Квадратичная форма - Quadratic form

Для использования в статистике см. Квадратичная форма (статистика).

В математика, а квадратичная форма это многочлен с условиями всех степень два. Например,

${\displaystyle 4x^{2}+2xy-3y^{2}}$

является квадратичной формой от переменных Икс и у. Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному поле K, такие как действительные или комплексные числа, и мы говорим о квадратичной форме над K. Если K = ℝ, а квадратичная форма принимает нуль только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это определенная квадратичная форма, иначе это изотропная квадратичная форма.

Квадратичные формы занимают центральное место в различных разделах математики, в том числе теория чисел, линейная алгебра, теория групп (ортогональная группа ), дифференциальная геометрия (Риманова метрика, вторая основная форма ), дифференциальная топология (формы пересечения из четырехмерные многообразия ), и Теория лжи (в Форма убийства ).

Квадратичные формы не следует путать с квадратное уровненеие который имеет только одну переменную и включает члены степени два или меньше. Квадратичная форма - это один из случаев более общей концепции однородные многочлены.

Вступление

Квадратичные формы - это однородные квадратичные многочлены от п переменные. В случае одной, двух и трех переменных они называются унарный, двоичный, и тройной и имеют следующий явный вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\textrm {(unary)}}\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\textrm {(binary)}}\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\textrm {(ternary)}}\end{aligned}}}$

куда а, …, ж являются коэффициенты.^[1]

Обозначение ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle }$ часто используется для квадратичной формы

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Теория квадратичных форм и методы, используемые при их изучении, во многом зависят от природы коэффициентов, которые могут быть настоящий или же сложные числа, рациональное число, или же целые числа. В линейная алгебра, аналитическая геометрия, и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами некоторого поле. В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативное кольцо, часто целые числа Z или п-адические целые числа Z_п.^[2] Бинарные квадратичные формы широко изучались в теория чисел, в частности, в теории квадратичные поля, непрерывные дроби, и модульные формы. Теория интегральных квадратичных форм в п переменные имеют важные приложения для алгебраическая топология.

С помощью однородные координаты, ненулевая квадратичная форма в п переменные определяют (п−2) -мерный квадрика в (п−1) -мерный проективное пространство. Это базовая конструкция в проективная геометрия. Таким образом, можно визуализировать трехмерные действительные квадратичные формы как конические секции. Примером может служить трехмерная Евклидово пространство и квадрат из Евклидова норма выражая расстояние между точкой с координатами (Икс, у, z) и происхождение:

${\displaystyle q(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0))^{2}=\|(x,y,z)\|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Близкое понятие с геометрическим подтекстом - это квадратичное пространство, которая представляет собой пару (V, q), с V а векторное пространство над полем K, и q : V → K квадратичная форма на V.

История

Изучение конкретных квадратичных форм, в частности вопрос о том, может ли данное целое число быть значением квадратичной формы над целыми числами, началось много веков назад. Один из таких случаев Теорема Ферма о суммах двух квадратов, который определяет, когда целое число может быть выражено в форме Икс² + у², куда Икс, у целые числа. Эта проблема связана с проблемой поиска Пифагорейские тройки, появившийся во втором тысячелетии до нашей эры.^[3]

В 628 году индийский математик Брахмагупта написал Брахмаспхунасиддханта который включает, среди прочего, изучение уравнений вида Икс² − нью-йорк² = c. В частности, он рассмотрел то, что сейчас называется Уравнение Пелла, Икс² − нью-йорк² = 1, и нашел способ ее решения.^[4] В Европе эту проблему изучали Браункер, Эйлер и Лагранж.

В 1801 г. Гаусс опубликовано Disquisitiones Arithmeticae, большая часть из которых была посвящена полной теории бинарные квадратичные формы над целые числа. С тех пор концепция была обобщена, и связи с поля квадратичных чисел, то модульная группа, и другие области математики получили дальнейшее разъяснение.

Действительные квадратичные формы

Смотрите также: Закон инерции Сильвестра и Определенная квадратичная форма

Любой п×п настоящий симметричная матрица А определяет квадратичную форму q_А в п переменные по формуле

${\displaystyle q_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} .}$

Наоборот, учитывая квадратичную форму в п переменных, его коэффициенты можно объединить в п × п симметричная матрица.

Важный вопрос теории квадратичных форм - как упростить квадратичную форму. q однородной линейной заменой переменных. Основная теорема, вытекающая из Якоби утверждает, что действительная квадратичная форма q имеет ортогональная диагонализация.^[5]

${\displaystyle \lambda _{1}{\tilde {x}}_{1}^{2}+\lambda _{2}{\tilde {x}}_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}{\tilde {x}}_{n}^{2},}$

так что соответствующая симметричная матрица диагональ, и это достигается заменой переменных, заданных ортогональная матрица - в этом случае коэффициенты λ₁, λ₂, ..., λ_п определяются однозначно с точностью до перестановки.

Всегда существует замена переменных, заданная обратимой матрицей, не обязательно ортогональной, такая, что коэффициенты λ_я равны 0, 1 и -1. Закон инерции Сильвестра утверждает, что номера каждой 1 и -1 равны инварианты квадратичной формы в том смысле, что любая другая диагонализация будет содержать такое же количество каждой. В подпись квадратичной формы - тройка (п₀, п₊, п₋), куда п₀ это количество нулей и п_± - количество ± 1 с. Закон инерции Сильвестра показывает, что это хорошо определенная величина, связанная с квадратичной формой. Тот случай, когда все λ_я иметь одинаковый знак, особенно важно: в этом случае квадратичная форма называется положительно определенный (все 1) или отрицательно определенный (все −1). Если ни один из членов не равен 0, форма называется невырожденный; это включает положительно определенный, отрицательный определенный и неопределенный (смесь 1 и -1); эквивалентно, невырожденная квадратичная форма - это форма, ассоциированная симметрическая форма которой является невырожденный билинейный форма. Вещественное векторное пространство с неопределенной невырожденной квадратичной формой индекса (п, q) (обозначая п 1с и q −1s) часто обозначают как р^п,q особенно в физической теории пространство-время.

В дискриминант квадратичной формы, а именно класс определителя представляющей матрицы в K/(K^×)² (вплоть до ненулевых квадратов) также может быть определено, и для действительной квадратичной формы является более грубым инвариантом, чем сигнатура, принимая значения только «положительный, нулевой или отрицательный». Ноль соответствует вырожденной форме, а для невырожденной формы - четности числа отрицательных коэффициентов, ${\displaystyle (-1)^{n_{-}}.}$

Ниже эти результаты переформулированы иначе.

Позволять q - квадратичная форма, определенная на п-размерный настоящий векторное пространство. Позволять А - матрица квадратичной формы q в данной основе. Это означает, что А симметричный п × п матрица такая, что

${\displaystyle q(v)=x^{\mathrm {T} }Ax,}$

куда Икс вектор-столбец координат v в выбранной основе. При смене основы столбец Икс умножается слева на п × п обратимая матрица S, а симметричная квадратная матрица А преобразуется в другую симметричную квадратную матрицу B одного размера по формуле

${\displaystyle A\to B=S^{\mathrm {T} }AS.}$

Любая симметричная матрица А можно преобразовать в диагональную матрицу

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &0\\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}}$

подходящим выбором ортогональной матрицы S, а диагональные элементы B определены однозначно - это теорема Якоби. Если S может быть любой обратимой матрицей, тогда B можно сделать так, чтобы на диагонали было только 0,1 и −1, а количество элементов каждого типа (п₀ для 0, п₊ для 1, и п₋ при −1) зависит только от А. Это одна из формулировок закона инерции Сильвестра и чисел п₊ и п₋ называются положительный и отрицательный показатели инерции. Хотя их определение включало выбор базиса и рассмотрение соответствующей вещественной симметричной матрицы А, Закон инерции Сильвестра означает, что они являются инвариантами квадратичной формы q.

Квадратичная форма q положительно определен (соответственно, отрицательно определен), если q(v) > 0 (соответственно, q(v) < 0) для любого ненулевого вектора v.^[6] Когда q(v) принимает как положительные, так и отрицательные значения, q является неопределенный квадратичная форма. Теоремы Якоби и Сильвестра показывают, что любая положительно определенная квадратичная форма из п переменные можно свести к сумме п квадратов подходящим обратимым линейным преобразованием: геометрически существует только один положительно определенная действительная квадратичная форма каждого измерения. Его группа изометрии это компактный ортогональная группа O (п). Это контрастирует со случаем неопределенных форм, когда соответствующая группа, неопределенная ортогональная группа O (п, q), некомпактно. Далее, группы изометрий Q и -Q одинаковые (O (п, q) ≈ O (q, п)), но связанные Алгебры Клиффорда (и поэтому группы контактов ) разные.

Определения

А квадратичная форма над полем K это карта ${\displaystyle q:V\to K}$ из конечномерного K векторное пространство в K такой, что ${\displaystyle q(av)=a^{2}q(v)}$ для всех ${\displaystyle a\in K,v\in V}$ и функция ${\displaystyle q(u+v)-q(u)-q(v)}$ билинейный.

Более конкретно, п-ари квадратичная форма над полем K это однородный многочлен степени 2 в п переменные с коэффициентами в K:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}$

Эту формулу можно переписать с помощью матриц: пусть Икс быть вектор столбца с компонентами Икс₁, ..., Икс_п и А = (а_ij) быть п×п матрица над K чьи записи являются коэффициентами q. потом

${\displaystyle q(x)=x^{\mathrm {T} }Ax.}$

Вектор ${\displaystyle v=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ это нулевой вектор если q(v) = 0.

Два п-арные квадратичные формы φ и ψ над K находятся эквивалент если существует неособое линейное преобразование C ∈ GL (п, K) такой, что

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (Cx).}$

Пусть характеристика K отличаться от 2.^[7] Матрица коэффициентов А из q может быть заменен симметричная матрица (А + А^Т)/2 с той же квадратичной формой, поэтому с самого начала можно предположить, что А симметрично. Кроме того, симметричная матрица А однозначно определяется соответствующей квадратичной формой. При эквивалентности Cсимметричная матрица А из φ и симметричная матрица B из ψ связаны следующим образом:

${\displaystyle B=C^{\mathrm {T} }AC.}$

В ассоциированная билинейная форма квадратичной формы q определяется

${\displaystyle b_{q}(x,y)={\tfrac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y))=x^{\mathrm {T} }Ay=y^{\mathrm {T} }Ax.}$

Таким образом, б_q это симметричная билинейная форма над K с матрицей А. Наоборот, любая симметричная билинейная форма б определяет квадратичную форму

${\displaystyle q(x)=b(x,x)}$

и эти два процесса противоположны друг другу. Как следствие, над полем характеристики, отличной от 2, теории симметричных билинейных форм и квадратичных форм в п переменные по сути одинаковы.

Квадратичные пространства

Квадратичная форма q в п переменные над K индуцирует отображение из п-мерное координатное пространство K^п в K:

${\displaystyle Q(v)=q(v),\quad v=[v_{1},\ldots ,v_{n}]^{\mathrm {T} }\in K^{n}.}$

Карта Q это однородная функция степени 2, что означает, что он обладает тем свойством, что для всех а в K и v в V:

${\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v).}$

Когда характеристика K не 2, билинейное отображение B : V × V → K над K ниже определяется:

${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).}$

Эта билинейная форма B симметрично, то есть B(Икс, у) = B(у, Икс) для всех Икс, у в V, и это определяет Q: Q(Икс) = B(Икс, Икс) для всех Икс в V.

Когда характеристика K равно 2, так что 2 не является единица измерения, по-прежнему можно использовать квадратичную форму для определения симметричной билинейной формы B′(Икс, у) = Q(Икс + у) − Q(Икс) − Q(у). Тем не мение, Q(Икс) больше не может быть восстановлено из этого B′ Точно так же, поскольку B′(Икс, Икс) = 0 для всех Икс (и поэтому чередуется^[8]). С другой стороны, всегда существует билинейная форма B″ (В общем случае не уникальное и не симметричное) такое, что B″(Икс, Икс) = Q(Икс).

Пара (V, Q) состоящий из конечномерного векторного пространства V над K и квадратичное отображение Q из V к K называется квадратичное пространство, и B как определено здесь, является ассоциированной симметричной билинейной формой Q. Понятие квадратичного пространства - это безкоординатная версия понятия квадратичной формы. Иногда, Q также называется квадратичной формой.

Два п-мерные квадратичные пространства (V, Q) и (V′, Q′) находятся изометрический если существует обратимое линейное преобразование Т : V → V′ (изометрия) такие, что

${\displaystyle Q(v)=Q'(Tv){\text{ for all }}v\in V.}$

Классы изометрии п-мерные квадратичные пространства над K соответствуют классам эквивалентности п-арные квадратичные формы над K.

Обобщение

Позволять р быть коммутативное кольцо, M быть р-модуль и б : M × M → р быть р-билинейная форма.^[9] Отображение q : M → р : v ↦ б(v, v) это ассоциированная квадратичная форма из б, и B : M × M → р : (ты, v) ↦ q(ты + v) − q(ты) − q(v) это полярная форма из q.

Квадратичная форма q : M → р могут быть охарактеризованы следующими эквивалентными способами:

• Существует р-билинейная форма б : M × M → р такой, что q(v) - ассоциированная квадратичная форма.
• q(средний) = а²q(v) для всех а ∈ р и v ∈ M, а полярная форма q является р-билинейный.

Связанные понятия

Смотрите также: Изотропная квадратичная форма

Два элемента v и ш из V называются ортогональный если B(v, ш) = 0. В ядро билинейной формы B состоит из элементов, ортогональных каждому элементу V. Q является неособый если ядро ​​связанной с ним билинейной формы - {0}. Если существует ненулевое v в V такой, что Q(v) = 0, квадратичная форма Q является изотропный, иначе это анизотропный. Эта терминология также применима к векторам и подпространствам квадратичного пространства. Если ограничение Q в подпространство U из V тождественно нулю, U является совершенно необычный.

Ортогональная группа неособой квадратичной формы Q - группа линейных автоморфизмов V что сохранить Q, т. е. группа изометрий (V, Q) в себя.

Если квадратичное пространство (А, Q) есть продукт, так что А является алгебра над полем, и удовлетворяет

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad Q(xy)=Q(x)Q(y),}$ тогда это композиционная алгебра.

Эквивалентность форм

Каждая квадратичная форма q в п переменных над полем характеристики не равной 2 эквивалент к диагональная форма

${\displaystyle q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}$

Такая диагональная форма часто обозначается как ${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle .}$Таким образом, классификация всех квадратичных форм с точностью до эквивалентности сводится к случаю диагональных форм.

Геометрический смысл

С помощью Декартовы координаты в трех измерениях, пусть ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{\text{T}}}$, и разреши ${\displaystyle A}$ быть симметричный Матрица 3 на 3. Тогда геометрическая природа набор решений уравнения ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\text{T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\text{T}}\mathbf {x} =1}$ зависит от собственных значений матрицы ${\displaystyle A}$.

Я упал собственные значения из ${\displaystyle A}$ отличны от нуля, то множество решений является эллипсоид или гиперболоид^{[нужна цитата ]}. Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это воображаемый эллипсоид (получаем уравнение эллипсоида, но с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид.

Если существует одно или несколько собственных значений ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$, то форма зависит от соответствующего ${\displaystyle b_{i}}$. Если соответствующие ${\displaystyle b_{i}\neq 0}$, то множество решений есть параболоид (эллиптический или гиперболический); если соответствующие ${\displaystyle b_{i}=0}$, то размерность ${\displaystyle i}$ вырождается и не играет роли, а геометрический смысл будет определяться другими собственными значениями и другими компонентами ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Когда набор решений является параболоидом, то его эллиптический или гиперболический характер определяется тем, имеют ли все другие ненулевые собственные значения один и тот же знак: если они есть, то оно эллиптическое; в противном случае он гиперболический.

Целочисленные квадратичные формы

Квадратичные формы над кольцом целых чисел называются целые квадратичные формы, а соответствующие модули квадратные решетки (иногда просто решетки ). Они играют важную роль в теория чисел и топология.

Целочисленная квадратичная форма имеет целые коэффициенты, например Икс² + ху + у²; эквивалентно, если дана решетка Λ в векторном пространстве V (над полем с характеристикой 0, например Q или же р) квадратичная форма Q является неотъемлемой частью относительно Λ тогда и только тогда, когда он целочислен на Λ, что означает Q(Икс, у) ∈ Z если Икс, у ∈ Λ.

Это текущее использование термина; в прошлом он иногда использовался иначе, как подробно описано ниже.

Историческое использование

Исторически сложилась путаница и разногласия по поводу того, является ли понятие интегральная квадратичная форма должно означать:

двое в

квадратичная форма, связанная с симметричной матрицей с целыми коэффициентами

двое из

многочлен с целыми коэффициентами (так что соответствующая симметричная матрица может иметь полуцелые коэффициенты вне диагонали)

Эта дискуссия возникла из-за смешения квадратичных форм (представленных многочленами) и симметричных билинейных форм (представленных матрицами), и теперь общепринятым условием является «выход двойки»; "двойки" - это теория целочисленных симметричных билинейных форм (целочисленных симметричных матриц).

В двойках бинарные квадратичные формы имеют вид ${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$, представленный симметричной матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}}$

это соглашение Гаусс использует в Disquisitiones Arithmeticae.

В случае двойки бинарные квадратичные формы имеют вид ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$, представленный симметричной матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}.}$

Несколько точек зрения означают, что двое из был принят в качестве стандартного соглашения. К ним относятся:

• лучшее понимание 2-адической теории квадратичных форм, «локального» источника трудности;
• в решетка точка зрения, которую обычно придерживались знатоки арифметики квадратичных форм в 1950-е годы;
• актуальные потребности в интегральной теории квадратичных форм в топология за теория пересечений;
• в Группа Ли и алгебраическая группа аспекты.

Универсальные квадратичные формы

Целую квадратичную форму, образ которой состоит из всех натуральных чисел, иногда называют универсальный. Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что ${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ универсален. Рамануджан обобщил это на ${\displaystyle aw^{2}+bx^{2}+cy^{2}+dz^{2}}$ и найдено 54 мультимножества {а, б, c, d} каждый из которых может генерировать все положительные целые числа, а именно,

{1, 1, 1, d}, 1 ≤ d ≤ 7

{1, 1, 2, d}, 2 ≤ d ≤ 14

{1, 1, 3, d}, 3 ≤ d ≤ 6

{1, 2, 2, d}, 2 ≤ d ≤ 7

{1, 2, 3, d}, 3 ≤ d ≤ 10

{1, 2, 4, d}, 4 ≤ d ≤ 14

{1, 2, 5, d}, 6 ≤ d ≤ 10

Есть также формы, образ которых состоит из всех положительных целых чисел, кроме одного. Например, для {1,2,5,5} исключение составляет 15. Недавно 15 и 290 теорем полностью охарактеризовали универсальные целочисленные квадратичные формы: если все коэффициенты являются целыми числами, то он представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда он представляет все целые числа до 290; если он имеет целочисленную матрицу, он представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда он представляет все целые числа до 15.

Смотрите также

• ε-квадратичная форма
• Кубическая форма
• Дискриминант квадратичной формы
• Теорема Хассе – Минковского
• Квадрик
• Тернарная квадратичная форма Рамануджана
• Квадратный класс
• Группа Витта
• Теорема Витта

Примечания

1. Традиция восходит к Гаусс диктует использование явно четных коэффициентов для произведений различных переменных, то есть 2б на месте б в двоичной форме и 2б, 2d, 2ж на месте б, d, ж в тройных формах. Оба соглашения встречаются в литературе.
2. от 2, т. е. если 2 обратима в кольце, квадратичные формы эквивалентны симметричные билинейные формы (посредством поляризационные тождества ), но у 2 это разные понятия; это различие особенно важно для квадратичных форм над целыми числами.
3. Вавилонский Пифагор
4. Биография Брахмагупты
5. Максим Бохер (с E.P.R. DuVal) (1907) Введение в высшую алгебру, § 45 Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. через HathiTrust
6. Если выполняется нестрогое неравенство (с ≥ или ≤), то квадратичная форма q называется полуопределенным.
7. Теория квадратичных форм над полем характеристики 2 имеет важные отличия, и многие определения и теоремы должны быть изменены.
8. Эта переменная форма, связанная с квадратичной формой характеристики 2, представляет интерес, связанный с Инвариант Arf – Ирвинг Каплански (1974), Линейная алгебра и геометрия, п. 27.
9. Билинейная форма, с которой связана квадратичная форма, не ограничивается симметрией, что имеет значение, когда 2 не является единицей в р.

Рекомендации

• О'Мира, О. (2000), Введение в квадратичные формы, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66564-9
• Конвей, Джон Хортон; Фанг, Фрэнсис Ю. К. (1997), Чувственная (квадратичная) форма, Математические монографии Каруса, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-030-5
• Шафаревич, И.; Ремизов А.О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer. ISBN  978-3-642-30993-9.

дальнейшее чтение

• Касселс, J.W.S. (1978). Рациональные квадратичные формы. Монографии Лондонского математического общества. 13. Академическая пресса. ISBN  0-12-163260-1. Zbl  0395.10029.
• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм. Кембриджские трактаты по математике. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями. Аспирантура по математике. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2. МИСТЕР  2104929. Zbl  1068.11023.
• Милнор, Дж.; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 73. Springer-Verlag. ISBN  3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016.
• О'Мира, О. (1973). Введение в квадратичные формы. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 117. Springer-Verlag. ISBN  3-540-66564-1. Zbl  0259.10018.
• Пфистер, Альбрехт (1995). Квадратичные формы с приложениями к алгебраической геометрии и топологии. Серия лекций Лондонского математического общества. 217. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46755-1. Zbl  0847.11014.

внешняя ссылка

• А.В. Малышев (2001) [1994], «Квадратичная форма», Энциклопедия математики, EMS Press
• А.В. Малышев (2001) [1994], «Двоичная квадратичная форма», Энциклопедия математики, EMS Press