Брахмагуптас личность - Brahmaguptas identity - Wikipedia

В алгебра, Личность Брахмагупты говорит, что для данного ${\displaystyle n}$, произведение двух чисел вида ${\displaystyle a^{2}+nb^{2}}$ сам по себе является числом этой формы. Другими словами, набор таких чисел есть закрыто при умножении. Конкретно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{aligned}}}$

И (1), и (2) можно проверить с помощью расширение каждая сторона уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), изменив б к -б.

Эта идентичность сохраняется как в кольцо целых чисел и кольцо рациональных чисел, и вообще в любом коммутативное кольцо.

История

Идентичность является обобщением так называемого Тождество Фибоначчи (куда п= 1), который фактически находится в Диофант ' Арифметика (III, 19) Эта идентичность была заново открыта Брахмагупта (598–668), Индийский математик и астроном, который обобщил его и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется Уравнение Пелла. Его Брахмаспхутасиддханта был переведен с санскрит в арабский к Мохаммад аль-Фазари, и впоследствии был переведен на латинский в 1126 г.^[1] Позже личность появилась в Фибоначчи с Книга квадратов в 1225 г.

Приложение к уравнению Пелла

В исходном контексте Брахмагупта применил свое открытие к решению того, что позже было названо Уравнение Пелла, а именно Икс² − Нью-Йорк² = 1. Используя тождество в виде

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

умел «составлять» тройки (Икс₁, у₁, k₁) и (Икс₂, у₂, k₂), которые были решениями Икс² − Нью-Йорк² = k, чтобы сгенерировать новую тройку

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

Это не только дало возможность генерировать бесконечно много решений для Икс² − Нью-Йорк² = 1, начиная с одного решения, но также, разделив такой состав на k₁k₂часто можно было получить целочисленные или «почти целые» решения. Общий метод решения уравнения Пелла, задаваемый формулой Бхаскара II в 1150 г., а именно чакравала (циклический) метод, также был основан на этом тождестве.^[2]

Смотрите также

• Матрица брахмагупты
• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
• Формула интерполяции Брахмагупты
• Индийская математика
• Список индийских математиков

Рекомендации

1. Джордж Дж. Джозеф (2000). Герб Павлина, п. 306. Princeton University Press. ISBN  0-691-00659-8.
2. Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN  978-0-387-95336-6

внешняя ссылка

• Личность Брахмагупты в PlanetMath
• Идентичность Брахмагупты на MathWorld
• Коллекция алгебраических тождеств