Оператор трехмерного вращения - Three-dimensional rotation operator - Wikipedia

Для использования в других целях см. Оператор вращения (значения).

В этой статье выводятся основные свойства вращения в 3-х мерное пространство.

Три Вращения Эйлера один из способов принести жесткое тело в любую желаемую ориентацию, последовательно делая вращения относительно оси 'фиксированной относительно объекта. Однако этого также можно добиться с помощью одного поворота (Теорема Эйлера вращения ). Используя концепции линейная алгебра показано, как можно выполнить это одиночное вращение.

Математическая формулировка

Позволять (ê₁, ê₂, ê₃) быть система координат фиксируется в теле, что за счет изменения ориентации А выводится на новые направления

${\displaystyle \mathbf {A} {\hat {e}}_{1},\mathbf {A} {\hat {e}}_{2},\mathbf {A} {\hat {e}}_{3}.}$

Любой вектор

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}{\hat {e}}_{1}+x_{2}{\hat {e}}_{2}+x_{3}{\hat {e}}_{3}}$

вращение вместе с телом затем приводится в новом направлении

${\displaystyle \mathbf {A} {\bar {x}}=x_{1}\mathbf {A} {\hat {e}}_{1}+x_{2}\mathbf {A} {\hat {e}}_{2}+x_{3}\mathbf {A} {\hat {e}}_{3},}$

то есть это линейный оператор

В матрица этого оператор относительно системы координат (ê₁, ê₂, ê₃) является

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle {\hat {e}}_{1}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{1}\rangle &\langle {\hat {e}}_{1}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{2}\rangle &\langle {\hat {e}}_{1}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{3}\rangle \\\langle {\hat {e}}_{2}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{1}\rangle &\langle {\hat {e}}_{2}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{2}\rangle &\langle {\hat {e}}_{2}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{3}\rangle \\\langle {\hat {e}}_{3}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{1}\rangle &\langle {\hat {e}}_{3}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{2}\rangle &\langle {\hat {e}}_{3}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{3}\rangle \end{bmatrix}}.}$

В качестве

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}A_{ki}A_{kj}=\langle \mathbf {A} {\hat {e}}_{i}|\mathbf {A} {\hat {e}}_{j}\rangle ={\begin{cases}0,&i\neq j,\\1,&i=j,\end{cases}}}$

или эквивалентно в матричной записи

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$

матрица ортогональный и поскольку правосторонняя базовая векторная система переориентируется в другую правостороннюю систему, детерминант этой матрицы имеет значение 1.

Вращение вокруг оси

Позволять (ê₁, ê₂, ê₃) - ортогональная положительно ориентированная базовая векторная система в р³. Линейный оператор "поворот на угол θ вокруг оси, определяемой ê₃"имеет матричное представление

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}\\Y_{2}\\Y_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}}$

относительно этой системы базовых векторов. Тогда это означает, что вектор

${\displaystyle {\bar {x}}={\begin{bmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}}$

поворачивается к вектору

${\displaystyle {\bar {y}}={\begin{bmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{1}\\Y_{2}\\Y_{3}\end{bmatrix}}}$

линейным оператором. В детерминант этой матрицы

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}=1,}$

и характеристический многочлен является

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}\cos \theta -\lambda &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta -\lambda &0\\0&0&1-\lambda \end{bmatrix}}&=\left(\left(\cos \theta -\lambda \right)^{2}+\sin ^{2}\theta \right)(1-\lambda )\\&=-\lambda ^{3}+(2\cos \theta +1)\lambda ^{2}-(2\cos \theta +1)\lambda +1\\\end{aligned}}.}$

Матрица симметрична тогда и только тогда, когда грех θ = 0, то есть для θ = 0 и θ = π. Дело θ = 0 - тривиальный случай тождественного оператора. По делу θ = π то характеристический многочлен является

${\displaystyle -(\lambda -1)\left(\lambda +1\right)^{2},}$

так что оператор вращения имеет собственные значения

${\displaystyle \lambda =1,\quad \lambda =-1.}$

В собственное подпространство соответствующий λ = 1 это все векторы на оси вращения, а именно все векторы

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha {\hat {e}}_{3},\quad -\infty <\alpha <\infty .}$

В собственное подпространство соответствующий λ = −1 состоит из всех векторов, ортогональных оси вращения, а именно всех векторов

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha {\hat {e}}_{1}+\beta {\hat {e}}_{2},\quad -\infty <\alpha <\infty ,\quad -\infty <\beta <\infty .}$

Для всех остальных значений θ матрица не симметрична и при грех² θ > 0 есть только собственное значение λ = 1 с одномерным собственное подпространство векторов на оси вращения:

${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha {\hat {e}}_{3},\quad -\infty <\alpha <\infty .}$

Матрица поворота по углу θ вокруг общей оси вращения k дан кем-то Формула вращения Родригеса.

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +[\mathbf {k} ]_{\times }\sin \theta +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \mathbf {k} ^{\mathsf {T}},}$

куда я это единичная матрица и [k]_× это двойная 2-форма из k или же матрица кросс-продукта,

${\displaystyle [\mathbf {k} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-k_{3}&k_{2}\\k_{3}&0&-k_{1}\\-k_{2}&k_{1}&0\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что [k]_× удовлетворяет [k]_×v = k × v для всех векторов v.

Общий случай

Оператор поворота на угол θ вокруг указанной оси », описанное выше, является ортогональным отображением, и его матрица относительно любой системы базовых векторов является ортогональная матрица. Кроме того, его определитель имеет значение 1. Нетривиальный факт противоположен тому, что для любого ортогонального линейного отображения в р³ с определителем 1 существуют базовые векторы ê₁, ê₂, ê₃ такая, что матрица принимает «канонический вид»

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

за некоторую стоимость θ. Фактически, если линейный оператор имеет ортогональная матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}$

относительно некоторой базовой векторной системы (f̂₁, f̂₂, f̂₃) и эта матрица симметрична, "теорема о симметричном операторе" верна в р^п (любое измерение) применяется, говоря, что он имеет п ортогональные собственные векторы. Это означает, что для трехмерного случая существует система координат ê₁, ê₂, ê₃ такая, что матрица принимает вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{11}&0&0\\0&B_{22}&0\\0&0&B_{33}\end{bmatrix}}.}$

Поскольку это ортогональная матрица, эти диагональные элементы B_ii равны 1 или -1. Поскольку определитель равен 1, эти элементы либо все равны 1, либо один из элементов равен 1, а два других равны -1. В первом случае это тривиальный тождественный оператор, соответствующий θ = 0. Во втором случае он имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

если базовые векторы пронумерованы так, что вектор с собственным значением 1 имеет индекс 3. Тогда эта матрица имеет желаемый вид для θ = π.

Если матрица несимметрична, вектор

${\displaystyle {\bar {E}}=\alpha _{1}{\hat {f}}_{1}+\alpha _{2}{\hat {f}}_{2}+\alpha _{3}{\hat {f}}_{3},}$

куда

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}},\quad \alpha _{2}={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}},\quad \alpha _{3}={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}}$

отличен от нуля. Этот вектор является собственным вектором с собственным значением λ = 1. Параметр

${\displaystyle {\hat {e}}_{3}={\frac {\bar {E}}{|{\bar {E}}|}}}$

и выбор любых двух ортогональных единичных векторов ê₁ и ê₂ в плоскости, ортогональной ê₃ такой, что ê₁, ê₂, ê₃ образуют положительно ориентированную тройку, оператор принимает желаемый вид с

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta &={\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}},\\\sin \theta &=|{\bar {E}}|.\end{aligned}}}$

Приведенные выше выражения на самом деле справедливы и для случая симметричного оператора вращения, соответствующего вращению с θ = 0 или же θ = π. Но разница в том, что для θ = π вектор

${\displaystyle {\bar {E}}=\alpha _{1}{\hat {f}}_{1}+\alpha _{2}{\hat {f}}_{2}+\alpha _{3}{\hat {f}}_{3}}$

равен нулю и бесполезен для нахождения собственного подпространства собственного значения 1 и, следовательно, оси вращения.

Определение E₄ в качестве потому что θ матрица для оператора вращения:

${\displaystyle {\frac {1-E_{4}}{E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{3}^{2}}}{\begin{bmatrix}E_{1}E_{1}&E_{1}E_{2}&E_{1}E_{3}\\E_{2}E_{1}&E_{2}E_{2}&E_{2}E_{3}\\E_{3}E_{1}&E_{3}E_{2}&E_{3}E_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}E_{4}&-E_{3}&E_{2}\\E_{3}&E_{4}&-E_{1}\\-E_{2}&E_{1}&E_{4}\end{bmatrix}},}$

при условии, что

${\displaystyle E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+E_{3}^{2}>0.}$

то есть кроме случаев θ = 0 (оператор идентичности) и θ = π.

Кватернионы

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

Кватернионы определяются аналогично E₁, E₂, E₃, E₄ с той разницей, что половина угла θ/2 используется вместо полного угла θ. Это означает, что первые 3 компонента q₁, q₂, q₃ компоненты вектора, определенные из

${\displaystyle q_{1}{\hat {f}}_{1}+q_{2}{\hat {f}}_{2}+q_{3}{\hat {f}}_{1}=\sin {\frac {\theta }{2}},\quad {\hat {e}}_{3}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin \theta }},\quad {\bar {E}},}$

и что четвертый компонент - это скаляр

${\displaystyle q_{4}=\cos {\frac {\theta }{2}}.}$

Как угол θ определенная из канонической формы, находится в интервале

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,}$

обычно это было бы q₄ ≥ 0. Но используется «двойственное» представление вращения с кватернионами, то есть (q₁, q₂, q₃, q₄)}} и (−q₁, −q₂, −'q₃, −q₄) - два альтернативных представления одного и того же вращения.

Сущности E_k определяются из кватернионов как

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&=2q_{4}q_{1},\quad E_{2}=2q_{4}q_{2},\quad E_{3}=2q_{4}q_{3},\\[8px]E_{4}&=q_{4}^{2}-\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right).\end{aligned}}}$

Используя кватернионы, матрица оператора вращения имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\left(q_{1}^{2}+q_{4}^{2}\right)-1&2\left(q_{1}q_{2}-q_{3}q_{4}\right)&2\left(q_{1}q_{3}+q_{2}q_{4}\right)\\2\left(q_{1}q_{2}+q_{3}q_{4}\right)&2\left(q_{2}^{2}+q_{4}^{2}\right)-1&2\left(q_{2}q_{3}-q_{1}q_{4}\right)\\2\left(q_{1}q_{3}-q_{2}q_{4}\right)&2\left(q_{2}q_{3}+q_{1}q_{4}\right)&2\left(q_{3}^{2}+q_{4}^{2}\right)-1\end{bmatrix}}.}$

Числовой пример

Рассмотрим переориентацию, соответствующую Углы Эйлера α = 10°, β = 20°, γ = 30° относительно данной базовой векторной системы (f̂₁, f̂₂, f̂₃). Соответствующая матрица относительно этой базовой векторной системы (см. Углы Эйлера # Ориентация матрицы )

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.771281&-0.633718&0.059391\\0.613092&0.714610&-0.336824\\0.171010&0.296198&0.939693\end{bmatrix}},}$

и кватернион

${\displaystyle (0.171010,-0.030154,0.336824,0.925417).}$

Каноническая форма этого оператора

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

с θ = 44.537° получается с

${\displaystyle {\hat {e}}_{3}=(0.451272,-0.079571,0.888832).}$

Кватернион относительно этой новой системы тогда

${\displaystyle (0,0,0.378951,0.925417)=\left(0,0,\sin {\frac {\theta }{2}},\cos {\frac {\theta }{2}}\right).}$

Вместо того, чтобы делать три вращения Эйлера на 10 °, 20 °, 30 °, ту же ориентацию можно получить одним единственным поворотом на 44,537 ° вокруг ê₃.

Рекомендации

• Шилов Георгий (1961), Введение в теорию линейных пространств, Прентис-Холл, Библиотека Конгресса 61-13845.