Шестая сила - Sixth power

В арифметика и алгебра то шестой мощность из числа п является результатом умножения шести экземпляров п вместе. Так:

п⁶ = п × п × п × п × п × п.

Шестая степень может быть образована умножением числа на его пятая степень, умножая квадрат числа по четвертая степень, построив квадрат или возведя квадрат куб.

Последовательность шестых степеней целые числа является:

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216, 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766124, 143313599088, 143313599088 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (последовательность A001014 в OEIS )

В их число входят важные десятичный числа 10⁶ (а миллион ), 100⁶ (а краткосрочный триллион и крупномасштабный миллиард) и 1000⁶ (а крупномасштабный триллион ).

Квадраты и кубики

Шестые степени целых чисел можно охарактеризовать как числа, одновременно являющиеся квадратами и кубами.^[1] Таким образом, они связаны с двумя другими классами фигуральные числа: the квадратные треугольные числа, которые одновременно квадратные и треугольные, а решения проблема с пушечным ядром, которые одновременно квадратные и квадратно-пирамидальные.

Из-за их связи с квадратами и кубами шестые степени играют важную роль в изучении Кривые морделла, которые эллиптические кривые формы

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+k.}$

Когда ${\displaystyle k}$ делится на шестую степень, это уравнение может быть сокращено путем деления на эту степень, чтобы получить более простое уравнение той же формы. Хорошо известный результат в теории чисел, доказанный Рудольф Фютер и Луи Дж. Морделл, утверждает, что когда ${\displaystyle k}$ целое число, не делимое в шестой степени (кроме исключительных случаев ${\displaystyle k=1}$ и ${\displaystyle k=-432}$) это уравнение либо не имеет рациональных решений с обоими ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ ненулевые или бесконечно много из них.^[2]

в архаичная нотация из Роберт Рекорд, шестая степень числа называлась «зензикуб», что означает квадрат куба. Точно так же обозначение шестой степени, используемое в 12 веке Индийская математика к Бхаскара II также называли их либо квадратом куба, либо кубом квадрата.^[3]

Суммы

Существует множество известных примеров шестых степеней, которые могут быть выражены как сумма семи других шестых степеней, но пока не известны примеры шестой степени, выражаемой суммой только шести шестых степеней.^[4] Это делает его уникальным среди степеней с показателем k = 1, 2, ..., 8, каждая из которых может быть выражена как сумма k Другой k-ые полномочия, а некоторые из них (в нарушение Гипотеза Эйлера о сумме степеней ) можно выразить как сумму еще меньшего k-ые степени.

В связи с Проблема Варинга, каждое достаточно большое целое число может быть представлено как сумма не более 24 шестых степеней целых чисел.^[5]

Существует бесконечно много различных нетривиальных решений Диофантово уравнение^[6]

${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.}$

Не было доказано, что уравнение

${\displaystyle a^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}}$

имеет нетривиальное решение,^[7] но Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа означало бы, что это не так.

Смотрите также

• Шестическое уравнение
• Седьмая степень

Рекомендации

1. Дауден, Ричард (30 апреля 1825 г.), "(без названия)", Журнал «Механика» и «Журнал науки, искусства и производства», Рыцарь и Лейси, т. 4 шт. 88, стр. 54
2. Ирландия, Kenneth F .; Розен, Майкл И. (1982), Классическое введение в современную теорию чисел, Тексты для выпускников по математике, 84, Springer-Verlag, Нью-Йорк-Берлин, стр. 289, г. ISBN  0-387-90625-8, МИСТЕР  0661047.
3. Кахори, Флориан (2013), История математических обозначений, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 80, ISBN  9780486161167
4. Цитируется в Мейриньяк, Жан-Шарль (14 февраля 2001 г.). «Вычисление минимальных равных сумм одинаковых мощностей: лучшие известные решения». Получено 17 июля 2017.
5. Vaughan, R.C .; Вули, Т. Д. (1994), "Дальнейшие улучшения в проблеме Варинга. II. Шестые степени", Математический журнал герцога, 76 (3): 683–710, Дои:10.1215 / S0012-7094-94-07626-6, МИСТЕР  1309326
6. Брудно, Симха (1976), "Тройки шестой степени с равными суммами", Математика вычислений, 30 (135): 646–648, Дои:10.1090 / s0025-5718-1976-0406923-6, МИСТЕР  0406923
7. Бремнер, Эндрю; Гай, Ричард К. (1988), "Нерешенные проблемы: дюжина трудных диофантовых дилемм", Американский математический ежемесячный журнал, 95 (1): 31–36, Дои:10.2307/2323442, МИСТЕР  1541235

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - шестая степень». MathWorld.