Вращение осей - Rotation of axes

An ху-Декартова система координат повернута на угол ${displaystyle heta }$ для x'y '-Декартова система координат

В математика, а вращение осей в двух измерениях это отображение из ху-Декартова система координат для x'y '-Декартова система координат, в которой источник фиксируется, а Икс' и y ' оси получаются вращением Икс и у оси против часовой стрелки на угол ${displaystyle heta }$. Точка п имеет координаты (Икс, у) относительно исходной системы и координат (Икс', y ') по отношению к новой системе.^[1] В новой системе координат точка п будет казаться повернутым в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол ${displaystyle heta }$. Аналогично определяется вращение осей более чем в двух измерениях.^[2][3] Вращение осей - это линейная карта^[4][5] и жесткая трансформация.

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривые используя методы аналитическая геометрия. Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном месте по отношению к рассматриваемой кривой. Например, чтобы изучить уравнения эллипсы и гиперболы, то фокусы обычно расположены на одной из осей и расположены симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола, эллипс и т. д.) нет Расположенная удобно по отношению к осям, необходимо изменить систему координат, чтобы расположить кривую в удобном и знакомом месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразование координат.^[6]

Решения многих проблем можно упростить, вращая оси координат, чтобы получить новые оси через то же начало.

Вывод

Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которое вращает ху оси против часовой стрелки на угол ${displaystyle heta }$ в x'y ' оси, выводятся следующим образом.

в ху система, пусть точка п имеют полярные координаты ${displaystyle (r,alpha )}$. Затем в x'y ' система, п будет иметь полярные координаты ${displaystyle (r,alpha - heta )}$.

С помощью тригонометрические функции, у нас есть

${displaystyle x=rcos alpha }$

(1)

${displaystyle y=rsin alpha }$

(2)

и используя стандартный тригонометрические формулы для различий у нас есть

${displaystyle x'=rcos(alpha - heta )=rcos alpha cos heta +rsin alpha sin heta }$

(3)

${displaystyle y'=rsin(alpha - heta )=rsin alpha cos heta -rcos alpha sin heta .}$

(4)

Подставляя уравнения (1) и (2) в уравнения (3) и (4), мы получаем

${displaystyle x'=xcos heta +ysin heta }$

(5)

${displaystyle y'=-xsin heta +ycos heta .}$[7]

(6)

Уравнения (5) и (6) можно представить в матричном виде как

${displaystyle {egin{pmatrix}x'y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta &sin heta -sin heta &cos heta end{pmatrix}}{egin{pmatrix}xyend{pmatrix}},}$

которое является стандартным матричным уравнением вращения осей в двух измерениях.^[8]

Обратное преобразование:

${displaystyle x=x'cos heta -y'sin heta }$

(7)

${displaystyle y=x'sin heta +y'cos heta ,}$[9]

(8)

или же

${displaystyle {egin{pmatrix}xyend{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta &-sin heta sin heta &cos heta end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x'y'end{pmatrix}}.}$

Примеры в двух измерениях

Пример 1

Найдите координаты точки ${displaystyle P_{1}=(x,y)=({sqrt {3}},1)}$ после поворота осей на угол ${displaystyle heta _{1}=pi /6}$, или 30 °.

Решение:

${displaystyle x'={sqrt {3}}cos(pi /6)+1sin(pi /6)=({sqrt {3}})({sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2}$

${displaystyle y'=1cos(pi /6)-{sqrt {3}}sin(pi /6)=(1)({sqrt {3}}/2)-({sqrt {3}})(1/2)=0.}$

Оси повернуты против часовой стрелки на угол ${displaystyle heta _{1}=pi /6}$ и новые координаты ${displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$. Обратите внимание, что точка, похоже, была повернута по часовой стрелке на ${displaystyle pi /6}$ относительно фиксированных осей, так что теперь он совпадает с (новым) Икс' ось.

Пример 2

Найдите координаты точки ${displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}$ после поворота осей по часовой стрелке на 90 °, то есть на угол ${displaystyle heta _{2}=-pi /2}$, или -90 °.

Решение:

${displaystyle {egin{pmatrix}x'y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos(-pi /2)&sin(-pi /2)-sin(-pi /2)&cos(-pi /2)end{pmatrix}}{egin{pmatrix}77end{pmatrix}}={egin{pmatrix}0&-11&0end{pmatrix}}{egin{pmatrix}77end{pmatrix}}={egin{pmatrix}-77end{pmatrix}}.}$

Оси повернуты на угол ${displaystyle heta _{2}=-pi /2}$, который направлен по часовой стрелке, и новые координаты ${displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$. Опять же, обратите внимание, что точка, похоже, была повернута против часовой стрелки на ${displaystyle pi /2}$ относительно неподвижных осей.

Вращение конических секций

Основная статья: Коническое сечение

Наиболее общее уравнение второй степени имеет вид

${displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$      (${displaystyle A,B,C}$ не все ноль).[10]

(9)

За счет изменения координат (поворот осей и перевод осей ), уравнение (9) можно поместить в стандартная форма, с которым обычно легче работать. Всегда можно повернуть координаты так, чтобы в новой системе не было x'y ' срок. Подставляя уравнения (7) и (8) в уравнение (9), мы получаем

${displaystyle A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,}$

(10)

куда

${displaystyle A'=Acos ^{2} heta +Bsin heta cos heta +Csin ^{2} heta ,}$ ${displaystyle B'=2(C-A)sin heta cos heta +B(cos ^{2} heta -sin ^{2} heta ),}$ ${displaystyle C'=Asin ^{2} heta -Bsin heta cos heta +Ccos ^{2} heta ,}$ ${displaystyle D'=Dcos heta +Esin heta ,}$ ${displaystyle E'=-Dsin heta +Ecos heta ,}$ ${displaystyle F'=F.}$

(11)

Если ${displaystyle heta }$ выбрано так, чтобы ${displaystyle cot 2 heta =(A-C)/B}$ у нас будет ${displaystyle B'=0}$ и x'y ' член в уравнении (10) исчезнет.^[11]

Когда возникает проблема с B, D и E все отличные от нуля, они могут быть устранены путем последовательного вращения (исключение B) и перевод (исключив D и E термины).^[12]

Обозначение повернутых конических секций

Невырожденное коническое сечение, заданное уравнением (9) могут быть идентифицированы путем оценки ${displaystyle B^{2} - 4AC}$. Коническое сечение:

${displaystyle {egin{cases}{mbox{an ellipse or a circle}}, {mbox{if}} B^{2} - 4AC < 0;{mbox{a parabola}}, {mbox{if}} B^{2} - 4AC = 0;{mbox{a hyperbola}}, {mbox{if}} B^{2} - 4AC > 0.end{cases}}}$^[13]

Обобщение на несколько измерений

Предположим прямоугольную xyz-система координат вращается вокруг своей z ось против часовой стрелки (если смотреть вниз z ось) под углом ${displaystyle heta }$, то есть положительный Икс ось сразу поворачивается в положительную у ось. В z координата каждой точки не изменяется, а Икс и у координаты преобразуются, как указано выше. Старые координаты (Икс, у, z) точки Q связаны с его новыми координатами (Икс', y ', z ') к

${displaystyle {egin{pmatrix}x'y'z'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta &sin heta &0-sin heta &cos heta &0�&0&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}xyzend{pmatrix}}.}$^[14]

Обобщая на любое конечное число измерений, матрица вращения ${displaystyle A}$ является ортогональная матрица это отличается от единичная матрица не более чем в четырех элементах. Эти четыре элемента имеют форму

${displaystyle a_{ii}=a_{jj}=cos heta }$      и      ${displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=sin heta ,}$

для некоторых ${displaystyle heta }$ и немного я ≠ j.^[15]

Примеры в нескольких измерениях

Пример 3

Найдите координаты точки ${displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$ после положительного ш ось повернута на угол ${displaystyle heta _{3}=pi /12}$, или 15 °, в положительную z ось.

Решение:

${displaystyle {egin{pmatrix}w'x'y'z'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos(pi /12)&0&0&sin(pi /12)�&1&0&0�&0&1&0-sin(pi /12)&0&0&cos(pi /12)end{pmatrix}}{egin{pmatrix}wxyzend{pmatrix}}}$

${displaystyle approx {egin{pmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882�.0&1.0&0.0&0.0�.0&0.0&1.0&0.0-0.25882&0.0&0.0&0.96593end{pmatrix}}{egin{pmatrix}1.01.01.01.0end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1.224751.000001.00000�.70711end{pmatrix}}.}$

Смотрите также

• Вращение
• Вращение (математика)

Примечания

1. Проттер и Морри (1970, п. 320) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
2. Антон (1987 г., п. 231)
3. Бремя и ярмарки (1993, п. 532)
4. Антон (1987 г., п. 247)
5. Борегар и Фрали (1973), п. 266)
6. Проттер и Морри (1970, стр. 314–315). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
7. Проттер и Морри (1970, стр. 320–321). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
8. Антон (1987 г., п. 230)
9. Проттер и Морри (1970, п. 320) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
10. Проттер и Морри (1970, п. 316) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
11. Проттер и Морри (1970, стр. 321–322). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
12. Проттер и Морри (1970, п. 324) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
13. Проттер и Морри (1970, п. 326) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFProtterMorrey1970 (помощь)
14. Антон (1987 г., п. 231)
15. Бремя и ярмарки (1993, п. 532)

Рекомендации

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
• Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (1993), Числовой анализ (5-е изд.), Бостон: Принл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-534-93219-3
• Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, LCCN  76087042