Постоянная Ландау – Рамануджана - Landau–Ramanujan constant

В математика и область теория чисел, то Постоянная Ландау – Рамануджана положительное действительное число б что встречается в теореме, доказанной Эдмунд Ландау в 1908 г.,[1] заявляя, что для больших Икс, номер положительные целые числа ниже Икс это сумма двух квадратные числа ведет себя асимптотически как

Эта постоянный б был заново открыт в 1913 году Шриниваса Рамануджан, в первом письме он написал G.H. Харди.[2]

Суммы двух квадратов

Посредством теорема о сумме двух квадратов, числа, которые могут быть выражены как сумма двух квадратов целых чисел, - это те числа, для которых каждое простое число конгруэнтно 3 mod 4 появляется с четным показателем в их простые множители. Например, 45 = 9 + 36 - это сумма двух квадратов; в разложении на простые множители, 32 × 5 простое число 3 появляется с четным показателем, а простое число 5 конгруэнтно 1 по модулю 4, поэтому его показатель может быть нечетным.

Теорема Ландау утверждает, что если N(Икс) - количество натуральных чисел меньше Икс это сумма двух квадратов, то

(последовательность A064533 в OEIS ),

где б - постоянная Ландау – Рамануджана.

История

Эта постоянная была указана Ландау в предельной форме выше; Рамануджан вместо приближенного N(Икс) в виде интеграла, с той же постоянной пропорциональности и с медленно растущим членом ошибки.[3]

использованная литература

  1. ^ Эдмунд Ландау, Über die Einteilung der positive ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer addn Zusammensetzung erforderlichen Quadrate, Archiv der Mathematik und Physik (3) 13 (1908), 305-312.
  2. ^ С. Рамануджан, письмо G.H. Харди, 16 января 1913 г .; см .: П. Мори и Дж. Казаран, О заявлении Рамануджана в его первом письме Харди, Экспозиция. Математика. 17 (1999), № 4, 289-311.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Константа Ландау – Рамануджана». MathWorld.