Фокус (геометрия) - Focus (geometry)

Точка F - это точка фокусировки красного эллипса, зеленой параболы и синей гиперболы.

В геометрия, фокусирует или фокусы (Великобритания: /ˈжoʊkаɪ/, НАС: /ˈжoʊsаɪ/), единственное число фокус, являются особыми точками, по отношению к которым любой из множества кривые построен. Например, один или два очага могут использоваться при определении конические секции, четыре типа которых круг, эллипс, парабола, и гипербола. Кроме того, два фокуса используются для определения Кассини овал и Декартово овал, и более двух фокусов используются для определения n-эллипс.

Конические секции

Определение коник в терминах двух фокусов

Фокусы эллипса (фиолетовые кресты) находятся на пересечении большой оси (красный) и круга (голубой) с радиусом, равным большой полуоси (синий), с центром на конце малой оси (серый)

Эллипс можно определить как локус точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух заданных фокусов является постоянной.

Круг - это частный случай эллипса, в котором два фокуса совпадают друг с другом. Таким образом, круг можно более просто определить как геометрическое место точек, каждая из которых находится на фиксированном расстоянии от одного данного фокуса. Круг также можно определить как круг Аполлония, в терминах двух разных фокусов, как набор точек, имеющих фиксированное отношение расстояний до двух фокусов.

Парабола - это предельный случай эллипса, в котором один из фокусов является точка в бесконечности.

Гиперболу можно определить как геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных фокусов является постоянной.

Определение коник с точки зрения фокуса и директрисы

Также возможно описать все конические сечения в терминах одного фокуса и одного директриса, то есть заданная строка, не содержащая фокуса. Коника определяется как геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса, деленное на расстояние до директрисы, является фиксированной положительной константой, называемой эксцентриситетом. е. Если е находится между нулем и единицей, коника представляет собой эллипс; если е= 1 коника - парабола; и если е> 1 коника является гиперболой. Если расстояние до фокуса фиксировано и директриса представляет собой линия на бесконечности, поэтому эксцентриситет равен нулю, тогда коника представляет собой окружность.

Определение коник с точки зрения фокуса и окружности директрисы

Также возможно описать все конические сечения как места точек, которые равноудалены от единственного фокуса и единственной круговой направляющей. Для эллипса фокус и центр окружности директрисы имеют конечные координаты, а радиус окружности директрисы больше, чем расстояние между центром этого круга и фокусом; таким образом, фокус находится внутри круга директрисы. Сгенерированный таким образом эллипс имеет второй фокус в центре окружности директрисы, а эллипс полностью лежит внутри круга.

Для параболы центр директрисы перемещается в бесконечно удаленную точку (см. проективная геометрия ). «Круг» направляющей становится кривой с нулевой кривизной, неотличимой от прямой линии. Два плеча параболы становятся все более параллельными по мере того, как они расширяются, и «в бесконечности» становятся параллельными; Используя принципы проективной геометрии, две параллели пересекаются в бесконечно удаленной точке, и парабола становится замкнутой кривой (эллиптическая проекция).

Для создания гиперболы радиус окружности директрисы выбирается меньше, чем расстояние между центром этого круга и фокусом; таким образом, фокус находится вне круга директрисы. Плечи гиперболы подходят к асимптотическим линиям, и «правое» плечо одной ветви гиперболы пересекает «левое» плечо другой ветви гиперболы в бесконечно удаленной точке; это основано на том принципе, что в проективной геометрии одна линия встречается в бесконечно удаленной точке. Таким образом, две ветви гиперболы - это две (скрученные) половины кривой, замкнутой на бесконечности.

В проективной геометрии все коники эквивалентны в том смысле, что каждая теорема, которая может быть сформулирована для одной, может быть сформулирована для других.

Астрономическое значение

в гравитационный проблема двух тел орбиты двух тел относительно друг друга описываются двумя перекрывающимися коническими секциями, причем один из фокусов одного совпадает с одним из фокусов другого в точке центр массы (барицентр ) двух тел.

Так, например, малая планета Плутон самый большой Луна Харон имеет эллиптическую орбиту, которая имеет один фокус в барицентре системы Плутон-Харон, который является точкой в пространстве между двумя телами; Плутон также движется по эллипсу с одним из его фокусов в том же самом центре масс между телами. Эллипс Плутона полностью находится внутри эллипса Харона, как показано на эта анимация системы.

Для сравнения: земные Луна движется по эллипсу с одним из фокусов в барицентре Луны и земной шар причем этот барицентр находится внутри самой Земли, в то время как Земля (точнее, ее центр) движется по эллипсу с одним фокусом в том же самом барицентре в пределах Земли. Барицентр составляет примерно три четверти расстояния от центра Земли до ее поверхности.

Более того, система Плутон-Харон движется по эллипсу вокруг своего барицентра с солнце, как и система Земля-Луна (и любая другая система планета-Луна или безлунная планета в Солнечной системе). В обоих случаях барицентр находится внутри тела Солнца.

Два двойные звезды также перемещаются по эллипсам, разделяя фокус в их барицентре; для анимации см. Вот.

Декартовы овалы и овалы Кассини

А Декартово овал - множество точек, для каждой из которых взвешенная сумма расстояния до двух заданных фокусов - постоянная величина. Если веса равны, получается частный случай эллипса.

А Кассини овал - это множество точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух заданных фокусов является константой.

Обобщения

An п-эллипс - это множество точек, имеющих одинаковую сумму расстояний до п очаги. (The п= 2 случай - это обычный эллипс.)

Понятие фокуса можно обобщить на произвольные алгебраические кривые. Позволять C быть классной кривой м и разреши я и J обозначить круговые точки на бесконечности. Нарисуйте м касательные к C через каждый из я и J. Есть два набора м линии, которые будут иметь м² точки пересечения, за исключением некоторых случаев из-за особенностей и т. д. Эти точки пересечения определяются как фокусы C. Другими словами, точка п в центре внимания, если оба ПИ и PJ касаются C. Когда C является действительной кривой, действительными являются только пересечения сопряженных пар, поэтому м в настоящих очагах и м²−м воображаемые очаги. Когда C является коникой, реальные фокусы, определенные таким образом, - это именно те фокусы, которые могут быть использованы при геометрическом построении C.

Конфокальные кривые

Позволять п₁, п₂, ..., п_м быть даны как фокусы кривой C класса м. Позволять п - произведение касательных уравнений этих точек и Q произведение тангенциальных уравнений круговых точек на бесконечности. Тогда все прямые, общие касательные к обоим п= 0 и Q= 0 касаются C. Итак, по AF + BG теорема, касательное уравнение C имеет форму HP+KQ= 0. С C имеет класс м, ЧАС должно быть постоянным и K но имеют степень меньше или равную м−2. Дело ЧАС= 0 можно исключить как вырожденное, так что касательное уравнение C можно записать как п+fQ= 0 где ж - произвольный многочлен степени м−2.^[1]

Например, пусть п₁=(1,0), п₂= (- 1,0). Касательные уравнения имеют вид Икс+ 1 = 0 и Икс−1 = 0, поэтому п= Икс²-1 = 0. Касательные уравнения для бесконечно удаленных круговых точек имеют вид Икс+iY= 0 и Икс−iY= 0, поэтому Q=Икс²+Y². Следовательно, касательное уравнение для коники с данными фокусами имеет вид Икс²-1+c(Икс²+Y²) = 0 или (1+c)Икс²+cY²= 1 где c - произвольная постоянная. В точечных координатах это становится

{ displaystyle { frac {x ^ {2}} {1 + c}} + { frac {y ^ {2}} {c}} = 1.}