Кривая морделла - Mordell curve

у² = Икс³ + 1, с решениями в (-1, 0), (0, 1) и (0, -1)

В алгебра, а Кривая морделла является эллиптическая кривая формы у² = Икс³ + п, куда п фиксированный ненулевой целое число.^[1]

Эти кривые были внимательно изучены Луи Морделл,^[2] с точки зрения определения их целых точек. Он показал, что каждая кривая Морделла содержит только конечное число целых точек (Икс, у). Другими словами, отличия идеальные квадраты и идеальные кубики стремятся к ∞. Вопрос о том, как быстро в принципе был решен Метод Бейкера. Гипотетически этим вопросом занимается Гипотеза Маршалла Холла.

Характеристики

Если (Икс, у) - целая точка на кривой Морделла, то (Икс, -у).

Есть определенные значения п для которой соответствующая кривая Морделла не имеет целочисленных решений;^[1] эти значения:

6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (последовательность A054504 в OEIS ).

-3, -5, -6, -9, -10, -12, -14, -16, -17, -21, -22, ... (последовательность A081121 в OEIS ).

В 1998 г. Дж. Гебель, А. Петё, Х. Г. Циммер нашли все целочисленные решения для 0 <|п| ≤ 10⁴.^[3] (Данные по кривым Морделла для –10000 ≤ п ≤ 10000, OEIS: A081119, OEIS: A081120).

Пример

Ферма доказал, что единственные целочисленные решения ${\displaystyle m^{2}+2=n^{3}}$ находятся ${\displaystyle n=3,m=\pm 5}$.

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "Кривая Морделла". MathWorld.
2. Луи Морделл (1969). Диофантовы уравнения.
3. Gebel, J .; Pethö, A .; Циммер, Х. Г. (1998). "Об уравнении Морделла". Compositio Mathematica. 110 (3): 335–367. Дои:10.1023 / А: 1000281602647.

внешняя ссылка

• Данные по кривым Морделла для –10000 ≤ п ≤ 10000