Теорема Фермаца о суммах двух квадратов - Fermats theorem on sums of two squares - Wikipedia

В аддитивная теория чисел, Ферма теорема о суммах двух квадратов утверждает, что странный основной п можно выразить как:

{ displaystyle p = x ^ {2} + y ^ {2},}

с Икс и у целые числа, если и только если

{ Displaystyle p Equiv 1 { pmod {4}}.}

Простые числа, для которых это верно, называются Простые числа Пифагора Например, все простые числа 5, 13, 17, 29, 37 и 41 конгруэнтны 1. по модулю 4, и их можно выразить в виде суммы двух квадратов следующими способами:

{ displaystyle 5 = 1 ^ {2} + 2 ^ {2}, quad 13 = 2 ^ {2} + 3 ^ {2}, quad 17 = 1 ^ {2} + 4 ^ {2}, quad 29 = 2 ^ {2} + 5 ^ {2}, quad 37 = 1 ^ {2} + 6 ^ {2}, quad 41 = 4 ^ {2} + 5 ^ {2}.}

С другой стороны, простые числа 3, 7, 11, 19, 23 и 31 все конгруэнтны 3 по модулю 4, и ни одно из них не может быть выражено как сумма двух квадратов. Это самая легкая часть теоремы, и она сразу следует из наблюдения, что все квадраты сравнимы с 0 или 1 по модулю 4.

Поскольку Личность Диофанта означает, что произведение двух целых чисел, каждое из которых может быть записано как сумма двух квадратов, само выражается как сумма двух квадратов, применяя теорему Ферма к разложению на простые множители любого положительного целого числа п, мы видим, что если все простые множители п сравнимые с 3 по модулю 4, возникают с четным показателем, то п выражается в виде суммы двух квадратов. Верно и обратное.^[1] Это обобщение теоремы Ферма известно как теорема о сумме двух квадратов.

История

Альбер Жирар был первым, кто сделал наблюдение, описав все положительные целые числа (не обязательно простые), выражаемые как сумму двух квадратов положительных целых чисел; это было опубликовано в 1625 году.^[2]^[3] Утверждение, что каждое простое число п формы 4n + 1 сумму двух квадратов иногда называют Теорема Жирара.^[4] Со своей стороны, Ферма написал тщательно продуманный вариант утверждения (в котором он также привел количество возможных выражений степеней п в виде суммы двух квадратов) в письме к Марин Мерсенн от 25 декабря 1640 г .: по этой причине эту версию теоремы иногда называют Теорема Ферма о Рождестве.

Доказательства теоремы Ферма о суммах двух квадратов

Ферма обычно не записывал доказательства своих утверждений и не предоставлял доказательств этого утверждения. Первое доказательство было найдено Эйлер после больших усилий и основан на бесконечный спуск. Он сообщил об этом в двух письмах Гольдбах 6 мая 1747 г. и 12 апреля 1749 г .; он опубликовал подробное доказательство в двух статьях (между 1752 и 1755 годами).^[5]^[6] Лагранж дал доказательство в 1775 году, основанное на его исследовании квадратичные формы. Это доказательство было упрощено Гаусс в его Disquisitiones Arithmeticae (статья 182). Дедекинд дал по крайней мере два доказательства, основанные на арифметике Гауссовские целые числа. Есть элегантное доказательство, использующее Теорема Минковского о выпуклых множествах. Упрощение более раннего короткого доказательства за счет Хит-Браун (кто был вдохновлен Liouville идея), Загир представил неконструктивное доказательство в одно предложение в 1990 году.^[7]А совсем недавно Кристофер дал теоретико-разделенный доказательство.^[8]

Алгоритм

Вагон представил алгоритм для вычисления таких разложений в 1990 году, основанный на работе Серре и Эрмита (1848) и Корнаккиа (1908).^[9]

Связанные результаты

Ферма объявил о двух связанных результатах четырнадцать лет спустя. В письме к Блез Паскаль от 25 сентября 1654 г. он объявил следующие два результата для нечетных простых чисел ${ displaystyle p}$ :

${ displaystyle p = x ^ {2} + 2y ^ {2} Leftrightarrow p эквив 1 { mbox {или}} р эквив 3 { pmod {8}},}$
${ displaystyle p = x ^ {2} + 3y ^ {2} Leftrightarrow p Equiv 1 { pmod {3}}.}$

Он также написал:

Если два простых числа, оканчивающиеся на 3 или 7 и превосходящие на 3 кратное 4, умножаются, то их произведение будет состоять из квадрата и пятерки другого квадрата.

Другими словами, если р, д имеют вид 20k + 3 или 20k + 7, затем pq = Икс² + 5у². Позднее Эйлер расширил это до гипотезы о том, что

${ displaystyle p = x ^ {2} + 5y ^ {2} Leftrightarrow p эквив 1 { mbox {или}} р эквив 9 { pmod {20}},}$
${ displaystyle 2p = x ^ {2} + 5y ^ {2} Leftrightarrow p эквив 3 { mbox {или}} p эквив 7 { pmod {20}}.}$

И утверждение Ферма, и гипотеза Эйлера были установлены Лагранжем.

Смотрите также

Примечания

^ Для доказательства обратного см., Например, 20.1, теоремы 367 и 368, в: G.H. Харди и Э.М.Райт. Введение в теорию чисел, Оксфорд, 1938.
^ Саймон Стевин. l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges, аннотировано Альбертом Жираром, Leyde 1625, стр. 622.
^ Диксон Л. Э. История теории чисел. II, гл. VI, стр. 227. «А. Жирар ... уже определил числа, которые можно выразить как сумму двух целых квадратов: каждый квадрат, каждое простое число 4n + 1, произведение, образованное из таких чисел, и удвоение вышеуказанного»
^ Диксон Л.Э. История теории чисел. II, гл. VI, стр. 228.
^ De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum. (Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)
^ Demonstratio Theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13)
^ Загир, Д. (1990), "Доказательство из одного предложения, что каждое простое число п ≡ 1 (mod 4) представляет собой сумму двух квадратов », Американский математический ежемесячный журнал, 97 (2): 144, Дои:10.2307/2323918, МИСТЕР 1041893.
^ А. Дэвид Кристофер. "Теоретико-разделенное доказательство теоремы Ферма о двух квадратах", Дискретная математика 339: 4: 1410–1411 (6 апреля 2016 г.) Дои:10.1016 / j.disc.2015.12.002
^ Вагон, Стэн (1990), «Уголок редактора: евклидов алгоритм снова наносит удар», Американский математический ежемесячный журнал, 97 (2): 125, Дои:10.2307/2323912, МИСТЕР 1041889.