Число Декарта - Descartes number - Wikipedia

В теория чисел, а Число Декарта нечетное число, которое было бы нечетное идеальное число, если один из его составных факторов был простым. Они названы в честь Рене Декарт кто заметил, что число D = 3²⋅7²⋅11²⋅13²⋅22021 = (3⋅1001)²⋅(22⋅1001 − 1) = 198585576189 будет нечетное идеальное число если только 22021 были простое число, поскольку функция суммы делителей за D удовлетворил бы, если бы 22021 был простым,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{aligned}}}$

где мы игнорируем тот факт, что 22021 - это составной (22021 = 19²⋅61).

Число Декарта определяется как нечетное число п = м⋅п куда м и п находятся совмещать и 2п = σ (м)⋅(п + 1) откуда п воспринимается как простое подделка. Приведенный пример является единственным известным в настоящее время.

Если м это странно почти идеальный номер,^[1] то есть, σ (м) = 2м − 1 и 2м − 1 воспринимается как простое подделка, тогда п = м⋅(2м − 1) число Декарта, поскольку σ (п) = σ (м⋅(2м - 1)) = σ (м)⋅2м = (2м − 1)⋅2м = 2п. Если 2м − 1 были первыми, п было бы нечетным совершенным числом.

Характеристики

Бэнкс и др. показал в 2008 году, что если п число Декарта без куба, не делимое на ${\displaystyle 3}$, тогда п имеет более миллиона различных простых делителей.

Смотрите также

• Число Эрдеша – Николя, еще один тип почти идеального числа

Примечания

1. В настоящее время единственными известными почти совершенными числами являются неотрицательные степени двойки, поэтому единственное известное нечетное почти совершенное число - это 2⁰ = 1.

Рекомендации

• Бэнкс, Уильям Д .; Güloğlu, Ahmet M .; Неванс, К. Уэсли; Саидак, Филип (2008). «Числа Декарта». В Де Конинк, Жан-Мари; Гранвиль, Эндрю; Лука, Флориан (ред.). Анатомия целых чисел. По материалам семинара CRM, Монреаль, Канада, 13-17 марта 2006 г.. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 167–173. ISBN  978-0-8218-4406-9. Zbl  1186.11004.
• Клее, Виктор; Вагон, Стан (1991). Старые и новые нерешенные проблемы геометрии плоскости и теории чисел. Математические изложения Дольчиани. 11. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-315-9. Zbl  0784.51002.