаимный среднего арифметического обратных величин а_я's:

{ displaystyle { text {HM}} = { frac {1} {{ dfrac {1} {n}} displaystyle sum limits _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {a_ {i}}}}} = { frac {n} {{ frac {1} {a_ {1}}} + { frac {1} {a_ {2}}} + cdots + { гидроразрыв {1} {a_ {n}}}}}}

Одним из примеров использования гармонического среднего является исследование скорости для ряда поездок на фиксированное расстояние. Например, если скорость движения из точки А к B составляла 60 км / ч, а скорость возврата из B к А составляла 40 км / ч, тогда гармоническая средняя скорость определяется как

{ displaystyle { frac {2} {{ frac {1} {60}} + { frac {1} {40}}}} = 48}

Неравенство относительно AM, GM и HM

Хорошо известное неравенство относительно средних арифметических, геометрических и гармонических для любого набора положительных чисел:

{ displaystyle { text {AM}} geq { text {GM}} geq { text {HM}}}

(Алфавитный порядок букв А, г, и ЧАС сохраняется в неравенстве.) См. Неравенство средних арифметических и геометрических.

Таким образом, для приведенного выше примера среднего гармонического сигнала: AM = 50, GM ≈ 49 и HM = 48 км / ч.

Статистическое местоположение

В Режим, то медиана, а средний диапазон часто используются в дополнение к значить как оценки Главная тенденция в описательная статистика. Все это в какой-то мере можно рассматривать как минимизирующие вариации; увидеть Центральная тенденция § Решения вариационных задач.

Сравнение обычных средних значений {1, 2, 2, 3, 4, 7, 9}
Тип	Описание	пример	Результат
Среднее арифметическое	Сумма значений набора данных, деленная на количество значений: ${ displaystyle scriptstyle { bar {x}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
Медиана	Среднее значение, разделяющее большую и меньшую половины набора данных	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
Режим	Наиболее частое значение в наборе данных	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2
Средний диапазон	Среднее арифметическое наибольшее и наименьшее значения набора	(1+9) / 2	5

Режим

Сравнение среднее арифметическое, медиана и Режим из двух логнормальные распределения с разными перекос

Номер, который чаще всего встречается в списке, называется режимом. Например, режим списка (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) - 3. Может случиться так, что есть два или более чисел, которые встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое число. В этом случае нет согласованного определения режима. Некоторые авторы говорят, что это все режимы, а некоторые говорят, что режима нет.

Медиана

Медиана - это средний номер группы, когда они ранжируются по порядку. (Если имеется четное количество чисел, берется среднее из двух средних.)

Таким образом, чтобы найти медиану, упорядочьте список в соответствии с величиной его элементов, а затем несколько раз удаляйте пару, состоящую из самого высокого и самого низкого значений, пока не останется одно или два значения. Если осталось ровно одно значение, это медиана; если два значения, медиана - это среднее арифметическое этих двух. Этот метод берет список 1, 7, 3, 13 и приказывает ему прочитать 1, 3, 7, 13. Затем 1 и 13 удаляются, чтобы получить список 3, 7. Поскольку в этом оставшемся списке есть два элемента, медиана - это их среднее арифметическое, (3 + 7) / 2 = 5.

Средний диапазон

Средний диапазон - это среднее арифметическое самого высокого и самого низкого значений набора.

Сводка типов

имя	Уравнение или описание
Среднее арифметическое	${ displaystyle { bar {x}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = { frac {1} {n}} (x_ {1} + cdots + x_ {n})}$
Медиана	Среднее значение, отделяющее верхнюю половину от нижней половины набора данных.
Геометрическая медиана	А вращение инвариантный расширение медиана для точек в R^п
Режим	Наиболее частое значение в наборе данных
Среднее геометрическое	${ displaystyle { sqrt [{n}] { prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}} = { sqrt [{n}] {x_ {1} cdot x_ {2}) dotsb x_ {n}}}}$
Гармоническое среднее	${ Displaystyle { frac {n} {{ frac {1} {x_ {1}}} + { frac {1} {x_ {2}}} + cdots + { frac {1} {x_ { n}}}}}}$
Квадратичное среднее (или RMS)	${ displaystyle { sqrt {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}} = { sqrt {{ frac {1}) {n}} left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} right)}}}$
Кубическое среднее	${ displaystyle { sqrt [{3}] {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {3}}} = { sqrt [{ 3}] {{ frac {1} {n}} left (x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + cdots + x_ {n} ^ {3} right)} }}$
Обобщенное среднее	${ displaystyle { sqrt [{p}] {{ frac {1} {n}} cdot sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {p}}}}$
Средневзвешенное значение	${ displaystyle { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}} = { гидроразрыв {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + cdots + w_ {n} x_ {n}} {w_ {1} + w_ {2} + cdots + w_ {n} }}}$
Усеченное среднее	Среднее арифметическое значений данных после отбрасывания определенного количества или пропорции наивысшего и наименьшего значений данных
Межквартильное среднее	Частный случай усеченного среднего с использованием межквартильный размах. Частный случай интерквантильного усеченного среднего, который работает с квантилями (часто децилями или процентилями), которые равноудалены, но находятся по разные стороны от медианы.
Средний диапазон	${ displaystyle { frac {1} {2}} left ( max x + min x right)}$
Winsorized среднее	Подобно усеченному среднему, но вместо удаления крайних значений они устанавливаются равными наибольшему и наименьшему оставшимся значениям.

В таблица математических символов объясняет символы, используемые ниже.

Разные типы

Другие более сложные средние значения: Trimean, тримедиан, и нормализованное среднее, с их обобщениями.^[1]

Можно создать собственную среднюю метрику, используя обобщенный ж-значить:

{ displaystyle y = f ^ {- 1} left ({ frac {1} {n}} left [f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + cdots + f (x_ { n}) right] right)}

где ж - любая обратимая функция. Гармоническое среднее является примером этого с использованием ж(Икс) = 1/Икс, а среднее геометрическое - другое, используя ж(Икс) = журналИкс.

Однако этот метод генерации средних не является достаточно общим, чтобы охватить все средние значения. Более общий метод^[2] для определения среднего значения принимает любую функцию г(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) списка аргументов, который непрерывный, строго возрастающий в каждом аргументе и симметричный (инвариантный относительно перестановка аргументов). Среднее у - тогда значение, которое при замене каждого члена списка приводит к тому же значению функции: г(у, у, ..., у) = г(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п). Это наиболее общее определение по-прежнему отражает важное свойство всех средних значений: среднее значение списка идентичных элементов - это сам этот элемент. Функция г(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) = Икс₁+Икс₂+ ··· + Икс_п обеспечивает среднее арифметическое. Функция г(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) = Икс₁Икс₂···Икс_п (где элементы списка - положительные числа) обеспечивает среднее геометрическое. Функция г(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) = −(Икс₁⁻¹+Икс₂⁻¹+ ··· + Икс_п⁻¹) (где элементы списка - положительные числа) обеспечивает гармоническое среднее значение.^[2]

Средняя процентная доходность и CAGR

Тип среднего, используемый в финансах, - это средняя процентная доходность. Это пример среднего геометрического. Когда доходность является годовой, она называется среднегодовым темпом роста (CAGR). Например, если мы рассматриваем период в два года, и доходность инвестиций в первый год составляет -10%, а доходность во втором году составляет + 60%, тогда средняя процентная доходность или CAGR, р, можно получить, решив уравнение: (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + р) × (1 + р). Значение р что делает это уравнение истинным, составляет 0,2, или 20%. Это означает, что общая прибыль за двухлетний период такая же, как если бы рост составлял 20% каждый год. Порядок лет не имеет значения - средняя процентная доходность + 60% и -10% - это тот же результат, что и для -10% и + 60%.

Этот метод можно обобщить на примеры, в которых периоды не равны. Например, рассмотрим период в полгода, для которого доходность составляет -23%, и период в два с половиной года, для которого доходность составляет + 13%. Средняя процентная доходность за комбинированный период - это доходность за один год, р, то есть решение следующего уравнения: (1 − 0.23)^0.5 × (1 + 0.13)^2.5 = (1 + р)^0.5+2.5, давая среднюю доходность р 0,0600 или 6,00%.

Скользящее среднее

Учитывая Временные ряды например, дневные цены на фондовой бирже или годовые температуры, люди часто хотят создать более плавный ряд.^[3] Это помогает выявить основные тенденции или, возможно, периодическое поведение. Самый простой способ сделать это - скользящая средняя: каждый выбирает число п и создает новую серию, взяв среднее арифметическое первых п значений, затем продвигаясь вперед на одно место, отбрасывая самое старое значение и вводя новое значение на другом конце списка, и так далее. Это простейшая форма скользящей средней. Более сложные формы включают использование средневзвешенное. Взвешивание можно использовать для усиления или подавления различного периодического поведения, и в литературе по этой теме очень обширный анализ того, какие веса использовать. фильтрация. В цифровая обработка сигналов термин «скользящее среднее» используется даже тогда, когда сумма весов не равна 1,0 (поэтому выходной ряд является масштабированной версией средних значений).^[4] Причина этого в том, что аналитика обычно интересует только тренд или периодическое поведение.

История

Происхождение

Первый зарегистрированный раз, когда среднее арифметическое был расширен с 2 до n случаев для использования предварительный расчет был в шестнадцатом веке. Начиная с конца шестнадцатого века, он постепенно стал обычным методом для уменьшения ошибок измерения в различных областях.^[5]^[6] В то время астрономы хотели узнать реальное значение на основе шумных измерений, например положение планеты или диаметр луны. Используя среднее нескольких измеренных значений, ученые предположили, что ошибки составляют относительно небольшое число по сравнению с суммой всех измеренных значений. Метод взятия среднего значения для уменьшения ошибок наблюдений действительно получил развитие в астрономии.^[5]^[7] Возможным предшественником среднего арифметического является средний диапазон (среднее из двух крайних значений), используемое, например, в арабской астрономии девятого-одиннадцатого веков, а также в металлургии и навигации.^[6]

Однако существуют различные старые расплывчатые ссылки на использование среднего арифметического (которые не так ясны, но, возможно, имеют отношение к нашему современному определению среднего). В тексте 4-го века было написано, что (текст в квадратных скобках - это возможный недостающий текст, который может прояснить смысл):^[8]

В первую очередь, мы должны выложить в ряд последовательность чисел от монады до девяти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Затем мы должны сложить количество всех из них вместе, и поскольку строка содержит девять членов, мы должны искать девятую часть суммы, чтобы увидеть, присутствует ли она уже естественным образом среди чисел в строке; и мы обнаружим, что свойство быть [одной] девятой [суммы] принадлежит только самому [арифметическому] среднему ...

Существуют даже более старые потенциальные ссылки. Есть записи, что примерно с 700 г. до н.э. торговцы и грузоотправители соглашались, что ущерб, нанесенный грузу и кораблю (их «вклад» в случае повреждения морем), должен быть разделен поровну между собой.^[7] Это могло быть рассчитано с использованием среднего, хотя, похоже, нет прямой записи расчета.

Этимология

Корень встречается на арабском языке как عوار Тавар, дефект или что-либо дефектное или поврежденное, включая частично испорченный товар; и عواري Тавари (также عوارة Awāra) = "или относящиеся к Тавар, состояние частичной поломки ».^[9] В западных языках история этого слова начинается со средневековой морской торговли на Средиземном море. Генуэзская латынь 12 и 13 веков Авария означает «ущерб, убытки и необычные расходы, возникшие в связи с морским торговым рейсом»; и то же значение для Авария находится в Марселе в 1210 году, в Барселоне в 1258 году и во Флоренции в конце 13 века.^[10] Французский язык XV века авария имело то же значение, и оно породило английское «averay» (1491 г.) и английское «среднее» (1502 г.) с одинаковым значением. Сегодня итальянский Авария, Каталонский Авария и французский авария до сих пор имеют основное значение «повреждение». Огромная трансформация значения в английском языке началась с практики в более поздних средневековых и ранних современных западных договорах о торговом мореплавании, согласно которым, если судно попадет в сильный шторм, некоторые товары должны быть выброшены за борт, чтобы сделать судно легче и безопаснее тогда все купцы, чьи товары были на корабле, должны были пострадать пропорционально (а не чьи бы то ни было товары были выброшены за борт); и вообще должно было быть пропорциональное распределение любых Авария. Отсюда это слово было принято британскими страховщиками, кредиторами и торговцами для того, чтобы говорить о своих убытках как о распределении по всему их портфелю активов и о средней пропорции. Сегодняшнее значение возникло из этого, началось в середине 18 века и началось в английском языке.^[10] [1].

Морской ущерб либо конкретное среднее, который несет только владелец поврежденного имущества, или общее среднее, где владелец может потребовать пропорционального вклада всех сторон в морское предприятие. Тип расчетов, используемых при корректировке общего среднего, привел к использованию «среднего» для обозначения «среднего арифметического».

Второе употребление английского языка, задокументированное еще в 1674 году и иногда пишущееся как «авериш», - это остатки и второй рост полевых культур, которые считались пригодными для употребления в пищу. тягловые животные («аверс»).^[11]

Есть более раннее (по крайней мере, с 11 века) несвязанное использование этого слова. Похоже, это старый юридический термин для обозначения дневных трудовых обязательств арендатора перед шерифом, вероятно, англизированный от слова «avera», встречающегося в английском языке. Книга Страшного Суда (1085).

Оксфордский словарь английского языка, однако, говорит, что производные от немецкого Hafen гавань и арабский Кавар потеря, повреждение были «полностью уничтожены», и это слово имеет романское происхождение.^[12]

Средние значения как риторический инструмент

Из-за вышеупомянутой разговорной природы термина «среднее», этот термин можно использовать, чтобы скрыть истинное значение данных и предложить различные ответы на вопросы в зависимости от используемого метода усреднения (чаще всего - среднего арифметического, медианы или режима). В своей статье «В рамке для лжи: статистика как художественное доказательство» Питтсбургский университет преподаватель Даниэль Либертц комментирует, что по этой причине статистическая информация часто исключается из риторических аргументов.^[13] Однако из-за их убедительности, средние и другие статистические значения не следует полностью отбрасывать, а вместо этого использовать и интерпретировать с осторожностью. Либертц предлагает нам критически относиться не только к статистической информации, такой как средние значения, но и к языку, используемому для описания данных и их использования, говоря: «Если статистика полагается на интерпретацию, риторы должны приглашать свою аудиторию интерпретировать, а не настаивать на интерпретация ".^[13] Во многих случаях данные и конкретные расчеты предоставляются, чтобы облегчить эту интерпретацию на основе аудитории.

Смотрите также

использованная литература

^ Мериго, Хосе М .; Канановас, Монтсеррат (2009). «Обобщенный гибридный оператор усреднения и его применение при принятии решений». Журнал количественных методов экономики и делового администрирования. 9: 69–84. ISSN 1886-516X.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
^ ^а ^б Бибби, Джон (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей». Математический журнал Глазго. 15: 63–65. Дои:10.1017 / s0017089500002135.
^ Box, George E.P .; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (переработанная ред.). Холден-Дэй. ISBN 0816211043.
^ Хайкин, Саймон (1986). Теория адаптивного фильтра. Прентис-Холл. ISBN 0130040525.
^ ^а ^б Плакетт, Р. Л. (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: VII. Принцип среднего арифметического». Биометрика. 45 (1/2): 130–135. Дои:10.2307/2333051. JSTOR 2333051.
^ ^а ^б Эйзенхарт, Черчилль. «Развитие концепции наилучшего среднего из множества измерений от античности до наших дней». Неопубликованное обращение президента, Американская статистическая ассоциация, 131-е ежегодное собрание, Форт-Коллинз, Колорадо. 1971 г.
^ ^а ^б Баккер, Артур. «Ранняя история средних значений и значения для образования». Журнал статистики образования 11.1 (2003): 17-26.
^ "Уотерфилд, Робин." Богословие арифметики. "О мистическом, математическом и космологическом символизме числа первой десятки (1988). Стр. 70" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2018-11-27.
^ Средневековый арабский язык имел عور Awr что означает "слепой на один глаз" и عوار Тавар означало «любой дефект или что-либо дефектное или поврежденное». Некоторые средневековые арабские словари находятся на Baheth.info В архиве 2013-10-29 в Wayback Machine, а также перевод на английский того, что содержится в средневековых арабских словарях, в Переулок Арабско-английский лексикон, страницы 2193 и 2195. Средневековые словари не перечисляют словоформы عوارية Тавария. ʿАвария могут быть естественным образом образованы в арабской грамматике для обозначения вещей, которые имеют Тавар, но на практике в средневековых арабских текстах Тавария является редкостью или отсутствует, в то время как формы عواري Тавари и عوارة Awāra часто используются при упоминании вещей, которые Тавар или повреждение - это можно увидеть в доступной для поиска коллекции средневековых текстов на AlWaraq.net (ссылки на книги доступны с правой стороны).
^ ^а ^б Арабское происхождение Авария о нем впервые сообщил Рейнхарт Дози в 19 веке. Оригинальное резюме Дози находится в его книге 1869 года. Glossaire. Сводная информация о ранних записях слова на итальянско-латинском, итальянском, каталонском и французском языках находится по адресу авария @ CNRTL.fr В архиве 2019-01-06 в Wayback Machine. В морском порту Генуи находится самая ранняя известная запись на европейских языках, 1157 год. Набор средневековых латинских записей о Авария в Генуе находится в загружаемом лексиконе Vocabolario Ligure, Серхио Апросио, 2001 год, Авария в Томе 1 страницы 115-116. Многие другие записи на средневековой латыни в Генуе находятся на StoriaPatriaGenova.it, обычно во множественном числе avariis и аварии. В порту Марселя в 1-й половине 13 века в нотариально заверенных коммерческих договорах содержатся десятки экземпляров латинского языка. avariis (аблатив множественного числа от Авария), как опубликовано в Blancard год 1884. Некоторая информация об английском слове на протяжении веков находится на NED (1888 год). См. Также определение английского слова «средний» в английских словарях, опубликованных в начале 18 века, то есть в период времени, непосредственно предшествовавший большой трансформации значения: Словарь Керси-Филлипса (1706), Словарь Блаунта (издание 1707 г.), Словарь Хаттона (1712 г.), Словарь Бейли (1726), Словарь Мартина (1749 г.). Некоторые сложности, связанные с историей английского слова, обсуждаются в Хенсли Веджвуд, 1882 год, стр.11 и Уолтер Скит, 1888 год, стр.781. Сегодня существует консенсус, что: (№1) сегодняшний английский «средний» происходит от средневекового итальянского Авария, Каталонский Авария, и (# 2) у латинян слово Авария началось в 12 веке, и это началось как термин средиземноморской морской торговли, и (# 3) нет корня для Авария (# 4) значительное количество арабских слов появилось в итальянском, каталонском и провансальском языках в XII и XIII веках, начиная с терминов средиземноморской морской торговли, и (# 5) в арабском языке Awār | Тавари фонетически хорошо подходит для Авария, поскольку преобразование w в v было обычным в латинском и итальянском языках, и -ia - это суффикс в итальянском языке, и самые ранние записи западного слова находятся в итальянскоязычных регионах (письмо на латыни). И большинство комментаторов согласны с тем, что (# 6) арабский Awār | Тавари = "damage | related to damage" семантически подходит для Авария = «ущерб или убытки». Меньшинство комментаторов сомневается в этом на том основании, что ранние записи итальянско-латинского языка Авария в некоторых случаях имеют значение «расходы» в более общем смысле - см. TLIO (на итальянском). Большинство считает, что значение «расходы» было расширением от «ущерба и ущерба», и хронологический порядок значений в записях поддерживает эту точку зрения, а широкое значение «расходы» никогда не было наиболее распространенным. использованное значение. На основании вышеизложенного делается вывод о том, что латинское слово произошло или, вероятно, произошло от арабского слова.
^ Рэй, Джон (1674). Сборник английских слов, которые обычно не используются. Лондон: Х. Брюгге. Получено 18 мая 2015.
^ "средний, п.2". OED Online. Сентябрь 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (по состоянию на 05 сентября 2019 г.).
^ ^а ^б Либертц, Даниэль (31 декабря 2018 г.). "В рамке для лжи: статистика как неискушенный / художественное доказательство". "Res Rhetorica". 5 (4). Дои:10.29107 / rr2018.4.1. ISSN 2392-3113.

внешние ссылки

[1] Мериго, Хосе М .; Канановас, Монтсеррат (2009). «Обобщенный гибридный оператор усреднения и его применение при принятии решений». Журнал количественных методов экономики и делового администрирования. 9: 69–84. ISSN 1886-516X.^{[постоянная мертвая ссылка ]}

[Bibby-2] а ^б Бибби, Джон (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей». Математический журнал Глазго. 15: 63–65. Дои:10.1017 / s0017089500002135.

[3] Box, George E.P .; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (переработанная ред.). Холден-Дэй. ISBN 0816211043.

[4] Хайкин, Саймон (1986). Теория адаптивного фильтра. Прентис-Холл. ISBN 0130040525.

[ReferenceA-5] а ^б Плакетт, Р. Л. (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: VII. Принцип среднего арифметического». Биометрика. 45 (1/2): 130–135. Дои:10.2307/2333051. JSTOR 2333051.

[york.ac.uk-6] а ^б Эйзенхарт, Черчилль. «Развитие концепции наилучшего среднего из множества измерений от античности до наших дней». Неопубликованное обращение президента, Американская статистическая ассоциация, 131-е ежегодное собрание, Форт-Коллинз, Колорадо. 1971 г.

[amstatbakker-7] а ^б Баккер, Артур. «Ранняя история средних значений и значения для образования». Журнал статистики образования 11.1 (2003): 17-26.

[8] "Уотерфилд, Робин." Богословие арифметики. "О мистическом, математическом и космологическом символизме числа первой десятки (1988). Стр. 70" (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2018-11-27.

[9] Средневековый арабский язык имел عور Awr что означает "слепой на один глаз" и عوار Тавар означало «любой дефект или что-либо дефектное или поврежденное». Некоторые средневековые арабские словари находятся на Baheth.info В архиве 2013-10-29 в Wayback Machine, а также перевод на английский того, что содержится в средневековых арабских словарях, в Переулок Арабско-английский лексикон, страницы 2193 и 2195. Средневековые словари не перечисляют словоформы عوارية Тавария. ʿАвария могут быть естественным образом образованы в арабской грамматике для обозначения вещей, которые имеют Тавар, но на практике в средневековых арабских текстах Тавария является редкостью или отсутствует, в то время как формы عواري Тавари и عوارة Awāra часто используются при упоминании вещей, которые Тавар или повреждение - это можно увидеть в доступной для поиска коллекции средневековых текстов на AlWaraq.net (ссылки на книги доступны с правой стороны).

[Avaria-10] а ^б Арабское происхождение Авария о нем впервые сообщил Рейнхарт Дози в 19 веке. Оригинальное резюме Дози находится в его книге 1869 года. Glossaire. Сводная информация о ранних записях слова на итальянско-латинском, итальянском, каталонском и французском языках находится по адресу авария @ CNRTL.fr В архиве 2019-01-06 в Wayback Machine. В морском порту Генуи находится самая ранняя известная запись на европейских языках, 1157 год. Набор средневековых латинских записей о Авария в Генуе находится в загружаемом лексиконе Vocabolario Ligure, Серхио Апросио, 2001 год, Авария в Томе 1 страницы 115-116. Многие другие записи на средневековой латыни в Генуе находятся на StoriaPatriaGenova.it, обычно во множественном числе avariis и аварии. В порту Марселя в 1-й половине 13 века в нотариально заверенных коммерческих договорах содержатся десятки экземпляров латинского языка. avariis (аблатив множественного числа от Авария), как опубликовано в Blancard год 1884. Некоторая информация об английском слове на протяжении веков находится на NED (1888 год). См. Также определение английского слова «средний» в английских словарях, опубликованных в начале 18 века, то есть в период времени, непосредственно предшествовавший большой трансформации значения: Словарь Керси-Филлипса (1706), Словарь Блаунта (издание 1707 г.), Словарь Хаттона (1712 г.), Словарь Бейли (1726), Словарь Мартина (1749 г.). Некоторые сложности, связанные с историей английского слова, обсуждаются в Хенсли Веджвуд, 1882 год, стр.11 и Уолтер Скит, 1888 год, стр.781. Сегодня существует консенсус, что: (№1) сегодняшний английский «средний» происходит от средневекового итальянского Авария, Каталонский Авария, и (# 2) у латинян слово Авария началось в 12 веке, и это началось как термин средиземноморской морской торговли, и (# 3) нет корня для Авария (# 4) значительное количество арабских слов появилось в итальянском, каталонском и провансальском языках в XII и XIII веках, начиная с терминов средиземноморской морской торговли, и (# 5) в арабском языке Awār | Тавари фонетически хорошо подходит для Авария, поскольку преобразование w в v было обычным в латинском и итальянском языках, и -ia - это суффикс в итальянском языке, и самые ранние записи западного слова находятся в итальянскоязычных регионах (письмо на латыни). И большинство комментаторов согласны с тем, что (# 6) арабский Awār | Тавари = "damage | related to damage" семантически подходит для Авария = «ущерб или убытки». Меньшинство комментаторов сомневается в этом на том основании, что ранние записи итальянско-латинского языка Авария в некоторых случаях имеют значение «расходы» в более общем смысле - см. TLIO (на итальянском). Большинство считает, что значение «расходы» было расширением от «ущерба и ущерба», и хронологический порядок значений в записях поддерживает эту точку зрения, а широкое значение «расходы» никогда не было наиболее распространенным. использованное значение. На основании вышеизложенного делается вывод о том, что латинское слово произошло или, вероятно, произошло от арабского слова.

[11] Рэй, Джон (1674). Сборник английских слов, которые обычно не используются. Лондон: Х. Брюгге. Получено 18 мая 2015.

[12] "средний, п.2". OED Online. Сентябрь 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (по состоянию на 05 сентября 2019 г.).

[:0-13] а ^б Либертц, Даниэль (31 декабря 2018 г.). "В рамке для лжи: статистика как неискушенный / художественное доказательство". "Res Rhetorica". 5 (4). Дои:10.29107 / rr2018.4.1. ISSN 2392-3113.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]