Номер делителя гармоники - Harmonic divisor number

В математика, а число гармонического делителя, или же Число руды (названный в честь Øystein Ore определивший его в 1948 г.), является натуральным числом, делители есть гармоническое среднее это целое число. Первые несколько чисел гармонического делителя:

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 (последовательность A001599 в OEIS ).

Примеры

Например, гармонический делитель номер 6 имеет четыре делителя 1, 2, 3 и 6. Их среднее гармоническое значение является целым числом:

{ displaystyle { frac {4} {{ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} { 6}}}} = 2.}

Число 140 имеет делители 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 и 140. Их среднее гармоническое значение:

{ displaystyle { frac {12} {{ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}} + { frac {1} { 5}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {10}} + { frac {1} {14}} + { frac {1} {20}} + { frac {1} {28}} + { frac {1} {35}} + { frac {1} {70}} + { frac {1} {140}}}} = 5}

5 - целое число, делающее 140 числом делителя гармоники.

Факторизация гармонического среднего

Гармоническое среднее $ЧАС (п)$ делителей любого числа $п$ можно выразить формулой

{ Displaystyle Н (п) = { гидроразрыва {п сигма _ {0} (п)} { сигма _ {1} (п)}}}

куда $σ я (п)$ это сумма $я$ -ые степени делителей из $п$ : $σ 0$ - количество делителей, а $σ 1$ сумма делителей (Коэн 1997 Все слагаемые в этой формуле равны мультипликативный, но нет полностью мультипликативный Следовательно, гармоническое среднее $ЧАС (п)$ также мультипликативен, что означает, что для любого положительного целого числа $п$ гармоническое среднее $ЧАС (п)$ может быть выражено как произведение гармонических средних для основные силы в факторизация из $п$ .

Например, у нас есть

{ displaystyle H (4) = { frac {3} {1 + { frac {1} {2}} + { frac {1} {4}}}} = 12/7}

{ displaystyle H (5) = { frac {2} {1 + { frac {1} {5}}}} = 5/3,}

{ displaystyle H (7) = { frac {2} {1 + { frac {1} {7}}}} = 7/4,}

и

{ Displaystyle H (140) = H (4 cdot 5 cdot 7) = H (4) cdot H (5) cdot H (7) = { frac {12} {7}} cdot { frac {5} {3}} cdot { frac {7} {4}} = 5.}

Числа-делитель гармоник и совершенные числа

Демонстрация с Удилища Cuisenaire, о совершенстве числа 6

Для любого целого числа M, как заметил Оре, произведение гармонического среднего и среднее арифметическое его делителей равно M сам по себе, как видно из определений. Следовательно, M гармоническая, с гармоническим средним делителей k, тогда и только тогда, когда среднее значение его делителей является произведением M с единичная дробь 1/k.

Ore показал, что каждый идеальное число гармоничен. Чтобы убедиться в этом, заметьте, что сумма делителей совершенного числа M точно 2 млн; следовательно, среднее значение делителей равно M(2 / τ (M)), где τ (M) обозначает количество делителей из M. Для любого M, τ (M) нечетно тогда и только тогда, когда M это квадратный номер, иначе каждый дивизор d из M может быть спарен с другим делителем M/d. Но никакое совершенное число не может быть квадратом: это следует из известного вида четных совершенных чисел и из того факта, что нечетные совершенные числа (если они существуют) должны иметь множитель вида q^α где α ≡ 1 (mod 4). Поэтому для идеального числа M, τ (M) четно, а среднее значение делителей - произведение M с единичной дробью 2 / τ (M); таким образом, M является числом гармонического делителя.

Оре предположил, что не существует нечетных гармонических чисел-делителей, кроме 1. Если гипотеза верна, это означало бы отсутствие нечетные совершенные числа.

Границы и компьютерные поиски

У. Х. Миллс (неопубликовано; см. Маскат) показал, что любое число делителя нечетной гармоники больше 1 должно иметь простой коэффициент мощности больше 10⁷, а Коэн показал, что любое такое число должно иметь по крайней мере три различных простых множителя. Коэн и Сорли (2010) показал, что не существует нечетных гармонических чисел делителей меньше 10²⁴.

Коэн, Гото и другие, начиная с самого Оре, провели компьютерный поиск, перечислив все малые числа гармонических делителей. Из этих результатов известны списки всех чисел гармонических делителей до 2 × 10⁹, и все числа гармонических делителей, для которых среднее гармоническое значение делителей не превосходит 300.

Наборы целых чисел на основе делимости
Обзор	Целочисленная факторизация Делитель Унитарный делитель Функция делителя главный фактор Основная теорема арифметики
Формы факторизации	основной Композитный Полупростой Пронический Сфенический Без квадратов Мощный Идеальная мощность Ахиллес Гладкий Обычный Грубый Необычный
Суммы ограниченных делителей	Идеально Практически идеально Квазидеальный Умножить идеально Полусовершенный Гиперсовершенство Суперсовершенный Унитарное совершенное Би-унитарное умножение совершенное Полусовершенный Практичный Эрдеш – Николас
Со многими делителями	Обильный Первобытный изобилие Очень много Сверхизбыток Колоссально обильный Сильно композитный Превосходный высококомпозитный Странный
Последовательность аликвот -связанные с	Неприкасаемый Дружный Общительный Обрученный
Основание -зависимый	Равноцилиндровый Экстравагантный Экономный Харшад Полиделимый Смит
Другие наборы	Арифметика Недостаточный Дружелюбный Одиночный Возвышенный Гармонический дивизор Декарт Возможность рефакторинга Суперсовершенный

Номер делителя гармоники - Harmonic divisor number

Содержание

Примеры

Факторизация гармонического среднего

Числа-делитель гармоник и совершенные числа

Границы и компьютерные поиски

Рекомендации