В математика, то простая дзета-функция является аналогом Дзета-функция Римана, изученный Глейшер (1891). Это определяется как следующее бесконечная серия, которая сходится при
:

Характеристики
В Произведение Эйлера для дзета-функции Римана ζ(s) следует, что

который по Инверсия Мёбиуса дает

Когда s идет к 1, у нас есть
.Это используется в определении Плотность Дирихле.
Это дает продолжение п(s) к
, с бесконечным числом логарифмических особенностей в точках s куда нс это полюс (только нс = 1, когда п является бесквадратным числом, большим или равным 1), или нулем дзета-функции Римана ζ(.). Линия
является естественной границей, так как особенности кластера вблизи всех точек этой прямой.
Если определить последовательность

тогда

(Возведение в степень показывает, что это эквивалентно лемме 2.7 Ли.)
Простая дзета-функция связана с Постоянная Артина к

куда Lп это пth Число Лукаса.[1]
Конкретные значения:
s | приблизительное значение P (s) | OEIS |
---|
1 | [2] | |
2 |  | OEIS: A085548 |
3 |  | OEIS: A085541 |
4 |  | OEIS: A085964 |
5 |  | OEIS: A085965 |
9 |  | OEIS: A085969 |
Анализ
интеграл
Интеграл по простой дзета-функции обычно привязан к бесконечности, потому что полюс на
запрещает определение хорошей нижней границы для некоторого конечного целого числа без обсуждения сечений ветвей в комплексной плоскости:

Примечательные значения снова те, где суммы сходятся медленно:
s | приблизительное значение  | OEIS |
---|
1 |  | OEIS: A137245 |
2 |  | OEIS: A221711 |
3 |  | |
4 |  | |
Производная
Первая производная

Интересны значения, в которых суммы сходятся медленно:
s | приблизительное значение  | OEIS |
---|
2 |  | OEIS: A136271 |
3 |  | OEIS: A303493 |
4 |  | OEIS: A303494 |
5 |  | OEIS: A303495 |
Обобщения
Почти простые дзета-функции
Поскольку дзета-функция Римана представляет собой сумму обратных степеней над целыми числами, а дзета-функция простого числа представляет собой сумму обратных степеней простых чисел, k-простые числа (целые числа, которые являются произведением
необязательно различные простые числа) определяют своего рода промежуточные суммы:

куда
общее количество главные факторы.
k | s | приблизительное значение  | OEIS |
---|
2 | 2 |  | OEIS: A117543 |
2 | 3 |  | |
3 | 2 |  | OEIS: A131653 |
3 | 3 |  | |
Каждое целое число в знаменателе дзета-функции Римана
можно классифицировать по значению индекса
, который разлагает дзета-функцию Римана в бесконечную сумму
:

Поскольку мы знаем, что Серия Дирихле (в некотором формальном параметре ты) удовлетворяет

мы можем использовать формулы для симметричные полиномиальные варианты с производящей функцией правостороннего типа. А именно, мы имеем коэффициентное тождество, что
когда последовательности соответствуют
куда
обозначает характеристическую функцию простые числа. С помощью Личности Ньютона, мы имеем общую формулу для этих сумм:
![{ Displaystyle P_ {n} (s) = sum _ {{k_ {1} + 2k_ {2} + cdots + nk_ {n} = n} на {k_ {1}, ldots, k_ {n } geq 0}} left [ prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {P (is) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}! cdot i ^ {k_ { i}}}} right] = - [z ^ {n}] log left (1- sum _ {j geq 1} { frac {P (js) z ^ {j}} {j} }верно).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ae44734b9408a6228db71ff237f10aefcd10f7)
Особые случаи включают следующие явные расширения:

Простой по модулю дзета-функции
Построение суммы не по всем простым числам, а только по простым числам, которые находятся в одном классе по модулю, вводит дополнительные типы бесконечных рядов, которые являются редукцией L-функция Дирихле.
Смотрите также
Рекомендации
внешняя ссылка