Квадратный номер - Square number

В математика, а квадратный номер или же идеальный квадрат является целое число это квадрат целого числа;^[1] другими словами, это товар некоторого целого числа с собой. Например, 9 - квадратное число, так как его можно записать как $3 \times 3$ .

Обычное обозначение квадрата числа $п$ это не продукт $п \times п$ , но эквивалент возведение в степень $п 2$ , обычно произносится как " $п$ в квадрате ". Имя квадрат число происходит от названия формы. Единица площадь определяется как площадь единичный квадрат ( $1 \times 1$ ). Следовательно, квадрат со стороной $п$ имеет площадь $п 2$ . Другими словами, если квадратное число представлено п точек, точки могут быть расположены рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из п; таким образом, квадратные числа представляют собой тип фигурных чисел (другими примерами являются числа куба и треугольные числа ).

Квадратные числа неотрицательный. Другой способ сказать, что (неотрицательное) целое число является квадратным числом, состоит в том, что его квадратный корень снова целое число. Например, √9 = 3, поэтому 9 - квадратное число.

Положительное целое число, не имеющее полного квадрата делители кроме 1 называется без квадратов.

Для неотрицательного целого числа $п$ , то $п$ й квадратный номер $п 2$ , с $02 = 0$ будучи нулевой один. Понятие квадрата можно распространить на некоторые другие системы счисления. Если рациональный числа включены, тогда квадрат - это отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел - это квадрат, например, ${ displaystyle textstyle { frac {4} {9}} = left ({ frac {2} {3}} right) ^ {2}}$ .

Начиная с 1, есть $⌊ \sqrt м ⌋$ квадратные числа до $м$ , где выражение $⌊ Икс ⌋$ представляет этаж числа $Икс$ .

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60² = 3600 являются:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

Отличие любого идеального квадрата от его предшественника заключается в идентичности $п 2 - (п - 1) 2 = 2 п - 1$ . Точно так же можно подсчитывать квадратные числа, складывая последний квадрат, последний квадратный корень и текущий корень, то есть $п 2 = (п - 1) 2 + (п - 1) + п$ .

Характеристики

Номер м является квадратным числом тогда и только тогда, когда можно расположить м точки в квадрате:

$м = 1 2 = 1$
$м = 2 2 = 4$
$м = 3 2 = 9$
$м = 4 2 = 16$
$м = 5 2 = 25$

Выражение для $п$ й квадратный номер $п 2$ . Это также равно сумме первых $п$ нечетные числа как видно на приведенных выше рисунках, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного количества точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая:

{ displaystyle n ^ {2} = sum _ {k = 1} ^ {n} (2k-1).}

Например, $52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ .

Сумма первых п нечетные целые числа п². 1 + 3 + 5 + ... + (2п − 1) = п². Анимированная 3D визуализация на тетраэдре.

Есть несколько рекурсивный методы вычисления квадратных чисел. Например, $п$ номер квадрата может быть вычислен из предыдущего квадрата с помощью $п 2 = (п - 1) 2 + (п - 1) + n = (п - 1) 2 + (2 п - 1)$ . В качестве альтернативы $п$ -ое квадратное число может быть вычислено из двух предыдущих, удвоив $(п - 1)$ -й квадрат, вычитая $(п - 2)$ -го квадратного числа и прибавив 2, потому что $п 2 = 2(п - 1) 2 - (п - 2) 2 + 2$ . Например,

2 \times 5 2 - 4 2 + 2 = 2 \times 25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 6 2

.

На одно число меньше квадрата (м - 1) всегда является продуктом √м - 1 и √м + 1 (например, 8 × 6 равно 48, а 7² равно 49). Таким образом, 3 - единственное простое число, на единицу меньше квадрата.

Квадратное число - это также сумма двух последовательных треугольные числа. Сумма двух последовательных квадратных чисел равна число в центре квадрата. Каждый нечетный квадрат также является центрированное восьмиугольное число.

Еще одно свойство квадратного числа состоит в том, что (кроме 0) оно имеет нечетное число положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное число положительных делителей. Целочисленный корень - это единственный делитель, который соединяется сам с собой, чтобы получить квадратное число, в то время как другие делители попадают в пары.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число может быть записано как сумма четырех или менее полных квадратов. Трех квадратов недостаточно для чисел вида $4 k (8 м + 7)$ . Положительное целое число можно представить в виде суммы двух квадратов, если оно простые множители не содержит нечетных степеней простых чисел вида $4 k + 3$ . Это обобщается Проблема Варинга.

В база 10, квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9, как показано ниже:

если последняя цифра числа равна 0, его квадрат заканчивается на 0 (фактически, последние две цифры должны быть 00);
если последняя цифра числа 1 или 9, его квадрат заканчивается на 1;
если последняя цифра числа 2 или 8, его квадрат заканчивается на 4;
если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат заканчивается на 9;
если последняя цифра числа 4 или 6, его квадрат заканчивается на 6; и
если последняя цифра числа равна 5, его квадрат заканчивается на 5 (фактически, последние две цифры должны быть 25).

В база 12, квадратное число может заканчиваться только квадратными цифрами (например, в базе 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или цифрами 1), то есть 0, 1, 4 или 9, как показано ниже:

если число делится как на 2, так и на 3 (т.е. делится на 6), его квадрат заканчивается на 0;
если число не делится ни на 2, ни на 3, его квадрат заканчивается на 1;
если число делится на 2, но не на 3, его квадрат заканчивается на 4; и
если число делится не на 2, а на 3, его квадрат заканчивается на 9.

Аналогичные правила могут быть заданы для других оснований или для более ранних цифр (например, десятки вместо цифры единиц).^{[нужна цитата ]} Все такие правила можно доказать, проверив фиксированное количество случаев и используя модульная арифметика.

В общем, если основной $п$ делит квадратное число $м$ затем квадрат $п$ должен также разделить $м$ ; если $п$ не может разделить $м / п$ , тогда $м$ определенно не квадратный. Повторяя деления из предыдущего предложения, можно сделать вывод, что каждое простое число должно делить данный идеальный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число $м$ является квадратным числом тогда и только тогда, когда в его каноническое представление, все показатели четные.

Тестирование квадрата может использоваться как альтернативный способ в факторизация большого количества. Вместо проверки на делимость, проверяйте на квадратность: для данного $м$ и некоторое количество $k$ , если $k 2 - м$ это квадрат целого числа $п$ тогда $k - п$ разделяет $м$ . (Это приложение факторизации разница двух квадратов.) Например, $1002 - 9991$ это квадрат 3, следовательно, $100 - 3$ делит 9991. Этот тест детерминирован для нечетных делителей в диапазоне от $k - п$ к $k + п$ куда $k$ охватывает некоторый диапазон натуральных чисел $k \geq \sqrt м$ .

Квадратное число не может быть идеальное число.

Сумма п первые квадратные числа

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ {N} n ^ {2} = 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + cdots + N ^ {2} = { frac {N (N + 1) (2N + 1)} {6}}.}

Первые значения этих сумм, квадратные пирамидальные числа, являются: (последовательность A000330 в OEIS )

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7 и т. Д.

Сумма п первый кубики это квадрат суммы п первые положительные целые числа; это Теорема Никомаха.

Все четвертые, шестые, восьмые и т. Д. - квадраты.

Нечетные и четные квадратные числа

Квадраты четных чисел четные (и на самом деле делятся на 4), поскольку $(2 п) 2 = 4 п 2$ .

Квадраты нечетных чисел нечетные, так как $(2 п + 1) 2 = 4(п 2 + п) + 1$ .

Отсюда следует, что квадратные корни из четных квадратных чисел четны, а квадратные корни из нечетных квадратных чисел нечетны.

Поскольку все четные квадратные числа делятся на 4, четные числа вида $4 п + 2$ не квадратные числа.

Поскольку все нечетные квадратные числа имеют вид $4 п + 1$ , нечетные числа вида $4 п + 3$ не квадратные числа.

Квадраты нечетных чисел имеют вид $8 п + 1$ , поскольку $(2 п + 1) 2 = 4 п (п + 1) + 1$ и $п (п + 1)$ - четное число.

Каждый нечетный совершенный квадрат - это центрированное восьмиугольное число. Разница между любыми двумя нечетными полными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым большим нечетным совершенным квадратом всегда в восемь раз больше треугольного числа, в то время как разница между 9 и любым большим нечетным полным квадратом в восемь раз больше треугольного числа минус 8. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но не два значения $2 п$ отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный точный квадрат формы $2 п - 1$ равно 1, и единственный полный квадрат формы $2 п + 1$ это 9.

Особые случаи

Если номер имеет вид $м 5$ куда $м$ представляет предыдущие цифры, его квадрат $п 25$ куда $п = м (м + 1)$ и представляет цифры до 25. Например, квадрат 65 можно вычислить следующим образом: $п = 6 \times (6 + 1) = 42$ что делает квадрат равным 4225.
Если номер имеет вид $м 0$ куда $м$ представляет предыдущие цифры, его квадрат $п 00$ куда $п = м 2$ . Например, квадрат 70 - это 4900.
Если номер состоит из двух цифр и имеет вид $5 м$ куда $м$ представляет цифру единиц, его квадрат $aabb$ куда $аа = 25 + м$ и $bb = м 2$ . Пример: чтобы вычислить квадрат 57, 25 + 7 = 32 и 7² = 49, что означает 57² = 3249.
Если число заканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5; аналогично для оканчивающихся на 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 и т. д. Если число заканчивается на 6, его квадрат будет заканчиваться на 6, аналогично для оканчивающихся на 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Например, квадрат 55376 равен 3066501376, оба оканчиваются на 376. (Цифры 5, 6, 25, 76 и т. Д. Называются автоморфные числа. Это последовательность A003226 в OEIS.^[2])

Смотрите также

Тождество Брахмагупты – Фибоначчи - Выражение произведения сумм квадратов как суммы квадратов
Кубическое число - Число в третьей степени
Тождество Эйлера с четырьмя квадратами - произведение сумм четырех квадратов - это сумма четырех квадратов.
Теорема Ферма о суммах двух квадратов - Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов
Некоторые идентичности с участием нескольких квадратов
Целочисленный квадратный корень - большее целое число, меньшее квадратного корня
Методы вычисления квадратных корней - Алгоритмы вычисления квадратных корней
Сила двух - Два в степени целого числа
Пифагорейская тройка - Три натуральных числа, квадраты двух из которых суммируются с квадратом третьего
Квадратичный остаток - Целое число, представляющее собой полный квадрат по модулю некоторого целого числа
Квадратичная функция - Полиномиальная функция второй степени
Квадратное треугольное число - Целое число, которое одновременно является квадратом и треугольником.

Примечания

^ Некоторые авторы также называют квадраты рациональное число идеальные квадраты.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A003226 (автоморфные числа: n ^ 2 заканчивается на n.)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

дальнейшее чтение

Конвей, Дж. Х. и Гай, Р. К. Книга чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
Киран Парулекар. Удивительные свойства квадратов и их вычисления. Киран Анил Парулекар, 2012 г. https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC&source=gbs_navlinks_s

[1] Некоторые авторы также называют квадраты рациональное число идеальные квадраты.

[2] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A003226 (автоморфные числа: n ^ 2 заканчивается на n.)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

[1]

[2]