Тождество Брахмагупты – Фибоначчи - Brahmagupta–Fibonacci identity

В алгебра, то Тождество Брахмагупты – Фибоначчи^[1][2] выражает произведение двух сумм двух квадратов как сумму двух квадратов двумя разными способами. Следовательно, набор всех сумм двух квадратов равен закрыто при умножении. В частности, в личности написано

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

Например,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

Идентичность также известна как Личность Диофанта,^[3][4] как это было впервые доказано Диофант Александрийский. Это частный случай Тождество Эйлера с четырьмя квадратами, а также Личность Лагранжа.

Брахмагупта доказал и использовал более общее тождество ( Брахмагупта личность ), что эквивалентно

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

Это показывает, что для любого фиксированного А, множество всех чисел вида Икс² + Ау² замкнуто относительно умножения.

Эти тождества верны для всех целые числа, как и все рациональное число; в общем, они верны в любом коммутативное кольцо. Все четыре формы личности могут быть проверены расширение каждая сторона уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), изменив б чтобы -б, а также с (3) и (4).

История

Личность впервые появилась в Диофант ' Арифметика (III, 19), третьего века нашей эры. Он был заново открыт Брахмагуптой (598–668), Индийский математик и астроном, кто его обобщил (на Брахмагупта личность ) и использовал его в своем исследовании того, что сейчас называется Уравнение Пелла. Его Брахмаспхутасиддханта был переведен с санскрит в арабский к Мохаммад аль-Фазари, и впоследствии был переведен на латинский в 1126 г.^[5] Позже личность появилась в Фибоначчи с Книга квадратов в 1225 г.

Связанные личности

Аналогичные тождества Четыре квадрата Эйлера относится к кватернионы, и Восемь квадратов Дегена полученный из октонионы который связан с Периодичность Ботта. Существует также Личность Пфистера на шестнадцати квадратах, хотя он больше не является билинейным.

Умножение комплексных чисел

Если а, б, c, и d находятся действительные числа, тождество Брахмагупты – Фибоначчи эквивалентно свойству мультипликативности для абсолютных значений сложные числа:

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

Это можно увидеть следующим образом: развернув правую часть и возведя обе стороны в квадрат, свойство умножения эквивалентно

${\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}$

а по определению абсолютного значения это, в свою очередь, эквивалентно

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Эквивалентный расчет в случае, если переменные а, б, c, и d находятся рациональное число показывает, что личность может быть истолкована как утверждение, что норма в поле Q(я) является мультипликативным: норма дается формулой

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}$

и расчет мультипликативности такой же, как и предыдущий.

Приложение к уравнению Пелла

В исходном контексте Брахмагупта применил свое открытие этой идентичности к решению проблемы Уравнение Пелла Икс² − Ау² = 1. Используя тождество в более общем виде

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

умел «составлять» тройки (Икс₁, у₁, k₁) и (Икс₂, у₂, k₂), которые были решениями Икс² − Ау² = k, чтобы создать новую тройку

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Это не только дало возможность генерировать бесконечно много решений для Икс² − Ау² = 1, начиная с одного решения, но также, разделив такой состав на k₁k₂часто можно было получить целочисленные или «почти целые» решения. Общий метод решения уравнения Пелла, задаваемый формулой Бхаскара II в 1150 г., а именно чакравала (циклический) метод, также был основан на этой идентичности.^[6]

Запись целых чисел как суммы двух квадратов

При использовании вместе с одним из Теоремы Ферма, тождество Брахмагупты – Фибоначчи доказывает, что произведение квадрата и любого числа простых чисел вида 4п +1 - это сумма двух квадратов.

Смотрите также

• Матрица брахмагупты
• Индийская математика
• Список индийских математиков
• Теорема о сумме двух квадратов

Примечания

1. http://www.cut-the-knot.org/m/Algebra/BrahmaguptaFibonacci.shtml
2. Марк Чемберленд: Одиночные цифры: похвала малых чисел. Издательство Принстонского университета, 2015 г., ISBN  9781400865697, п. 60
3. Stillwell 2002, п. 76
4. Дэниел Шэнкс, Решенные и нерешенные проблемы теории чисел, стр.209, Американское математическое общество, четвертое издание 1993 г.
5. Джозеф 2000, п. 306
6. Stillwell 2002, стр. 72–76

Рекомендации

• Джозеф, Джордж Г. (2000), Гребень павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.), Princeton University Press, п. 306, г. ISBN  978-0-691-00659-8
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN  978-0-387-95336-6

внешняя ссылка

• Личность Брахмагупты в PlanetMath
• Идентичность Брахмагупты на MathWorld
• Коллекция алгебраических тождеств