Основная функция омега - Prime omega function

В теория чисел, то основные функции омега ${\displaystyle \omega (n)}$ и ${\displaystyle \Omega (n)}$ подсчитать количество простых делителей натурального числа ${\displaystyle n.}$ Тем самым ${\displaystyle \omega (n)}$ (маленькая омега) считает каждый отчетливый простой фактор, тогда как связанная функция ${\displaystyle \Omega (n)}$ (большая омега) считает общий количество простых факторов ${\displaystyle n,}$ уважая их множественность (см. арифметическая функция ). Например, если у нас есть простые множители из ${\displaystyle n}$ формы ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$ для различных простых чисел ${\displaystyle p_{i}}$ (${\displaystyle 1\leq i\leq k}$), то соответствующие простые омега-функции имеют вид ${\displaystyle \omega (n)=k}$ и ${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$. Эти функции подсчета простых факторов имеют много важных теоретико-числовых соотношений.

Свойства и отношения

Функция ${\displaystyle \omega (n)}$ является добавка и ${\displaystyle \Omega (n)}$ является полностью аддитивный.

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Если ${\displaystyle p}$ разделяет ${\displaystyle n}$ хотя бы один раз мы считаем это только один раз, например ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha }$

Если ${\displaystyle p}$ разделяет ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ раз, то мы считаем показатели, например ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Если ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ тогда ${\displaystyle n}$ является свободный от квадратов и связанные с Функция Мёбиуса к

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Если ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ тогда ${\displaystyle n}$ простое число.

Известно, что средний порядок делительная функция удовлетворяет ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$.^[1]

Как и многие арифметические функции нет явной формулы для ${\displaystyle \Omega (n)}$ или же ${\displaystyle \omega (n)}$ но есть приближения.

Асимптотический ряд для среднего порядка ${\displaystyle \omega (n)}$ дан кем-то ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

куда ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ это Константа Мертенса и ${\displaystyle \gamma _{j}}$ являются Константы Стилтьеса.

Функция ${\displaystyle \omega (n)}$ связана с суммами делителей по Функция Мёбиуса и делительная функция включая следующие суммы.^[3]

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

В характеристическая функция из простые числа можно выразить свертка с Функция Мёбиуса ^[4]:

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Точная идентичность, связанная с разделами для ${\displaystyle \omega (n)}$ дан кем-то ^[5]

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

куда ${\displaystyle p(n)}$ это функция распределения, ${\displaystyle \mu (n)}$ это Функция Мёбиуса, а треугольная последовательность ${\displaystyle s_{n,k}}$ расширяется

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

с точки зрения бесконечного символ q-Pochhammer и ограниченные функции раздела ${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$ которые соответственно обозначают количество ${\displaystyle k}$во всех разделах ${\displaystyle n}$ в странный (четное) количество отдельных частей.^[6]

Функции среднего порядка и сумматоры

An средний заказ обоих ${\displaystyle \omega (n)}$ и ${\displaystyle \Omega (n)}$ является ${\displaystyle \log \log n}$. Когда ${\displaystyle n}$ является основной нижняя граница значения функции ${\displaystyle \omega (n)=1}$. Аналогично, если ${\displaystyle n}$ является первобытный то функция имеет размер ${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$ в среднем порядке. Когда ${\displaystyle n}$ это степень 2, тогда ${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$ .^[7]

Асимптотика сумматорных функций над ${\displaystyle \omega (n)}$, ${\displaystyle \Omega (n)}$, и ${\displaystyle \omega (n)^{2}}$ соответственно вычисляются Харди и Райтом как ^{[8] [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle B_{1}}$ снова Константа Мертенса и постоянная ${\displaystyle B_{2}}$ определяется

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$

Другие суммы, относящиеся к двум вариантам основных функций омега, включают: ^[10]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

и

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Пример I: модифицированная сумматорная функция

В этом примере мы предлагаем вариант сумматорных функций. ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$ оценивается в приведенных выше результатах для достаточно больших ${\displaystyle x}$. Затем мы доказываем асимптотическую формулу для роста этой модифицированной сумматорной функции, полученную из асимптотической оценки ${\displaystyle S_{\omega }(x)}$ приведенных в формулах в основном подразделе этой статьи выше.^[11]

Чтобы быть полностью точным, пусть функция сумматора с нечетным индексом определяется как

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}]_{\delta },}$

куда ${\displaystyle [\cdot ]_{\delta }}$ обозначает Конвенция Айверсона. Тогда у нас есть это

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]_{\delta }+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

Доказательство этого результата следует, сначала заметив, что

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

а затем применяя асимптотический результат Харди и Райта для сумматорной функции над ${\displaystyle \omega (n)}$, обозначаемый ${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$, в следующем виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Пример II: Сумматорные функции для так называемых факториальных моментов ${\displaystyle \omega (n)}$

Вычисления, развернутые в главе 22.11 Харди и Райта, дают асимптотические оценки сумматорной функции

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

оценивая произведение этих двухкомпонентных омега-функций как

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

Аналогичным образом мы можем вычислить асимптотические формулы в более общем виде для связанных сумматорных функций над так называемыми факториальные моменты функции ${\displaystyle \omega (n)}$.

Серия Дирихле

Известный Серия Дирихле с участием ${\displaystyle \omega (n)}$ и Дзета-функция Римана дан кем-то ^[12]

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

Функция ${\displaystyle \Omega (n)}$ является полностью аддитивный, куда ${\displaystyle \omega (n)}$ является сильно аддитивный (аддитивный). Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующей форме, из которой следует точные формулы для разложений Серия Дирихле над обоими ${\displaystyle \omega (n)}$ и ${\displaystyle \Omega (n)}$:

Лемма. Предположим, что ${\displaystyle f}$ это сильно аддитивный арифметическая функция определены таким образом, что его значения при простых степенях даются ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$, т.е. ${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$ для различных простых чисел ${\displaystyle p_{i}}$ и экспоненты ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$. В Серия Дирихле из ${\displaystyle f}$ расширяется

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Доказательство. Мы видим, что

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

везде, где сходятся соответствующие серии и произведения. В последнем уравнении мы использовали Произведение Эйлера представление Дзета-функция Римана. ${\displaystyle \boxdot }$

Из леммы следует, что для ${\displaystyle \Re (s)>1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega \lambda }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda (n)\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle P(s)}$ это простая дзета-функция и ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$ это Лямбда-функция Лиувилля.

Распределение разности простых омега-функций

Распределение различных целочисленных значений разностей ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$ регулярна по сравнению с полуслучайными свойствами составляющих функций. За ${\displaystyle k\geq 0}$, пусть множества

${\displaystyle N_{k}(x):=\#\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)=k\}.}$

У этих наборов есть соответствующая последовательность предельных плотностей ${\displaystyle d_{k}}$ так что для ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Эти плотности генерируются основные продукты

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

С абсолютной постоянной ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$, плотности ${\displaystyle d_{k}}$ удовлетворить

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Сравните с определением основных продуктов, определенным в последнем разделе ^[13] в отношении Теорема Эрдеша – Каца.

Смотрите также

• Аддитивная функция
• Арифметическая функция
• Теорема Эрдеша – Каца
• Омега-функция (значения)
• простое число
• Целое число без квадратов

Примечания

1. Это неравенство приведено в разделе 22.13 Харди и Райта.
2. С. Р. Финч, Две асимптотические серии, Математические константы II, Кембриджский ун-т. Press, стр. 21-32, [1]
3. Каждый из них, начиная со второго идентификатора в списке, цитируется на страницах отдельно. Свертки Дирихле арифметических функций, Личность Менона, и другие формулы для тотент-функции Эйлера. Первое тождество представляет собой комбинацию двух известных сумм делителей, указанных в разделе 27.6. Справочник NIST по математическим функциям.
4. Это предлагается в качестве упражнения в книге Апостола. А именно пишем ${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$ куда ${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$. Мы можем составить ряд Дирихле по ${\displaystyle f}$ в качестве ${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$ куда ${\displaystyle P(s)}$ это простая дзета-функция. Тогда становится очевидным, что ${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$ - индикаторная функция простых чисел.
5. Это тождество доказано в статье Шмидта, цитируемой на этой странице ниже.
6. Эта треугольная последовательность также заметно проявляется в Теоремы факторизации рядов Ламберта доказано Мерка и Шмидт (2017–2018)
7. Ссылки на каждую из этих оценок среднего порядка см. В уравнениях (3) и (18) MathWorld ссылка и Раздел 22.10-22.11 Харди и Райта.
8. См. Разделы 22.10 и 22.11 для справки и явного вывода этих асимптотических оценок.
9. Фактически, доказательство последнего результата, данное Харди и Райтом, фактически предлагает более общую процедуру для получения асимптотических оценок моменты ${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$ для любого ${\displaystyle k\geq 2}$ рассматривая сумматорные функции факториальные моменты формы ${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$ для более общих случаев ${\displaystyle m\geq 2}$.
10. Харди и Райт Глава 22.11.
11. N.b., эта сумма предложена работой, содержащейся в неопубликованной рукописи автора этой страницы, связанной с ростом Функция Мертенса. Следовательно, это не просто пустая и / или тривиальная оценка, полученная с целью изложения здесь.
12. Этот идентификатор можно найти в разделе 27.4. Справочник NIST по математическим функциям.
13. Реньи, А .; Туран, П. (1958). «Об одной теореме Эрдеша-Каца» (PDF). Acta Arithmetica. 4 (1): 71–84.

Рекомендации

• Г. Х. Харди и Э. М. Райт (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
• Шмидт, Макси. "Теоремы факторизации для произведений Адамара и производные высшего порядка производящих функций рядов Ламберта". arXiv:1712.00608.
• Вайсштейн, Эрик. «Отличные основные факторы». MathWorld. Получено 22 апреля 2018.

внешняя ссылка

• OEIS Wiki для связанных порядковых номеров и таблиц
• OEIS Wiki по основным факторам