Сверхсовершенное число - Hyperperfect number

В математика, а k-совершенное число это натуральное число п для которого равенство п = 1 + k(σ(п) − п - 1), где σ(п) это делительная функция (т.е. сумма всех положительных делители из п). А гиперсовершенное число это k-суперфектное число для некоторого целого числа k. Сверхсовершенные числа обобщают идеальные числа, которые являются 1-гиперсовершенными.^[1]

Первые несколько чисел в последовательности k-суперфектные числа: 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, ... (последовательность A034897 в OEIS ), с соответствующими значениями k быть 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (последовательность A034898 в OEIS ). Первые несколько k-суперфектные числа, которые не идеальны: 21, 301, 325, 697, 1333, ... (последовательность A007592 в OEIS ).

Список гиперсовершенных чисел

В следующей таблице перечислены первые несколько k-сверхидеальные числа для некоторых значений k, вместе с порядковым номером в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей (OEIS) последовательности k-сверхидеальные числа:

k	OEIS	Некоторые известные k-сверхидеальные числа
1	OEIS: A000396	6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
2	OEIS: A007593	21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ...
3		325, ...
4		1950625, 1220640625, ...
6	OEIS: A028499	301, 16513, 60110701, 1977225901, ...
10		159841, ...
11		10693, ...
12	OEIS: A028500	697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ...
18	OEIS: A028501	1333, 1909, 2469601, 893748277, ...
19		51301, ...
30		3901, 28600321, ...
31		214273, ...
35		306181, ...
40		115788961, ...
48		26977, 9560844577, ...
59		1433701, ...
60		24601, ...
66		296341, ...
75		2924101, ...
78		486877, ...
91		5199013, ...
100		10509080401, ...
108		275833, ...
126		12161963773, ...
132		96361, 130153, 495529, ...
136		156276648817, ...
138		46727970517, 51886178401, ...
140		1118457481, ...
168		250321, ...
174		7744461466717, ...
180		12211188308281, ...
190		1167773821, ...
192		163201, 137008036993, ...
198		1564317613, ...
206		626946794653, 54114833564509, ...
222		348231627849277, ...
228		391854937, 102744892633, 3710434289467, ...
252		389593, 1218260233, ...
276		72315968283289, ...
282		8898807853477, ...
296		444574821937, ...
342		542413, 26199602893, ...
348		66239465233897, ...
350		140460782701, ...
360		23911458481, ...
366		808861, ...
372		2469439417, ...
396		8432772615433, ...
402		8942902453, 813535908179653, ...
408		1238906223697, ...
414		8062678298557, ...
430		124528653669661, ...
438		6287557453, ...
480		1324790832961, ...
522		723378252872773, 106049331638192773, ...
546		211125067071829, ...
570		1345711391461, 5810517340434661, ...
660		13786783637881, ...
672		142718568339485377, ...
684		154643791177, ...
774		8695993590900027, ...
810		5646270598021, ...
814		31571188513, ...
816		31571188513, ...
820		1119337766869561, ...
968		52335185632753, ...
972		289085338292617, ...
978		60246544949557, ...
1050		64169172901, ...
1410		80293806421, ...
2772	OEIS: A028502	95295817, 124035913, ...
3918		61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ...
9222		404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ...
9828		432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ...
14280		848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ...
23730		2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ...
31752	OEIS: A034916	4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ...
55848		15166641361, 44783952721, 67623550801, ...
67782		18407557741, 18444431149, 34939858669, ...
92568		50611924273, 64781493169, 84213367729, ...
100932		50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

Можно показать, что если k > 1 - это странный целое число и п = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 сотки простые числа, тогда п²q является k-совершенный; В 2000 году Джадсон С. МакКрени предположил, что все k-суперфектные числа для нечетных k > 1 имеют такую ​​форму, но гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если п ≠ q нечетные простые числа и k такое целое число, что k(п + q) = pq - 1, то pq является k-совершенно.

Также можно показать, что если k > 0 и п = k + 1 простое, то для всех я > 1 такой, что q = п^я − п +1 простое, п = п^{я − 1}q является k-совершенно. В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения я для которого п является k-совершенно:

k	OEIS	Ценности я
16	OEIS: A034922	11, 21, 127, 149, 469, ...
22		17, 61, 445, ...
28		33, 89, 101, ...
36		67, 95, 341, ...
42	OEIS: A034923	4, 6, 42, 64, 65, ...
46	OEIS: A034924	5, 11, 13, 53, 115, ...
52		21, 173, ...
58		11, 117, ...
72		21, 49, ...
88	OEIS: A034925	9, 41, 51, 109, 483, ...
96		6, 11, 34, ...
100	OEIS: A034926	3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

Гипердефицит

Недавно введенная математическая концепция гипердефицит относится к гиперсовершенные числа.

Определение (Minoli 2010): для любого целого числа п и для целого числа k, ${\displaystyle k>0}$определить k-гипердефицит (или просто гипердефицит ) для числа п в качестве

   δk(п) = п (к + 1) + (к-1) - кσ (п)

Число п как говорят k-гипердефицит если δ_k(п) > 0.

Обратите внимание, что для k= 1 получаем δ₁(п)= 2п–Σ (п), что является стандартным традиционным определением недостаток.

Лемма: Число п является k-гиперсовершенным (включая k= 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицит п, δ_k(п) = 0.

Лемма: Число п является k-гиперсовершенным (включая k= 1) тогда и только тогда, когда для некоторых k, δ_k-j(п) = -δ_{k + j}(п) хотя бы для одного j > 0.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Сверхсовершенное число». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-10.

• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. п. 114. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

дальнейшее чтение

Статьи

• Миноли, Даниэль; Медведь, Роберт (осень 1975 г.), «Сверхсовершенные числа», Пи Му Эпсилон Журнал, 6 (3): 153–157.
• Миноли, Даниэль (декабрь 1978 г.), "Достаточные формы для обобщенных совершенных чисел", Анналы факультета наук УНАЗА, 4 (2): 277–302.
• Миноли, Даниэль (февраль 1981 г.), "Структурные проблемы гиперсовершенных чисел", Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 19 (1): 6–14.
• Миноли, Даниэль (апрель 1980 г.), "Проблемы нелинейных гиперсовершенных чисел", Математика вычислений, 34 (150): 639–645, Дои:10.2307/2006107.
• Миноли, Даниэль (октябрь 1980 г.), «Новые результаты для гиперсовершенных чисел», Тезисы Американского математического общества, 1 (6): 561.
• Миноли, Даниэль; Накамин, В. (1980), «Числа Мерсенна, основанные на 3 для теоретико-числовых преобразований», Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов.
• Маккрэни, Джадсон С. (2000), «Исследование гиперсовершенных чисел», Журнал целочисленных последовательностей, 3, заархивировано из оригинал на 2004-04-05.
• te Riele, Herman J.J. (1981), «Сверхсовершенные числа с тремя разными простыми множителями», Математика. Комп., 36: 297–298, Дои:10.1090 / s0025-5718-1981-0595066-9, МИСТЕР  0595066, Zbl  0452.10005.
• te Riele, Herman J.J. (1984), «Правила построения гиперсовершенных чисел», Фибоначчи К., 22: 50–60, Zbl  0531.10005.

Книги

• Даниэль Миноли, Голос через MPLS, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 2002, ISBN  0-07-140615-8 (стр. 114-134)

внешняя ссылка

• MathWorld: гиперсовершенное число
• Длинный список гиперсовершенных чисел в разделе Данные