Тождество Лагранжа (краевая задача) - Lagranges identity (boundary value problem) - Wikipedia

Для использования в других целях см. Лагранж (значения).

При изучении обыкновенные дифференциальные уравнения и связанные с ними краевые задачи, Личность Лагранжа, названный в честь Жозеф Луи Лагранж, дает граничные члены, возникающие из интеграция по частям самосопряженного линейного дифференциальный оператор. Лагранж лежит в основе Теория Штурма – Лиувилля. Более чем в одной независимой переменной тождество Лагранжа обобщается следующим образом: Вторая личность Грина.

Заявление

В общих чертах тождество Лагранжа для любой пары функций ты и v в функциональное пространство C² (т.е. дважды дифференцируемые) в п размеры:^[1]

${\displaystyle vL[u]-uL^{*}[v]=\nabla \cdot {\boldsymbol {M}},}$

куда:

${\displaystyle M_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\left(v{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}-u{\frac {\partial v}{\partial x_{j}}}\right)+uv\left(b_{i}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial x_{j}}}\right),}$

и

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {M}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}M_{i},}$

Оператор L и это сопряженный оператор L^* даны:

${\displaystyle L[u]=\sum _{i,\ j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu}$

и

${\displaystyle L^{*}[v]=\sum _{i,\ j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}(a_{i,j}v)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial (b_{i}v)}{\partial x_{i}}}+cv.}$

Если тождество Лагранжа интегрировано по ограниченной области, то теорема расходимости можно использовать для формирования Вторая личность Грина в виде:

${\displaystyle \int _{\Omega }vL[u]\ d\Omega =\int _{\Omega }uL^{*}[v]\ d\Omega +\int _{S}{\boldsymbol {M\cdot n}}\,dS,}$

куда S поверхность, ограничивающая объем Ω и п это единица, направленная наружу нормально к поверхности S.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Любой второй заказ обыкновенное дифференциальное уравнение формы:

${\displaystyle a(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b(x){\frac {dy}{dx}}+c(x)y+\lambda w(x)y=0,}$

можно представить в виде:^[2]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy}{dx}}\right)+\left(q(x)+\lambda w(x)\right)y(x)=0.}$

Эта общая форма мотивирует введение Оператор Штурма – Лиувилля L, определенная как операция над функцией ж такой, что:

${\displaystyle Lf={\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {df}{dx}}\right)+q(x)f.}$

Можно показать, что для любого ты и v для которого существуют различные производные, Личность Лагранжа для обыкновенных дифференциальных уравнений выполняется:^[2]

${\displaystyle uLv-vLu=-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right)\right].}$

Для обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных в интервале [0, 1], тождество Лагранжа можно проинтегрировать, чтобы получить интегральную форму (также известную как формула Грина):^[3][4][5][6]

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},}$

куда ${\displaystyle \ p=P(x)}$, ${\displaystyle \ q=Q(x)}$, ${\displaystyle \ u=U(x)}$ и ${\displaystyle \ v=V(x)}$ являются функциями ${\displaystyle \ x}$. ${\displaystyle \ u}$ и ${\displaystyle \ v}$ имеющая непрерывные вторые производные на интервал ${\displaystyle \ [0,1]}$.

Доказательство формы обыкновенных дифференциальных уравнений

У нас есть:

${\displaystyle uLv=u\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)+q(x)v\right],}$

и

${\displaystyle vLu=v\left[{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right)+q(x)u\right].}$

Вычитание:

${\displaystyle uLv-vLu=u{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dv}{dx}}\right)-v{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {du}{dx}}\right).}$

Ведущие приумножили ты и v можно переместить внутри дифференциация, потому что дополнительные дифференцированные термины в ты и v одинаковы в двух вычитаемых членах и просто компенсируют друг друга. Таким образом,

${\displaystyle uLv-vLu={\frac {d}{dx}}\left(p(x)u{\frac {dv}{dx}}\right)-{\frac {d}{dx}}\left(vp(x){\frac {du}{dx}}\right),}$

${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right],}$

что и есть личность Лагранжа. Интегрируем от нуля до единицы:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ dx\ (uLv-vLu)=\left[p(x)\left(u{\frac {dv}{dx}}-v{\frac {du}{dx}}\right)\right]_{0}^{1},}$

как должно было быть показано.

Рекомендации

1. Поль Дюшато, Дэвид В. Захманн (1986). «§8.3 Эллиптические краевые задачи». Очерк теории и проблем дифференциальных уравнений в частных производных Шаума. McGraw-Hill Professional. п. 103. ISBN  0-07-017897-6.
2. Дерек Ричардс (2002). «§10.4 Системы Штурма – Лиувилля». Продвинутые математические методы с Maple. Издательство Кембриджского университета. п. 354. ISBN  0-521-77981-2.
3. Норман В. Лони (2007). «Уравнение 6.73». Прикладные математические методы для инженеров-химиков (2-е изд.). CRC Press. п. 218. ISBN  0-8493-9778-2.
4. М. А. Аль-Гвайз (2008). «Упражнение 2.16». Теория Штурма – Лиувилля и ее приложения.. Springer. п. 66. ISBN  1-84628-971-8.
5. Уильям Э. Бойс и Ричард С. ДиПрима (2001). "Краевые задачи и теория Штурма – Лиувилля". Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи. (7-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. п.630. ISBN  0-471-31999-6. OCLC  64431691.
6. Джеральд Тешл (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.