Лагранжи идентичности - Lagranges identity - Wikipedia

Для использования в других целях см. Лагранж (значения).

В алгебра, Личность Лагранжа, названный в честь Жозеф Луи Лагранж, является:^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&{\biggl (}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )},\end{aligned}}}$

который применяется к любым двум наборам {а₁, а₂, . . ., а_п} и {б₁, б₂, . . ., б_п} из настоящий или же сложные числа (или, в более общем смысле, элементы коммутативное кольцо ). Это тождество является обобщением Тождество Брахмагупты – Фибоначчи и особая форма Тождество Бине – Коши.

В более компактных векторных обозначениях личность Лагранжа выражается как:^[3]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}$

куда а и б находятся п-мерные векторы, компоненты которых являются действительными числами. Расширение комплексных чисел требует интерпретации скалярное произведение как внутренний продукт или эрмитово скалярное произведение. В явном виде для комплексных чисел личность Лагранжа может быть записана в виде:^[4]

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}}$

с участием абсолютная величина.^[5]

Поскольку правая часть тождества явно неотрицательна, отсюда следует Неравенство Коши в конечномерный реальное координатное пространство ℝ^п и его сложный аналог ℂ^п.

Геометрически тождество утверждает, что квадрат объема параллелепипеда, натянутого на набор векторов, равен Определитель грамма векторов.

Тождество Лагранжа и внешняя алгебра

Что касается клин, Тождество Лагранжа можно записать

${\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}$

Следовательно, это можно рассматривать как формулу, которая дает длину произведения клина двух векторов, которая является площадью параллелограмма, который они определяют, в терминах скалярных произведений двух векторов, как

${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}}}={\sqrt {\|a\|^{2}\|b\|^{2}-(a\cdot b)^{2}}}.}$

Тождество Лагранжа и векторное исчисление

В трех измерениях личность Лагранжа утверждает, что если а и б - векторы из ℝ³ с длинами |а| и |б|, то тождество Лагранжа можно записать в терминах перекрестное произведение и скалярное произведение:^[6][7]

${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=|\mathbf {a\times b} |^{2}}$

Используя определение угла на основе скалярное произведение (смотрите также Неравенство Коши – Шварца ) левая часть равна

${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}(1-\cos ^{2}\theta )=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}\sin ^{2}\theta }$

где θ - угол, образованный векторами а и б. Площадь параллелограмма со сторонами |а| и |б| а угол θ известен в элементарной геометрии как

${\displaystyle |\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\,|\sin \theta |,}$

поэтому левая часть тождества Лагранжа - это квадрат площади параллелограмма. Перекрестное произведение справа определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} }$

представляющий собой вектор, компоненты которого равны по величине площадям проекций параллелограмма на yz, zx, и ху самолеты соответственно.

Семь измерений

Основная статья: Семимерное перекрестное произведение

За а и б как векторы в ℝ⁷, Тождество Лагранжа принимает тот же вид, что и в случае ℝ^{3 [8]}

${\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}\ ,}$

Однако перекрестное произведение в 7 измерениях не обладает всеми свойствами перекрестного произведения в 3 измерениях. Например, направление а × б в 7-мерном может быть таким же, как c × d хотя c и d линейно независимы от а и б. Так же семимерное кросс-произведение не совместим с Личность Якоби.^[8]

Кватернионы

А кватернион п определяется как сумма скаляров т и вектор v:

${\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .}$

Произведение двух кватернионов п = т + v и q = s + ш определяется

${\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\ \mathbf {v} +t\ \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .}$

Кватернионный конъюгат q определяется

${\displaystyle {\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,}$

а квадрат нормы равен

${\displaystyle |q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.}$

Мультипликативность нормы в алгебре кватернионов обеспечивает для кватернионов п и q:^[9]

${\displaystyle |pq|=|p||q|.}$

Кватернионы п и q называются мнимыми, если их скалярная часть равна нулю; эквивалентно, если

${\displaystyle p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .}$

Тождество Лагранжа - это просто мультипликативность нормы мнимых кватернионов,

${\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2},}$

поскольку по определению

${\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.}$

Доказательство алгебраической формы

Векторная форма следует из тождества Бине-Коши, полагая c_я = а_я и d_я = б_я. Вторая версия следует из того, что c_я и d_я обозначить комплексные конъюгаты из а_я и б_я, соответственно,

Вот и прямое доказательство.^[10] Расширение первого члена в левой части:

(1)   ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}\ ,}$

что означает, что произведение столбца аs и ряд бs дает (сумму элементов) квадрат abs, который можно разбить на диагональ и пару треугольников по обе стороны от диагонали.

Второй член в левой части личности Лагранжа может быть расширен как:

(2)   ${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\ ,}$

Это означает, что симметричный квадрат можно разбить на диагональ и пару равных треугольников по обе стороны от диагонали.

Чтобы развернуть суммирование в правой части тождества Лагранжа, сначала разверните квадрат в сумме:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}).}$

Распределите сумму по правой части,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}.}$

Теперь обменяйте индексы я и j второго члена в правой части и переставляем б факторы третьего члена, дающие:

(3)   ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\ .}$

Вернемся к левой части идентичности Лагранжа: в ней есть два члена, представленные в развернутой форме уравнениями ('1 ') и ('2 '). Первый член в правой части уравнения ('2 ') заканчивает тем, что исключает первый член в правой части уравнения ('1 '), уступая

('1 ') - ('2 ') = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}}$

что совпадает с уравнением ('3 '), так что личность Лагранжа действительно идентична, Q.E.D..

Доказательство тождества Лагранжа для комплексных чисел

Нормированные алгебры с делением требуют, чтобы норма продукта была равна произведению норм. Это равенство демонстрирует тождество Лагранжа. Тождество произведения, используемое здесь в качестве отправной точки, является следствием нормы равенства произведения с произведением нормы для алгебр скаторов. Это предложение, первоначально представленное в контексте деформированной метрики Лоренца, основано на преобразовании, вытекающем из операции произведения и определения величины в гиперболической алгебре скаторов.^[11]Доказать личность Лагранжа можно разными способами.^[4]Большинство выводов используют идентичность в качестве отправной точки и тем или иным образом доказывают, что равенство истинно. В настоящем подходе личность Лагранжа фактически выводится без ее допущения. априори.^{[нужна цитата ]}

Позволять ${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} }$ быть комплексными числами, а черта сверху представляет комплексное сопряжение.

Фирменный стиль продукта ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)}$сводится к комплексному тождеству Лагранжа, когда рассматриваются члены четвертого порядка в разложении ряда.

Чтобы доказать это, разверните продукт на левой стороне идентичности продукта с точки зрения серии до четвертого порядка. С этой целью напомним, что продукты вида ${\displaystyle \left(1+x_{i}\right)}$ могут быть расширены в суммах как${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right)=1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i<j}^{n}x_{i}x_{j}+{\mathcal {O}}^{3+}(x),}$куда ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{3+}(x)}$ означает термины третьего порядка и выше ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}-b_{i}{\bar {b}}_{i}+a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.}$

Два фактора на правой стороне также записаны в виде серий${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right)\left(1-\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+{\mathcal {O}}^{5+}\right).}$

Произведение этого выражения до четвертого порядка равно

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}\left(1-b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=1-\sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}+b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}a_{j}{\bar {a}}_{j}+b_{i}{\bar {b}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}\right)+{\mathcal {O}}^{5+}.}$

Замена этих двух результатов в идентичности продукта дает

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{i}{\bar {b}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$

Произведение двух серий конъюгатов может быть выражено как серия, включающая произведение конъюгированных членов. Продукт сопряженного ряда ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {x}}_{i}+\sum _{i<j}^{n}\left(x_{i}{\bar {x}}_{j}+{\bar {x}}_{i}x_{j}\right)}$, таким образом

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)-\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}+{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$

Члены двух последних серий на LHS сгруппированы как ${\displaystyle a_{i}{\bar {a}}_{i}b_{j}{\bar {b}}_{j}+a_{j}{\bar {a}}_{j}b_{i}{\bar {b}}_{i}-a_{i}b_{i}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}-{\bar {a}}_{i}{\bar {b}}_{i}a_{j}b_{j}=\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\bar {a}}_{i}b_{j}-{\bar {a}}_{j}b_{i}\right),}$для получения сложной идентичности Лагранжа:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\overline {a_{i}b_{i}}}\right)+\sum _{i<j}^{n}\left(a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right)\left({\overline {a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}}}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}}_{i}\right).}$

По модулям

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum _{i<j}^{n}\left|a_{i}{\bar {b}}_{j}-a_{j}{\bar {b}}_{i}\right|^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\left|b_{i}\right|^{2}\right).}$

Тождество Лагранжа для комплексных чисел было получено из простого тождества произведения. Очевидно, что вывод действительных чисел еще более сжат. Поскольку неравенство Коши – Шварца является частным случаем тождества Лагранжа,^[4] это доказательство - еще один способ получить неравенство CS. Члены высшего порядка в серии создают новые идентичности.

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи
• Тождество Лагранжа (краевая задача)
• Тождество Бине – Коши

Рекомендации

1. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). CRC Press. ISBN  1-58488-347-2.
2. Роберт Э. Грин; Стивен Кранц (2006). «Упражнение 16». Теория функций одного комплексного переменного (3-е изд.). Американское математическое общество. п. 22. ISBN  0-8218-3962-4.
3. Владимир А. Бойченко; Геннадий Алексеевич Леонов; Фолькер Райтманн (2005). Теория размерности обыкновенных дифференциальных уравнений. Vieweg + Teubner Verlag. п. 26. ISBN  3-519-00437-2.
4. Дж. Майкл Стил (2004). «Упражнение 4.4. Тождество Лагранжа для комплексных чисел». Мастер-класс Коши-Шварца: введение в искусство математических неравенств. Издательство Кембриджского университета. С. 68–69. ISBN  0-521-54677-X.
5. Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2002). Теория функций одной комплексной переменной. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. п. 22, упражнение 16. ISBN  978-0-8218-2905-9.;
   Палка, Брюс П. (1991). Введение в теорию сложных функций. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. п.27, Упражнение 4.22. ISBN  978-0-387-97427-9..
6. Говард Антон; Крис Роррес (2010). «Отношения между скалярными и кросс-продуктами». Элементарная линейная алгебра: прикладная версия (10-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 162. ISBN  0-470-43205-5.
7. Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 94. ISBN  0-521-00551-5.
8. Дверь Пертти Лаунесто (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00551-5. Смотрите особенно § 7.4 Перекрестные произведения в ℝ⁷, п. 96.
9. Джек Б. Кейперс (2002). «§5.6 Норма». Кватернионы и последовательности вращения: учебник по орбитам. Издательство Принстонского университета. п. 111. ISBN  0-691-10298-8.
10. См., Например, Фрэнк Джонс, Университет Райса, стр. 4 в главе 7 книга еще не опубликована.
11. М. Фернандес-Гуасти, Альтернативная реализация для композиции релятивистских скоростей, Оптика и фотоника 2011, т. 8121 г. Природа света: что такое фотоны? IV, стр. 812108–1–11. SPIE, 2011.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Тождество Лагранжа». MathWorld.