Номер Кита - Keith number

В теория чисел, а Номер Кита или же номер переустановки (Короче для представительэтитивный Fибоначчи digit) это натуральное число ${ displaystyle n}$ в данном база чисел ${ displaystyle b}$ с ${ displaystyle k}$ цифры такие, что при создании последовательности первая ${ displaystyle k}$ условия являются ${ displaystyle k}$ цифры ${ displaystyle n}$ и каждый последующий член - это сумма предыдущих ${ displaystyle k}$ термины, ${ displaystyle n}$ является частью последовательности. Числа Кита были введены Майк Кейт в 1987 г.^[1]Их очень сложно найти в вычислительном отношении, известно всего около 100.

Определение

Позволять ${ displaystyle n}$ быть натуральное число, позволять ${ Displaystyle к = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ быть количеством цифр в числе в базе ${ displaystyle b}$ , и разреши

{ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b}} ^ {i + 1} -n { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

быть значением каждой цифры числа.

Мы определяем линейное рекуррентное соотношение ${ Displaystyle S (я)}$ так что для ${ Displaystyle 0 Leq я <к}$ ,

{ Displaystyle S (я) = d_ {к-я-1}}

и для ${ displaystyle i geq k}$

{ Displaystyle S (я) = сумма _ {j = 0} ^ {k} S (i-k + j)}

Если существует ${ displaystyle i}$ такой, что ${ Displaystyle S (я) = п}$ , тогда ${ displaystyle n}$ считается Номер Кита.

Например, 88 - это число Кита в база 6, так как

{ Displaystyle S (0) = d_ {3-0-1} = d_ {2} = { frac {88 { bmod {6}} ^ {2 + 1} -88 { bmod {6}} ^ {2}} {6 ^ {2}}} = { frac {88 { bmod {2}} 16-88 { bmod {3}} 6} {36}} = { frac {88-16} {36}} = { frac {72} {36}} = 2}

{ Displaystyle S (1) = d_ {3-1-1} = d_ {1} = { frac {88 { bmod {6}} ^ {1 + 1} -88 { bmod {6}} ^ {1}} {6 ^ {1}}} = { frac {88 { bmod {3}} 6-88 { bmod {6}}} {6}} = { frac {16-4} { 6}} = { frac {12} {6}} = 2}

{ Displaystyle S (2) = d_ {3-2-1} = d_ {0} = { frac {88 { bmod {6}} ^ {0 + 1} -88 { bmod {6}} ^ {0}} {6 ^ {0}}} = { frac {88 { bmod {6}} - 88 { bmod {1}}} {1}} = { frac {4-0} {1 }} = { frac {4} {1}} = 4}

и вся последовательность

{ Displaystyle S (я) = {2,2,4,8,14,26,48,88,162, ldots }}

и ${ Displaystyle S (7) = 88}$ .

Поиск чисел Кита

Есть ли бесконечно много чисел Кейта в определенной базе ${ displaystyle b}$ в настоящее время является предметом предположений. Числа Кита редки, и их трудно найти. Их можно найти с помощью исчерпывающего поиска, и более эффективного алгоритма не известно.^[2]По словам Кейта, в база 10, в среднем ${ displaystyle textstyle { frac {9} {10}} log _ {2} {10} приблизительно 2,99}$ Ожидается, что числа Кита находятся между последовательными степенями 10.^[3] Известные результаты, кажется, подтверждают это.

Примеры

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297, ... ^[4]

Другие базы

В база 2, существует метод построения всех чисел Кита.^[3]

Числа Кита в база 12, записанные по основанию 12, являются

11, 15, 1Ɛ, 22, 2, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24 ᘔ, 405, 42, 654, 80 ᘔ, 8 3, ᘔ 59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4 ᘔ 1 ᘔ, 4 ᘔƐ1, 50 ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24 ᘔ 78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ, 157617, 1 ᘔ 265 ᘔ, 5 4074, 5 ᘔƐ140, 6Ɛ1514 ...

Кит Кластерс

Кластер Кейта - это связанный набор чисел Кейта, одно из которых кратно другому. Например, в база 10, ${ displaystyle {14,28 }}$ , ${ displaystyle {1104,2208 }}$ , и ${ displaystyle {31331,62662,93993 }}$ все группы Кита. Возможно, это единственные три примера кластера Кита в база 10.^[5]

Пример программирования

Пример ниже реализует последовательность, определенную выше в Python чтобы определить, является ли число в определенной системе основанием числом Кита:

def is_repfigit(Икс: int, б: int) -> bool:    "" "Определите, является ли число в определенной системе основанием числом Кита." ""    если Икс == 0:        возвращаться Истинный    последовательность = []    у = Икс    пока у > 0:        последовательность.добавить(у % б)        у = у // б    digit_count = len(последовательность)    последовательность.обеспечить регресс()    пока последовательность[len(последовательность) - 1] < Икс:        п = 0        за я в ассортимент(0, digit_count):            п = п + последовательность[len(последовательность) - digit_count + я]        последовательность.добавить(п)    возвращаться (последовательность[len(последовательность) - 1] == Икс)