Сумма-номер продукта - Sum-product number

Не путать с Продукт над суммой.

А сумма-номер продукта в данном база чисел ${displaystyle b}$ - натуральное число, равное произведению суммы цифр и произведения цифр.

В любой данной базе имеется конечное число сумм-произведений чисел. ${displaystyle b}$.^[1] В базе 10 ровно четыре числа суммы-произведения (последовательность A038369 в OEIS ): 0, 1, 135 и 144.^[2]

Определение

Позволять ${displaystyle n}$ быть натуральным числом. Мы определяем функция суммы-произведения для базы ${displaystyle b>1}$ ${displaystyle F_{b}:mathbb {N} ightarrow mathbb {N} }$ быть следующим:

${displaystyle F_{b}(n)=left(sum _{i=1}^{l}d_{i}ight)left(prod _{j=1}^{l}d_{j}ight)}$

где ${displaystyle k=lfloor log _{b}{n}floor +1}$ это количество цифр в числе в базе ${displaystyle b}$, и

${displaystyle d_{i}={frac {n{mod {b^{i+1}}}-n{mod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число ${displaystyle n}$ это сумма-номер продукта если это фиксированная точка для ${displaystyle F_{b}}$, что происходит, если ${displaystyle F_{b}(n)=n}$. Натуральные числа 0 и 1 равны тривиальные числа сумма-произведение для всех ${displaystyle b}$, а все остальные числа суммы-произведения нетривиальные числа сумма-произведение.

Например, число 144 в база 10 - это сумма произведения, потому что ${displaystyle 1+4+4=9}$, ${displaystyle (1)(4)(4)=16}$, и ${displaystyle (9)(16)=144}$.

Натуральное число ${displaystyle n}$ это общительный номер суммы-продукта если это периодическая точка для ${displaystyle F_{b}}$, где ${displaystyle F_{b}^{p}(n)=n}$ для положительного целого числа ${displaystyle p}$, и образует цикл периода ${displaystyle p}$. Номер суммы-продукта - это общительный номер-сумма-продукт с ${displaystyle p=1}$, а мировая сумма-номер продукта это общительный номер суммы-продукта с ${displaystyle p=2}$.

Все натуральные числа ${displaystyle n}$ находятся препериодические точки для ${displaystyle F_{b}}$, вне зависимости от базы. Это потому, что для любого количества цифр ${displaystyle k}$, минимально возможное значение ${displaystyle n}$ является ${displaystyle b^{k-1}}$ и максимально возможное значение ${displaystyle n}$ является ${displaystyle b^{k}-1=sum _{i=0}^{k-1}(b-1)^{k}}$. Таким образом, максимально возможная сумма цифр ${displaystyle k(b-1)}$ и максимально возможное цифровое произведение ${displaystyle (b-1)^{k}}$. Таким образом, значение функции сумма-произведение равно ${displaystyle F_{b}(n)=k(b-1)^{k+1}}$. Это говорит о том, что ${displaystyle k(b-1)^{k+1}geq ngeq b^{k-1}}$, или разделив обе стороны на ${displaystyle {(b-1)}^{k-1}}$, ${displaystyle k(b-1)^{2}geq {left({frac {b}{b-1}}ight)}^{k-1}}$. поскольку ${displaystyle {frac {b}{b-1}}geq 1}$, это означает, что будет максимальное значение ${displaystyle k}$ где ${displaystyle {left({frac {b}{b-1}}ight)}^{k}leq k(b-1)^{2}}$, из-за экспоненциальный природа ${displaystyle {left({frac {b}{b-1}}ight)}^{k}}$ и линейность из ${displaystyle k(b-1)^{2}}$. За пределами этого значения ${displaystyle k}$, ${displaystyle F_{b}(n)leq n}$ всегда. Таким образом, существует конечное число сумм-произведений чисел,^[1] и любое натуральное число гарантированно достигает периодической точки или фиксированной точки меньше, чем ${displaystyle b^{k}-1}$, что делает его предпериодической точкой.

Количество итераций ${displaystyle i}$ необходимо для ${displaystyle F_{b}^{i}(n)}$ достичь фиксированной точки - это функция сумм-произведений упорство из ${displaystyle n}$, и undefined, если он никогда не достигает фиксированной точки.

Любое целое число, показанное как число сумм-произведений в данной основе, должно, по определению, также быть Номер Харшада в этой базе.

Суммарные числа произведений и циклы F_б для конкретных б

Все числа представлены в базе ${displaystyle b}$.

База	Нетривиальные числа сумма-произведение	Циклы
2	(никто)	(никто)
3	(никто)	2 → 11 → 2, 22 → 121 → 22
4	12	(никто)
5	341	22 → 31 → 22
6	(никто)	(никто)
7	22, 242, 1254, 2343, 116655, 346236, 424644
8	(никто)
9	13, 281876, 724856, 7487248	53 → 143 → 116 → 53
10	135, 144
11	253, 419, 2189, 7634, 82974
12	128, 173, 353
13	435, A644, 268956
14	328, 544, 818C
15	2585
16	14
17	33, 3B2, 3993, 3E1E, C34D, C8A2
18	175, 2Д2, 4Б2
19	873, B1E, 24A8, EAH1, 1A78A, 6EC4B7
20	1D3, 14C9C, 22DCCG
21	1CC69
22	24, 366C, 6L1E, 4796G
23	7D2, J92, 25EH6
24	33DC
25	15, БД75, 1ББН8А
26	81M, JN44, 2C88G, EH888
27	${displaystyle varnothing }$
28	15B
29	${displaystyle varnothing }$
30	976, 85MDA
31	44, 13H, 1E5
32	${displaystyle varnothing }$
33	1КС69, 54HSA
34	25Q8, 16L6W, B6CBQ
35	4U5W5
36	16, 22O

Расширение до отрицательных целых чисел

Числа сумм-произведений могут быть расширены до отрицательных целых чисел с помощью представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Пример программирования

В приведенном ниже примере реализуется функция суммы-произведения, описанная в определении выше. для поиска сумм-произведений чисел и циклов в Python.

def sum_product(Икс: int, б: int) -> int:    "" "Сумма-номер продукта." ""    sum_x = 0    товар = 1    в то время как Икс > 0:        если Икс % б > 0:            sum_x = sum_x + Икс % б            товар = товар * (Икс % б)        Икс = Икс // б    вернуть sum_x * товарdef sum_product_cycle(Икс: int, б: int) -> список[int]:    видел = []    в то время как Икс не в видел:        видел.добавить(Икс)        Икс = sum_product(Икс, б)    цикл = []    в то время как Икс не в цикл:        цикл.добавить(Икс)        Икс = sum_product(Икс, б)    вернуть цикл

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Факторион
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный инвариант между цифрами
• Идеальный цифровой инвариант

использованная литература

1. Доказательство того, что количество сумм-произведений чисел в любой базе конечно, PlanetMath. В архиве 2013-05-09 в Wayback Machine Раймонд Пузио
2. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A038369 (числа n такие, что n = (произведение цифр n) * (сумма цифр n).)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.