Полностью мультипликативная функция - Completely multiplicative function

В теория чисел, функции положительные целые числа какие продукты важны и называются полностью мультипликативные функции или полностью мультипликативные функции. Также важно более слабое условие, учитывающее только продукты совмещать числа, и такие функции называются мультипликативные функции. Вне теории чисел термин «мультипликативная функция» часто считается синонимом «полностью мультипликативной функции», как определено в этой статье.

Определение

А полностью мультипликативная функция (или же полностью мультипликативная функция) является арифметическая функция (то есть функция, домен это натуральные числа ), такое что ж(1) = 1 и ж(ab) = ж(а)ж(б) держит для всех положительные целые числа а и б.^[1]

Без требования, чтобы ж(1) = 1, можно было бы иметь ж(1) = 0, но тогда ж(а) = 0 для всех натуральных чисел а, так что это не очень сильное ограничение.

Приведенное выше определение можно перефразировать, используя язык алгебры: полностью мультипликативная функция - это гомоморфизм от моноид ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$ (то есть положительные целые числа при умножении) на какой-то другой моноид.

Примеры

Самый простой пример полностью мультипликативной функции - это одночлен с ведущим коэффициентом 1: для любого конкретного положительного целого числа п, определять ж(а) = а^п. потом ж(до н.э) = (до н.э)^п = б^пc^п = ж(б)ж(c), и ж(1) = 1^п = 1.

В Функция Лиувилля является нетривиальным примером полностью мультипликативной функции, как и Персонажи Дирихле, то Символ Якоби и Символ Лежандра.

Характеристики

Полностью мультипликативная функция полностью определяется своими значениями при простых числах, что является следствием основная теорема арифметики. Таким образом, если п это произведение степеней различных простых чисел, скажем п = п^а q^б ..., тогда ж(п) = ж(п)^а ж(q)^б ...

В то время Свертка Дирихле двух мультипликативных функций является мультипликативным, свертка Дирихле двух полностью мультипликативных функций не обязательно должна быть полностью мультипликативной.

Существует множество утверждений о функции, которые эквивалентны ее полной мультипликативности. Например, если функция ж мультипликативен, то он полностью мультипликативен тогда и только тогда, когда его Обратный Дирихле является ${\displaystyle \mu \cdot f}$ куда ${\displaystyle \mu }$ это Функция Мёбиуса.^[2]

Полностью мультипликативные функции также удовлетворяют закону распределения. Если ж полностью мультипликативно, то

${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$

куда * представляет Произведение Дирихле и ${\displaystyle \cdot }$ представляет собой поточечное умножение.^[3] Одним из следствий этого является то, что для любой полностью мультипликативной функции ж надо

${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

который можно вывести из вышеизложенного, поместив оба ${\displaystyle g=h=1}$, куда ${\displaystyle 1(n)=1}$ это постоянная функция.Здесь ${\displaystyle \tau }$ это делительная функция.

Доказательство распределительной собственности

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (since }}f{\text{ is completely multiplicative) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

Серия Дирихле

L-функция полностью (или полностью) мультипликативный Серия Дирихле ${\displaystyle a(n)}$ удовлетворяет

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

это означает, что сумма всех натуральных чисел равна произведению всех простых чисел.

Смотрите также

• Мультипликативная функция
• Серия Дирихле
• L-функция Дирихле
• Арифметическая функция

Рекомендации

1. Апостол, Том (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Springer. стр.30. ISBN  0-387-90163-9.
2. Апостол, с. 36
3. Апостол стр. 49