Radix - Radix

В позиционная система счисления, то основание или база это количество уникальных цифры, включая цифру ноль, используемую для представления чисел. Например, для десятичной / денарной системы (наиболее часто используемой сегодня) система счисления (основание) равна десяти, потому что в ней используются десять цифр от 0 до 9.

В любой стандартной позиционной системе счисления число условно записывается как (Икс)_y с участием Икс как строка цифр и y в качестве основания, хотя для основания десять обычно используется нижний индекс (и опускается вместе с парой скобки ), поскольку это наиболее распространенный способ выразить ценность. Например, (100)₁₀ эквивалентно 100 (в последнем используется десятичная система) и представляет собой число сто, а (100)₂ (в бинарная система с основанием 2) представляет собой число четыре.^[1]

Этимология

Radix это латинское слово, означающее «корень». Корень можно считать синонимом база, в арифметическом смысле.

В системах счисления

В системе с основанием 13, например, строка цифр, такая как 398, обозначает (десятичное) число. 3 × 13² + 9 × 13¹ + 8 × 13⁰ = 632.

В более общем смысле, в системе с основанием б (б > 1), строка цифр d₁ … d_п обозначает число d₁б^п−1 + d₂б^п−2 + … + d_пб⁰, где 0 ≤ d_я < б.^[1] В отличие от десятичной дроби или системы счисления 10, в которой используются единицы, десятки, сотни и т. Д., Система счисления б будет место для единицы, тогда б¹место, а б²место и т. д.^[2]

Обычно используемые системы счисления включают:

Основание / основание	имя	Описание
2	Двоичная система счисления	Используется внутри почти всеми компьютеры, является база 2. Две цифры - «0» и «1», обозначают переключатели, отображающие ВЫКЛ и ВКЛ соответственно. Используется в большинстве электрических счетчики.
8	Восьмеричная система	Иногда используется в вычислительной технике. Восемь цифр от «0» до «7» представляют 3 бита (2³).
10	Десятичная система	Самая используемая система чисел в мире используется в арифметике. Его десять цифр от «0» до «9». Используется в большинстве механические счетчики.
12	Двенадцатеричная (десятеричная) система	Иногда его рекомендуют из-за делимости на 2, 3, 4 и 6. Он традиционно использовался как часть количеств, выраженных в десятки и сборы.
16	Шестнадцатеричная система	Часто используется в вычислениях как более компактное представление двоичного кода (1 шестнадцатеричная цифра на 4 бита). Шестнадцать цифр: «0» - «9», за которыми следует «A» - «F» или «a» - «f».
20	Десятичная система	Традиционная система счисления в нескольких культурах, которая до сих пор используется некоторыми для счета.
60	Шестидесятеричная система	Возник в древности Шумер и перешел в Вавилоняне.^[3] Используется сегодня как основа современного круговая система координат (градусы, минуты и секунды) и время измерения (минуты и секунды) по аналогии с вращением Земли.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы часто используются в вычислениях из-за их простоты в качестве сокращения для двоичной системы. Каждая шестнадцатеричная цифра соответствует последовательности из четырех двоичных цифр, поскольку шестнадцать - это четвертая степень двойки; например, шестнадцатеричный 78₁₆ двоичный 1111000₂. Точно так же каждая восьмеричная цифра соответствует уникальной последовательности из трех двоичных цифр, поскольку восемь - это куб из двух.

Это представление уникально. Позволять б - натуральное число больше 1. Тогда каждое натуральное число а можно однозначно выразить в виде

{ displaystyle a = r_ {m} b ^ {m} + r_ {m-1} b ^ {m-1} + dotsb + r_ {1} b + r_ {0},}

где м является целым неотрицательным числом и р's - целые числа такие, что

0 < р_м < б и 0 ≤ р_я < б для я = 0, 1, ... , м − 1.^[4]

Радики обычно натуральные числа. Однако возможны и другие системы позиционирования, например, база золотого сечения (основание которого нецелое алгебраическое число ),^[5] и отрицательная база (основание которого отрицательное).^[6]Отрицательное основание позволяет представлять отрицательные числа без использования знака минус. Например, пусть б = -10. Тогда строка цифр, например 19, обозначает (десятичное) число. 1 × (−10)¹ + 9 × (−10)⁰ = −1.

Смотрите также

Заметки

^ ^а ^б Мано, М. Моррис; Ким, Чарльз (2014). Основы логики и компьютерного дизайна (4-е изд.). Харлоу: Пирсон. С. 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.
^ "Двоичный: как говорят компьютеры? | Experimonkey". Experimonkey.com. Получено 2018-12-02.^{[мертвая ссылка ]}
^ Бертман, Стивен (2005). Справочник по жизни в Древней Месопотамии (Мягкая обложка ред.). Оксфорд [u.a.]: Oxford Univ. Нажмите. п. 257. ISBN 978-019-518364-1.
^ Маккой (1968), п. 75)
^ Бергман, Джордж (1957). «Система счисления с иррациональным основанием». Математический журнал. 31 (2): 98–110. Дои:10.2307/3029218. JSTOR 3029218.
^ Уильям Дж. Гилберт (сентябрь 1979 г.). «Системы счисления с отрицательными числами» (PDF). Математический журнал. 52 (4): 240–244. Дои:10.1080 / 0025570X.1979.11976792. Получено 7 февраля 2015.

использованная литература

Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание, Бостон: Аллин и Бэкон, LCCN 68015225

внешние ссылки

[morris_mano_p13_14-1] а ^б Мано, М. Моррис; Ким, Чарльз (2014). Основы логики и компьютерного дизайна (4-е изд.). Харлоу: Пирсон. С. 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.

[2] "Двоичный: как говорят компьютеры? | Experimonkey". Experimonkey.com. Получено 2018-12-02.^{[мертвая ссылка ]}

[3] Бертман, Стивен (2005). Справочник по жизни в Древней Месопотамии (Мягкая обложка ред.). Оксфорд [u.a.]: Oxford Univ. Нажмите. п. 257. ISBN 978-019-518364-1.

[4] Маккой (1968), п. 75)

[5] Бергман, Джордж (1957). «Система счисления с иррациональным основанием». Математический журнал. 31 (2): 98–110. Дои:10.2307/3029218. JSTOR 3029218.

[6] Уильям Дж. Гилберт (сентябрь 1979 г.). «Системы счисления с отрицательными числами» (PDF). Математический журнал. 52 (4): 240–244. Дои:10.1080 / 0025570X.1979.11976792. Получено 7 февраля 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]