Вращение (математика) - Rotation (mathematics)

Для использования в других целях см. Вращение.

Поворот объекта в двух измерениях вокруг точки О.

Вращение в математика это концепция, возникшая в геометрия. Любое вращение - это движение определенного Космос что сохраняет хотя бы один точка. Он может описывать, например, движение жесткое тело вокруг фиксированной точки. Вращение отличается от других типов движений: переводы, не имеющие неподвижных точек, и (гиперплоскость) отражения, у каждого из них есть (п − 1)-размерный плоский неподвижных точек в п-размерный Космос. Вращение по часовой стрелке имеет отрицательную величину, поэтому поворот против часовой стрелки имеет положительную величину.

Математически поворот - это карта. Все повороты вокруг фиксированной точки образуют группа под сочинение называется группа ротации (определенного пространства). Но в механика и, в более общем плане, в физика, это понятие часто понимают как преобразование координат (что немаловажно, преобразование ортонормированный базис ), поскольку для любого движения тела существует обратное преобразование, которое, если применить его к точка зрения приводит к тому, что тело находится в тех же координатах. Например, в двух измерениях вращается тело по часовой стрелке относительно точки, когда оси остаются неподвижными, эквивалентно вращению осей против часовой стрелки вокруг той же точки, когда тело остается неподвижным. Эти два типа вращения называются активные и пассивные преобразования.^{[нужна цитата ]}

Связанные определения и терминология

В группа ротации это Группа Ли вращений вокруг фиксированная точка. Эта (общая) неподвижная точка называется центр вращения и обычно отождествляется с источник. Группа вращения - это точечный стабилизатор в более широкой группе (сохраняющих ориентацию) движения.

Для конкретного вращения:

• В ось вращения это линия его неподвижных точек. Они существуют только в п > 2.
• В плоскость вращения это самолет то есть инвариантный под ротацию. В отличие от оси, ее точки не фиксируются сами по себе. Ось (если есть) и плоскость вращения - это ортогональный.

А представление вращений - это особый формализм, алгебраический или геометрический, используемый для параметризации карты вращения. Это значение как-то противоположно смысл в теории групп.

Вращения (аффинные) пространства точек и соответствующих векторные пространства не всегда четко различаются. Первые иногда называют аффинные вращения (хотя термин вводит в заблуждение), тогда как последние векторные вращения. Подробнее читайте в статье ниже.

Определения и представления

В евклидовой геометрии

Дальнейшая информация: Евклидово пространство § Вращения и отражения, и Специальная ортогональная группа

Вращение плоскости вокруг точки с последующим вращением вокруг другой точки приводит к общему движению, которое является либо вращением (как на этом рисунке), либо перевод.

Движение Евклидово пространство такой же, как и его изометрия: он уходит Расстояние между любыми двумя точками без изменений после преобразования. Но (собственное) вращение также должно сохранять структура ориентации. "неправильное вращение "термин относится к изометриям, которые меняют (переворачивают) ориентацию. На языке теория групп различие выражается как непосредственный против косвенный изометрии в Евклидова группа, где первые составляют компонент идентичности. Любое прямое евклидово движение можно представить как композицию вращения вокруг фиксированной точки и сдвига.

Нет не-банальный вращения в одном измерении. В два измерения, только один угол необходим для указания поворота вокруг источник - в угол поворота который определяет элемент круговая группа (также известен как U (1)). Вращение действует для поворота объекта против часовой стрелки под углом θ о источник; видеть ниже для подробностей. Состав поворотов суммы их углы по модулю 1 повернуть, откуда следует, что все двумерные повороты вокруг одинаковый точка ездить. Вращения около разные очки, в общем, не коммутируют. Любое прямое двумерное движение - это либо поступление, либо вращение; видеть Изометрия евклидовой плоскости для подробностей.

Эйлеровы вращения Земли. Собственная (зеленый), прецессия (синий) и нутация (красный)

Вращения в трехмерное пространство отличаются от таковых в двух измерениях по ряду важных аспектов. Вращения в трех измерениях обычно не коммутативный, поэтому порядок, в котором применяются вращения, важен даже в одной и той же точке. Также, в отличие от двухмерного случая, трехмерное прямое движение в общая позиция, это не вращение, а винтовая операция. Вращения вокруг начала координат имеют три степени свободы (см. формализм вращения в трех измерениях для деталей), как и количество размеров.

Трехмерное вращение можно задать несколькими способами. Наиболее распространенные методы:

• Углы Эйлера (на фото слева). Любой поворот вокруг начала координат можно представить как сочинение трех вращений, определяемых как движение, полученное путем изменения одного из углов Эйлера, оставляя два других постоянными. Они составляют смешанные оси вращения системы, потому что углы измеряются по отношению к смеси различных системы отсчета, а не отдельный кадр, который является чисто внешним или чисто внутренним. В частности, первый угол перемещает линия узлов вокруг внешней оси z, второй вращается вокруг линии узлов, а третий - внутреннее вращение (вращение) вокруг оси, закрепленной в движущемся теле. Углы Эйлера обычно обозначают как α, β, γ, или же φ, θ, ψ. Это представление удобно только для вращений вокруг фиксированной точки.

• Ось – угол представления (на рисунке справа) указывает угол с осью, вокруг которой происходит вращение. Это легко визуализировать. Есть два варианта его представления:
  • в виде пары, состоящей из угла и единичный вектор для оси, или
  • как Евклидов вектор полученный путем умножения угла на этот единичный вектор, называемый вектор вращения (хотя, строго говоря, это псевдовектор ).
• Матрицы, версоры (кватернионы) и др. алгебраический вещи: см. раздел Формализм линейной и полилинейной алгебры для подробностей.

Перспективная проекция на трехмерное пространство тессеракт вращается в четырехмерном евклидовом пространстве.

Общая ротация в четыре измерения имеет только одну фиксированную точку, центр вращения и не имеет оси вращения; видеть вращения в 4-мерном евклидовом пространстве для подробностей. Вместо этого вращение имеет две взаимно ортогональные плоскости вращения, каждая из которых фиксирована в том смысле, что точки в каждой плоскости остаются внутри плоскостей. Вращение имеет два угла поворота, по одному на каждый. плоскость вращения, через которые вращаются точки в плоскостях. Если это ω₁ и ω₂ то все точки не в плоскостях поворачиваются на угол между ω₁ и ω₂. Вращения в четырех измерениях вокруг фиксированной точки имеют шесть степеней свободы. Четырехмерное прямое движение в общем положении является вращение вокруг определенной точки (как во всех четное Евклидовы измерения), но существуют и винтовые операции.

Формализм линейной и полилинейной алгебры

Основная статья: Матрица вращения

Если рассматривать движения евклидова пространства, сохраняющие Происхождение, то различие между точками и векторами, важное в чистой математике, можно стереть, потому что существует каноническая индивидуальная переписка между точками и векторы положения. То же самое верно и для других геометрий, кроме Евклидово, но чье пространство аффинное пространство с дополнительным структура; видеть пример ниже. В качестве альтернативы векторное описание поворотов можно понимать как параметризацию геометрических поворотов. вплоть до их состав с переводами. Другими словами, одно вращение вектора представляет много эквивалент вращения вокруг все точки в пространстве.

Движение, сохраняющее начало координат, аналогично движению линейный оператор на векторах, сохраняющих ту же геометрическую структуру, но выраженных через векторы. За Евклидовы векторы, это выражение их величина (Евклидова норма ). В составные части, такой оператор выражается как п × п ортогональная матрица что умножается на вектор-столбец.

Как это уже было сказано, (собственное) вращение отличается от движения произвольной неподвижной точки тем, что оно сохраняет ориентацию векторного пространства. Таким образом детерминант ортогональной матрицы вращения должен быть 1. Единственная другая возможность для определителя ортогональной матрицы - это −1, и этот результат означает, что преобразование отражение в гиперплоскости, а точечное отражение (за странный п) или другой вид неправильное вращение. Матрицы всех собственных вращений образуют специальная ортогональная группа.

Два измерения

Основная статья: Вращения и отражения в двух измерениях

Геометрический вывод координат после поворота осей на угол ${\displaystyle \alpha }$, или, что то же самое, после поворота точки (Икс, у) к ${\displaystyle \theta =-\alpha }$.

В двух измерениях, чтобы выполнить вращение с помощью матрицы, точка (Икс, у) для поворота против часовой стрелки записывается как вектор-столбец, затем умножается на матрица вращения рассчитывается под углом θ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$.

Координаты точки после поворота: Икс', y ′, а формулы для Икс' и y ′ находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Векторы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$ имеют одинаковую величину и разделены углом θ как и ожидалось.

Указывает на р² самолет также можно представить как сложные числа: смысл (Икс, у) в плоскости представлен комплексным числом

${\displaystyle z=x+iy}$

Его можно повернуть на угол θ умножив это на е^iθ, затем разверните продукт с помощью Формула Эйлера следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}}$

и приравнивание действительной и мнимой частей дает тот же результат, что и двумерная матрица:

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$

Поскольку комплексные числа образуют коммутативное кольцо, вращения векторов в двух измерениях коммутативны, в отличие от более высоких измерений. У них только один степень свободы, поскольку такие повороты полностью определяются углом поворота.^[1]

Три измерения

Основная статья: Формализмы вращения в трех измерениях

Смотрите также: Оператор трехмерного вращения

Как и в двух измерениях, матрица может использоваться для поворота точки. (Икс, у, z) в точку (Икс', y ′, z ′). Используемая матрица представляет собой 3×3 матрица

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$

Это умножается на вектор, представляющий точку, чтобы дать результат

${\displaystyle \mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}}$

Набор всех подходящих матриц вместе с операцией матричное умножение это группа вращения SO (3). Матрица А является членом трехмерного специальная ортогональная группа, ТАК (3), то есть это ортогональная матрица с детерминант 1. То, что это ортогональная матрица, означает, что ее строки представляют собой набор ортогональных единичные векторы (так что они ортонормированный базис ), как и его столбцы, что упрощает поиск и проверку правильности матрицы вращения.

Вышеупомянутый Углы Эйлера и представления осей и углов можно легко преобразовать в матрицу вращения.

Другая возможность представить вращение трехмерных евклидовых векторов - это кватернионы, описанные ниже.

Кватернионы

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

Единица измерения кватернионы, или же версоры, в некотором смысле наименее интуитивно понятное представление трехмерных вращений. Они не являются трехмерным примером общего подхода. Они компактнее, чем матрицы, и с ними проще работать, чем со всеми другими методами, поэтому их часто предпочитают в реальных приложениях.^{[нужна цитата ]}

Versor (также называемый кватернион вращения) состоит из четырех действительных чисел, ограниченных так, чтобы норма кватерниона равно 1. Это ограничение ограничивает количество степеней свободы кватерниона тремя, если требуется. В отличие от матриц и комплексных чисел требуется два умножения:

${\displaystyle \mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},}$

куда q это версор, q⁻¹ это его обратный, и Икс вектор, рассматриваемый как кватернион с нулевым скалярная часть. Кватернион может быть связан с векторной формой вращения угла поворота оси соотношением экспоненциальная карта над кватернионами,

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},}$

куда v вектор вращения, рассматриваемый как кватернион.

Однократное умножение на версор, либо слева, либо справа, само по себе вращение, но в четырех измерениях. Любое четырехмерное вращение вокруг начала координат может быть представлено двумя умножениями кватернионов: одно влево и одно вправо на два разные единичные кватернионы.

Дальнейшие примечания

В более общем смысле вращения координат в любом измерении представлены ортогональными матрицами. Множество всех ортогональных матриц в п размеры, которые описывают правильные повороты (определитель = +1), вместе с операцией умножения матриц, образуют специальная ортогональная группа ТАК(п).

Матрицы часто используются для выполнения преобразований, особенно при преобразовании большого количества точек, поскольку они являются прямым представлением линейный оператор. Повороты, представленные другими способами, перед использованием часто преобразуются в матрицы. Их можно расширить для одновременного представления поворотов и преобразований, используя однородные координаты. Проективные преобразования представлены 4×4 матрицы. Это не матрицы вращения, а преобразование, представляющее евклидово вращение, имеет 3×3 матрица вращения в верхнем левом углу.

Основным недостатком матриц является то, что они более дорогие в расчетах и ​​вычислениях. Также в расчетах, где числовая нестабильность Матрицы могут быть более подвержены этому, поэтому вычисления для восстановления ортонормальность, которые для матриц дорого обходятся, нужно делать чаще.

Дополнительные альтернативы матричному формализму

Как было показано выше, существует три полилинейная алгебра формализмы вращения: один с U (1) или комплексные числа, для двух измерений и двух других с версоры или кватернионы, для трех и четырех измерений.

В общем (даже для векторов, снабженных неевклидовой системой Минковского квадратичная форма ) вращение векторного пространства можно выразить как бивектор. Этот формализм используется в геометрическая алгебра и, в более общем плане, в Алгебра Клиффорда представление групп Ли.

В случае положительно определенной евклидовой квадратичной формы двойная группа покрытия группы изометрий ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ известен как Спиновая группа, ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$. Его удобно описать в терминах алгебры Клиффорда. Единичные кватернионы дают группу ${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$.

В неевклидовых геометриях

В сферическая геометрия, прямое движение^{[требуется разъяснение ]} из п-сфера (пример эллиптическая геометрия ) совпадает с поворотом (п + 1)-мерное евклидово пространство около начала координат (ТАК(п + 1)). Для нечетных п, большинство этих движений не имеет неподвижных точек на п-сфера и, строго говоря, не вращения сферы; такие ходатайства иногда называют Клиффорд переводы.^{[нужна цитата ]} Вращения вокруг неподвижной точки в эллиптических и гиперболический геометрии не отличаются от евклидовых.^{[требуется разъяснение ]}

Аффинная геометрия и проективная геометрия не имеют четкого представления о вращении.

В теории относительности

Основная статья: Преобразование Лоренца

Одно применение этого^{[требуется разъяснение ]} является специальная теория относительности, поскольку его можно рассматривать для работы в четырехмерном пространстве, пространство-время, охватываемого тремя пространственными измерениями и одним временным. В специальной теории относительности это пространство линейно и четырехмерные вращения, называемые Преобразования Лоренца, иметь практические физические интерпретации. В Пространство Минковского это не метрическое пространство, а срок изометрия неприменимо к преобразованию Лоренца.

Если вращение происходит только в трех измерениях пространства, то есть в плоскости, полностью находящейся в пространстве, то это вращение аналогично пространственному вращению в трех измерениях. Но вращение в плоскости, охватываемой пространственным измерением и измерением времени, есть гиперболическое вращение, преобразование между двумя разными системы отсчета, который иногда называют «усилением Лоренца». Эти преобразования демонстрируют псевдоевклидов природа пространства Минковского. Иногда их описывают как сжатые сопоставления и часто появляются на Диаграммы Минковского которые визуализируют (1 + 1) -мерную псевдоевклидову геометрию на плоских чертежах. Изучение теории относительности связано с Группа Лоренца порождается пространственными вращениями и гиперболическими вращениями.^[2]

В то время как ТАК (3) вращения, в физике и астрономии, соответствуют вращению небесная сфера как 2-сфера в трехмерном евклидовом пространстве преобразования Лоренца из ТАК (3; 1)⁺ побудить конформный трансформации небесной сферы. Это более широкий класс сферных преобразований, известных как Преобразования Мебиуса.

Дискретные вращения

Видеть: точечная группа.

Важность

Вращения определяют важные классы симметрия: вращательная симметрия является инвариантность по отношению к особое вращение. В круговая симметрия является инвариантностью относительно любого вращения вокруг неподвижной оси.

Как было сказано выше, евклидовы вращения применяются к динамика твердого тела. Более того, большая часть математического формализма в физика (такой как векторное исчисление ) инвариантно относительно вращения; видеть вращение для большего количества физических аспектов. Евклидовы вращения и, в более общем плане, симметрия Лоренца описано выше считаются законы симметрии природы. Напротив, отражательная симметрия не является точным законом симметрии природы.

Обобщения

В сложный -значные матрицы, аналогичные вещественным ортогональным матрицам, являются унитарные матрицы ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$, которые представляют собой вращения в сложном пространстве. Множество всех унитарных матриц в данном измерении п образует унитарная группа ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ степени п; и его подгруппа, представляющая собственные вращения (те, которые сохраняют ориентацию пространства), является особая унитарная группа ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ степени п. Эти сложные повороты важны в контексте спиноры. Элементы ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ используются для параметризации три-мерные евклидовы вращения (см. над ), а также соответствующие преобразования вращение (видеть теория представлений SU (2) ).

Смотрите также

• Главные оси самолета
• Графики на SO (3)
• Координатные вращения и отражения
• CORDIC алгоритм
• Гиперболическое вращение
• Бесконечно малое вращение
• Иррациональное вращение
• Ориентация (геометрия)
• Формула вращения Родригеса
• Вращение осей
• Вихрь

Сноски

1. Лунесто 2001, стр. 30.
2. Hestenes 1999, стр. 580–588.

Рекомендации

• Гестен, Дэвид (1999). Новые основы классической механики. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-5514-8.

• Лунесто, Пертти (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-00551-7.

• Браннон, Ребекка М. (2002). «Обзор полезных теорем, включающих правильные ортогональные матрицы, относящиеся к трехмерному физическому пространству» (PDF). Альбукерке: Сандийские национальные лаборатории.