Сфеническое число - Sphenic number

В теория чисел, а сфеническое число (из Древнегреческий: σφήνα, 'клин') является положительное число это продукт трех различных простые числа.

Определение

Сфеническое число - это продукт pqr куда п, q, и р - три различных простых числа. Это определение более строго, чем просто требование, чтобы целое число имело ровно три главные факторы. Например, 60 = 2² × 3 × 5 имеет ровно 3 простых множителя, но не является сфеническим.

Примеры

Сфенические числа - это без квадратов 3-почти простые.

Наименьшее сфеническое число равно 30 = 2 × 3 × 5, произведению трех наименьших простых чисел. Первые несколько сфенических чисел равны

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, ... (последовательность A007304 в OEIS )

По состоянию на октябрь 2020 г.^[ref] наибольшее известное сфеническое число

(2^82,589,933 − 1) × (2^77,232,917 − 1) × (2^74,207,281 − 1).

Это продукт трех самые большие известные простые числа.

Делители

У всех сфенических чисел ровно восемь делителей. Если выразить сфеническое число как ${\displaystyle n=p\cdot q\cdot r}$, куда п, q, и р - различные простые числа, то множество делителей числа п будет:

${\displaystyle \left\{1,\ p,\ q,\ r,\ pq,\ pr,\ qr,\ n\right\}.}$

Обратное неверно. Например, 24 не является сфеническим числом, но у него ровно восемь делителей.

Характеристики

Все сфенические числа по определению свободный от квадратов, потому что простые множители должны быть разными.

В Функция Мёбиуса любого сфенического числа равно -1.

В циклотомические многочлены ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$, взятые по всем сфеническим числам п, может содержать сколь угодно большие коэффициенты^[1] (за п произведение двух простых чисел коэффициенты равны ${\displaystyle \pm 1}$ или 0).

Последовательные сфенические числа

Первый случай двух последовательных сфенических целых чисел: 230 = 2 × 5 × 23 и 231 = 3 × 7 × 11. Первый случай из трех: 1309 = 7 × 11 × 17, 1310 = 2 × 5 × 131 и 1311 = 3 × 19 × 23. Не бывает больше трех, потому что каждое четвертое подряд положительное целое число делится на 4 = 2 × 2 и, следовательно, не бесквадратное.

Все числа 2013 (3 × 11 × 61), 2014 (2 × 19 × 53) и 2015 (5 × 13 × 31) сфеничны. Следующие три последовательных сфенических года будут 2665 (5 × 13 × 41), 2666 (2 × 31 × 43) и 2667 (3 × 7 × 127) (последовательность A165936 в OEIS ).

Смотрите также

• Полупримес, изделия двух простые числа.
• Почти премьер

Рекомендации

1. Эмма Лемер, "О величине коэффициентов кругового полинома", Бюллетень Американского математического общества 42 (1936), нет. 6. С. 389–392.[1].